鱼塘饲养鱼的数学模型- 副本

鱼塘饲养鱼的求解数学模型

论文摘要

本篇论文主要针对在鱼塘饲养鱼的过程中伴随着各种人为因素以及无可避免的环境因素的影响而分别建立的对鱼的尾数甚至每尾鱼重微分方程模型进而求解的问题。

首先在求解鱼的尾数这个相对简单的问题的时候，我们不再考虑出时间以外的变量对方程或者结果造成的影响，因为从题中我们已经获得了一个固定已知量即相对减少率，而它正是由于鱼在成长过程中受各方面约束所产生的，所以我们只需要根据鱼的尾数随时间的增加而减少的关系建立微分方程，然后根据简单的数学知识即可对此微分方程求解。

当然在对每尾鱼重求解时，我们依然像上个问题一样着重从鱼成长的关键因素“净增长率”出发，与之不同的是鱼重的改变是受到了人为因素和自身因素的综合影响，而鱼本身的增长率与自身的表面积存在正比关系，这也是鱼本身由于损耗而不可忽视的减少率鱼本身重量存在的关系，最后我们融入最关键的时间变量，就建立出了表面积和每尾鱼重分别与时间的函数关系，而这三者之间有共同有一个函数关系，即随着时间的加大，表面积增加，重量增加，所以于表面积有关的减少率增大，这就引起了净增长率的减小，于是这一大串的函数关系便共同联合成了微分方程，便得到这个模型的结果。求解完成，

我们根据题意与现实中综合因素的结合可分析出此模型切实可行。

关键词

尾数 鱼重 表面积

问题重述

在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增大，尾数将减少，而每尾的重量将增加，设尾数的相对减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼量的减少率与鱼重量成正比，分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。

符号说明

t ：为所有模型中的通用变量时间变量表示投入鱼苗过后的天数

n0：为模型中的已知量表示投入的鱼苗尾数

t0：表示刚投入鱼苗的当天

n：投入鱼苗后第t天鱼的尾数的相对减少率为一常数

n（t）：表示投入育苗后第t天鱼的尾数

g（t）：投入鱼苗后第t天每尾鱼的重量

s（t）：投入鱼苗后第t天每尾鱼的表面积

p（t）：投入鱼苗后第t天由于喂养引起的每尾鱼量的增加率

q（t）：投入鱼苗后第t天由于消耗引起的减少率

r（t）：投入鱼苗后第t天的每尾鱼量的净增加率

k1：p(t)与s（t）由于正比例函数的系数

k2：q（t）与g（t）由于正比例函数的系数

△ t：某段时间的变化量

dn（t）：表示鱼的尾数在某段时间的变化量

dt：即为△t

模型的基本假设

1、 鱼的尾数的相对减少率已经将各方面可能对其造成影响的因素考虑在内

2、 鱼量的增加率与减少率均是在考虑所有因素后所得出的函数关系

3、 模型中所涉及到的比例系数均为已知固定量

4、 鱼的尾数与每尾鱼量并无较大的影响关系

5、 变量n（t）、g（t）、s(t)、p(t)、q(t)、r(t)均为随时间变化的连续性变量

问题一的数学模型

一、 对问题一的分析

此题是根据已知最初鱼苗的尾数和鱼的尾数的相对减少率对未来某一天鱼的尾数用相应的微分方程表示出来并作出求解进而实现鱼的尾数变化的相关预测，而应此得到它的变化规律。

解决此题之前我们必须首先了解鱼的净增加率（减少率）表示的是在某一段时间内鱼的尾数的增加量（减少量）与这段时间变化量的比例，所以分别通过这段时间得初始时间、最后时间及其分别的鱼的尾数即可求得净增加率。然而这道题我们并不能因此而建立关于鱼的尾数的微分方程除非微分方程允许只由一些并不确定的变量组成，这样的话就不能求解出合理的结果，但它必定成为此题建立微分方程的前提，因为我们有的已知量相对减少率就是净增加率于某时刻鱼的尾数的比例，所以微分方程的模型因此而确定，然后我们在肯定再投入已知鱼苗尾数后的第0天鱼的尾数当然就是鱼苗数，我们便可对方程求解。

二、模型方程的建立与求解

先假设某段时间为t→（t+△t）这段时间

所以n（t）、n（t+△t）就分别为这两个时间时的鱼的尾数

很明显：dt=△t就是这段时间的变化量

而这段时间的鱼的尾数的变化量=dn（t）=n（t+△t）-n（t），当然（n（t+△t）-n（t））<0因为我们已经确定鱼的尾数是逐渐减少的。

因此，鱼的尾数的净减少率=（ n（t）-n（t+△t））/△t

因此，鱼的尾数的相对减少率=-n=（ n（t+△t）-n（t））/（△t*n（t），因为n>0。

因此，立得微分方程为：（ n（t+△t）-n（t））/△t=dn（t）/dt=-n*n（t）…… …… ①

由题意当t=0时，鱼的尾数n（t）=n（0）=n0 …… …… ②

由①：dn（t）/n(t)=-n*dt …… …… ③

由③：∫（dn（t）/n(t)）=∫（-n*dt） ④这是对等号两边同时积分

由④：㏑n（t）=-n*t+C …… …… ⑤

由⑤：n（t）=e^(-n*t+C) =e^C*e^(-n*t) ⑥

由②、⑥：n（0）=n0=e^C …… …… ⑦

将⑦代入⑥：n（t）=n0*e^(-n

*t) …… …… …… ………… …… ⑧

所以⑧式为求解结果。

模型检验和评价

根据我们最终获知的求解结果，我们就可以计算出在某天t的鱼的尾数，我们姑且就假设t分别为0,1,2,3,4……，那就计算出了这些时候鱼的尾数分别为n0，n0*e^-n,n0*e^-2n,n0*e^-3n……，而通过这组数据我们可以看出，随着t的增大，鱼的尾数的确成连续性的减少，然后我们任意从其中取出两组值来计算一段时间内鱼的尾数的相对减少率n，譬如选定t=1,3时的两组值包含n（1）=n0*e^-n

和n（3）=,n0*e^-3n，我们最终计算出（n（3）-n（1））/(3-1)*n

(1)=n的准确结果，最后普遍性的我们取t=m，n（m）时的鱼的尾数n（m）和n(n),根据公式n依然被得以证明。通过对模型的检验我们得出此模型在一般情况下是准确合理的具有普遍适用性，但在影响因素相对较复杂的情况下，求出的结果难免会有一定的偏差。

问题二的数学模型

一、 对问题二的分析

问题二所要解决的每尾鱼重的求解综合涉及了多变量因素共同联立求解。而为了要建立每尾鱼重的微分方程我们依然不得不从每尾鱼重的增加率入手，首先随着时间的加大鱼的重量当然是连续性的增加，但这种关系是线性关系的可能性太小，毕竟从题意显示它已经受到了多方面的影响：1、单方面的增加率与与的表面积成正比关系2、某一方面又有减少率（制约鱼的完全增长）与鱼本身重量成正比关系。所以得出鱼的净增长就一定要排除鱼的损耗重量，那就牵扯出了每尾鱼重的净增长率才是直接与每尾鱼重的变化相连的变化量，所以微分方程的模型就以此为前件而建立。

二、模型的建立与求解和评价

设每尾鱼重的变化还是在喂养鱼苗后的第t→（t+△t）天的这段时间产生的。这里锁定△t无限趋近于0

由于喂养引起的增加率与表面积成正比得到：

p(t）=k1*s（t） …… …… （1）

由于自身消耗引起的减少率与鱼的重量成正比得到：

q(t)=k2*g(t) …… …… （2）

显然它的净增长率是等于总增加率与减少率之差，得到：

r（t）=p（t）-q(t) …… （3）

接下来由于自身重量变化量与时间变化量的关系得到净增长率最根本的表示：r(t)=(g(t+△t)-g(t))/ △t …… （4）

然后我们用简单一点的表示方法即：

dg(t)= g(t+△t)-g(t) …… （5）

dt=△t …… …… （6）

综合上述6式我们便得到每尾鱼重的微分方程：

（dg(t)/dt）= k1*s（t）- k2*g(t) …… （7）

由于此微分方程涉及多变量函数间的关系，我们暂不能对它求解 只得罢手于此。即使到了最后我们没有确切的给出每尾鱼重的方程公式以至于不能计算出任何时候我们所需要的数据，但是模型的建立是基于各种综合因素对其的影响可以看出它的变化规律，所以模型是合理的，但当然它还不能用于实际生产生活中毕竟得到不到一个确切的结果。

参考文献

【1】 邓东皋 尹小玲 数学分析简明教程第二版上册 高等教育出版社 2007年

【2】 董臻圃 数学建模方法与实践 国防工业出版社 2006年

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/62b60c1ba300a6c30c229fe0.html