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勾股定理的逆定理教学设计

发布时间：2018-06-03 21:56:59 来源：文档文库

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勾股定理的逆定理教学设计

课时安排

3课时

第一课时

教学设计思路

本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方）．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．

教学目标

知识与技能

1．研究直角三角形的判别条件；

2．熟记一些勾股数；

3．研究勾股定理的逆定理的探究方法。

过程与方法

用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，体会数形结合的思想。

情感态度与价值观

1．通过对Rt判别条件的研究，树立大胆猜想，勇于探索的创新精神。

2．通过介绍有关历史资料，激发解决问题的愿望。

教学重点和难点

教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系。

教学难点：归纳、猜想出命题2的结论。

教学方法

启发引导、分组讨论

教学媒体

多媒体课件演示。

教学过程设计

（一）创设问题情境，引入新课

（1）总结直角三角形有哪些性质。

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力。

学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆。

（1）直角三角形有如下性质：

①有一个角是直角；②两个锐角互余；③两直角边的平方和等于斜边的平方；④在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

（2）有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

大家思考一下还有没有其他的方法来说明一个三角形是直角三角形呢？

前面我们学习了勾股定理，可不可以用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？

我们来看一下古埃及人如何做？

（二）讲授新课

活动1

问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32+42=52”．那么围成的三角形是直角三角形。

大家画一画、量一量，看看这样做出的三角形是直角三角形吗？

再画画看，如果三角形的三边分别为2.5 cm、6 cm、6.5 cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm、7.5cm、8.5 cm．再试一试。

让学生在小组内共同合作，协手完成此活动。

用尺规作图的方法作出三角形，经过测量后，发现以上两组数组成的三角形是直角三角形，而且三边满足a2+b2=c2。

我们进而会想：是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？

活动2

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c。

5，12，13；7，24，25；8，15，17。

（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

学生进一步以小组为单位．按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论。

从而得出一个命题：

命题2 如果三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。

同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角。直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪．建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”。

“三四五放线法”是一种古老的归方操作。所谓“归方”就是“做成：直角”譬如建造房屋，房角—般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？

如右图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处。把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线。

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？

生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．

据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角。

满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。如3，4，5；5，12，13

活动3

问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。

它们的题设和结论各有何关系？

学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题，得出命题和逆命题的概念。

教师认真倾听学生的分析。

教师在本活动中应重点关注学生；

①能否发现互逆命题的题没和结论之间的关系。

②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题。

（三）课时小结

问题：你对本节内容有哪些认识？

教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形。

（四）板书设计

第二课时

教学设计思路

本节主要学习勾股定理逆定理的证明，经历证明勾股定理逆定理的过程，得出命题2是正确的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。

教学目标

知识与技能

1．说出证明勾股定理逆定理的方法。

2．叙述逆定理，互逆定理的概念。

过程与方法

1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展逻辑思维能力和空间想象能力。

2．经历互为逆定理的讨论，树立严谨的治学态度和实事求是求学精神。

情感态度与价值观

1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，树立克服困难的勇气和坚强的意志。

2．树立与人合作、交流的团队意识。

教学重点和难点

教学重点：勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念。

教学难点：互逆定理的概念。

教学方法

合作探究

教学媒体

多媒体课件演示。

教学过程设计

（一）创设问题情境，引入新课

以下列各组线段为边长，能构成三角形的是___________（填序号）．能构成直角三角形的是___________．

①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24

帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件。

能构成三角形的是：①③④⑥⑦；

能构成直角三角形的是；①④⑥⑦

（二）讲授新课

活动1

命题2正确吗？如何证明呢？

让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路。

师： ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样吗？

我们画一个直角三角形，使（如下图）把画好的

剪下，放在 ABC上，它们重合吗？

生我们所画的Rt，又因为c2=a2+b2，所以即。

和三边对应相等，所以两个三角形全等，为直角三角形。

即命题2是正确的。

活动2

当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题l的逆命题，在此．我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理。

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？

生不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立。

师你还能举出类似的例子吗？

生例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等。

逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等。

显示原命题成立，而逆命题不成立。

活动3

练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2=c2－b2。这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？

（1）两条直线平行，内错角相等。

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。

（3）全等三角形的对应角相等。

（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力。

（三）巩固提高

[例1]—个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中和都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？

[例2] （1）判断题以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形。

解：因为a2+b2=100+64=164c2，

即所以由a，b，c不能组成直角三角形。

请问：上述解法对吗？为什么？

（2）已知：在中，AB=13cm ，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm 。

求证：AB=AC。

这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。

例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子。

解：在中，所以是直角三角形。是直角。

在中，所以是直角三角形。是直角。

因此这个零件符合要求。

例2：（1）解：上述解法是不对的．因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2，即b2+c2=a2。所以由 a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边。

评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边．往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和。

（2）证明：根据题意，画出图形AB=13cm，BC=10cm 。

AD是BC边上的中线→BD=CD=5cm，在中AD=12cm ，BD=5cm，AB=13cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169。所以AB2=AD2+BD2。

则。

在Rt中，

所以。

（四）课时小结

你对本节的内容有哪些认识？掌握勾股定理的逆定理及其应用．熟记几组勾股数。

（五）板书设计

第三课时

教学设计思路

本节进一步学习勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，经历将实际问题转化为数学模型的过程，给学生充分交流的时间和空间，学会自主学习。

教学目标

知识与技能

能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。

过程与方法

1．经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展应用意识。

2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展实践能力和创新精神。

情感态度与价值观

1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯。

教学重点和难点

教学重点：运用勾股定理的逆定理解决实际问题。

教学难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题。

教学方法

合作探究、小组讨论

教学媒体

多媒体课件演示。

教学过程设计

（一）创设问题情境，引入新课

问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？

问题2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。

（1）你能替他想想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力。

在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径。

生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝。小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线段做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB的长度（如下图所示）

生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°，连接BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形。很明显，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题。

根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DAB是否为直角三角形，即∠DAB=90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB、BD、DA的长度，然后计算AB2+DA2和BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD⊥AB，同理可检测BC是否垂直于AB。

师：很好，对于问题2中的第（2）个小问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗？

生：可以，因为AD2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2。可是AD与AB垂直。

师：小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗？

生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的长度。

生：这样做误差太大，可以AB，AD上各量一小段教小的长度，例如在AB边上量一小段AE=8cm在AD边上量一小段AF=6cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可。

如果EF=10cm，EF2=100，则有AE2+AF2=EF2，根据勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90°即∠DAB=90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，则EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB。

师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们。

接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题。

（二）教授新课

例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形。

（1）a=15，b=8，c=17；

（2）a=13，b=14，c=15；

（3）求证m2－n2，m2+n2，2mn（m﹥n，m，n是正整数）是直角三角形的三条边长。

进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算。

生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小的边长的平方和是否等于最大边长的平方。

解：（1）因为152+82=225+64=289，

172=289，

所以152+82=172，这个三角形是直角三角形。

（2）因为132+142=169+196=365

152=225

所以132+142≠152。这个三角形不是直角三角形。

生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长。

（3）证明：m﹥n、m、n是正整数

（m2－n2）+（m2+n2）=2m2﹥2mn，

即（m2－n2）+（m2+n2）﹥2mn。

又因为（m2－n2）+2mn=m2+n（2m－n），

而2m－n=m+（n－n﹥0，）

所以（m2－n2）+2mn﹥m2+n2

这三条线段能组成三角形。

又因为（m2－n2）2=m4+n4－2m2n2

（m2+n2）2=m4+n4+2m2n2

（2mn）2=4m2n2，

所以（m2－n2）2+（2mn）2

=m4+n4－2m2n2+4m2n2

=m4+n4+2m2n2

=（m2+n2）2

所以，此三角是直角三角形，m2－n2、2mn、m2+n2（m﹥n、m、n是正整数）这三边是直角三角形的三边。

师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

而且我们不难发现m2－n2、m2+n2、2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m、n取值的不同会得到不同的勾股数。

例如m=2，n=1时，m2－n2=22－12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3、4、5就是一组勾股数。

你还能找到不同的勾股数吗？

生：当m=3，n=2时，m2－n2=32－22=5，m2+n2=13，2mn=2×3×2，所以5、12、13也是一组勾股数。

当m=4，n=2时，m2－n2=42－22=12，m2+n2=20，2mn=2×4×2=16，所以12、16、20也是一组勾股数。

……

师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法。

17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，向导了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想－－－－－费马大定理，即当n﹥2时，周布道任何的正整数组，使等式xn+yn=zn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强的探索着，试图来证明它。1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的迷。