2019-2020年高考数学 第五节 函数的奇偶性与周期性教材

2019-2020年高考数学 第五节 函数的奇偶性与周期性教材

教 材 面 面 观

1．函数的奇偶性

对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：

(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就是奇函数；

(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数；

(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性．

答案　f(－x)＝－f(x)　f(－x)＝f(x)

2．证明函数奇偶性的方法步骤

(1)确定函数定义域关于________对称；

(2)判定f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，从而证得函数的奇偶性．

答案　原点

3．奇偶函数的性质

(1)奇函数图象关于________对称，偶函数图象关于________对称；

(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝________；

(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性________；

偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性________．

(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．

答案　原点　y轴　0　相同　相反

4．周期函数

若f(x)对于定义域中任意x均有________(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．

答案　f(x＋T)＝f(x)

考 点 串 串 讲

1．函数的奇偶性

(1)定义

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．如果对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．

(2)对函数奇偶性的理解需注意：

从定义可以看出：

①若x是定义域内的点，则－x也在定义域内．由x的任意性可知：奇偶函数的定义域必定关于原点对称．换句话说，定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件．

②奇偶性是研究函数在整个定义域内函数值的对称问题，而单调性是研究函数在局部区间内的函数值的增减问题．两者虽然角度不同但都是研究函数的形态．

③f(x)若既是奇函数又是偶函数，则f(x)＝0，反过来，不一定成立．如：f(x)＝0(－1＜x＜2)就不是．

④若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

2．函数的周期性

周期函数的定义

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

注意　(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，若个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．

(2)在等式f(x＋T)＝f(x)中，应强调自变量x本身的常数才是周期，如f(＋T)＝f()，T不是周期，而应写成f(＋T)＝f[(x＋2T)]＝f()，2T才是f(x)的周期．

(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称之为最小正周期．今后提到的三角函数的周期，如未特别指出，一般都是它的最小正周期．

(4)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝C，所有的正数都是它的周期，但其中没有最小值，故常数函数没有最小正周期．

(5)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N＋)也是周期．

(6)在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界．

(7)设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：

①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝；③f(x＋a)＝－；④f(x＋a)＝；⑤f(x＋a)＝；⑥f(x＋a)＝f(x－a)，则函数y＝f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．

3．函数奇偶性的判断与证明

(1)根据图象的对称性判断

奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y轴成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．

(2)根据定义判断或证明

其步骤为：

第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则可断言函数y＝f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤．

第二步：判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析．

第三步：作出结论．若f(－x)＝f(x)则f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)则为奇函数，若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)为既奇且偶的函数；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．

(3)函数奇偶性的变形应用

对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用定义去证明，要注意灵活运用定义：当直接推证f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)遇到困难时，可以考虑证明等式f(－x)－f(x)＝0，或f(－x)＋f(x)＝0恒成立，或者证明＝±1[f(x)≠0]恒成立，前一个技巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．

4．函数的奇偶性与图象的关系

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．既是奇函数又是偶函数的函数图象在x轴上．

利用奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求出它在另一侧的解析式，其关键是利用“－x”进行转化．

奇函数f(x)若在原点处有定义，则f(0)＝0.

当问题比较抽象时，不妨作出个图形，让图形来帮助“说话”．

5．函数奇偶性的应用是本节的重点，主要表现在以下几个方面：

(1)利用奇偶性求有关函数值；

(2)利用奇偶性求有关函数解析式；

(3)利用奇偶性研究函数的其他性质．

常用结论：

①函数奇偶性满足下列性质：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．

③奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

④奇函数与奇函数复合还是奇函数，奇函数与偶函数复合是偶函数，偶函数与偶函数复合还是偶函数.

典 例 对 对 碰

题型一判断函数的奇偶性

例1讨论下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝|x－a|(常数a∈R)．

解析　(1)∵⇒，

得f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，

∵x＋3＞0，

∴原函数化简为f(x)＝(－2≤x＜0或0＜x≤2)，

∴f(－x)＝＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数；

(2)f(x)的定义域为R(很容易看出需要分a＝0和a≠0讨论)，

①当a＝0时，f(x)＝|x|，

∴f(－x)＝f(x)，

∴当a＝0时，f(x)为偶函数；

②当a≠0时，∵f(a)＝0，f(－a)＝2|a|，

∴f(－a)＋f(a)＝2|a|≠0，

∴f(x)不是奇函数，

而f(－a)－f(a)＝2|a|≠0，

∴f(x)不是偶函数．

∴当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

变式迁移1

判断函数f(x)＝lg(x＋)的奇偶性．

解析　解法一：x∈R，f(－x)＝lg(－x)＝lg＝－lg(＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

解法二：f(x)＋f(－x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg1＝0，故f(x)为奇函数.

题型二 函数的周期性

例2定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为(　　)

A．0　　　　　　　　　B．1

C．3 D．5

解析　f(x)为奇函数且周期为T，∴f(0)＝0，

∴f(T)＝f(－T)＝0.

又∵f(－)＝f(－＋T)＝f()＝－f()，

∴f()＝0，f(－)＝0，

∴f(x)在[－T，T]上至少有5个根．

答案　D

变式迁移2

设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　　)

A．0.5 B．－0.5

C．1.5 D．－1.5

答案　B

解析　∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．

∴4是f(x)的一个周期．

故f(7.5)＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.

题型三 周期性的应用

例3定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，且当x∈(－1,1]时，f(x)＝x2＋2x.

(1)求当x∈(3,5]时，f(x)的解析式；

(2)判断f在(3,5]上的增减性并证明．

解析　(1)∵f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数．设x∈(3,5]，

则－1＜x－4≤1，

∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)

＝x2－6x＋8(3＜x≤5)．

(2)f(x)为增函数．

用定义证明：设3＜x1＜x2≤5，

则f(x2)－f(x1)＝x－6x2＋8－x＋6x1－8

＝(x2－x1)(x2＋x1)－6(x2－x1)

＝(x2－x1)(x1＋x2－6)，

∵x1＜x2，

∴x2－x1＞0，x1＋x2－6＞3＋3－6＝0，

∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数．

点评　本题抓住f(x)＝－f(x＋2)这一特点，反复进行代数运算，将x＋2看做一个变量，是解决本题的关键．另外单调性的判断一般是用定义.

变式迁移3

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则(　　)

A．f(sin)＜f(cos)

B．f(sin)＞f(cos)

C．f(sin1)＜f(cos1)

D．f(sin)＞f(cos)

答案　C

解析　本小题主要考查函数的性质与图象，考查考生综合运用所学知识解决数学问题的能力．

∵f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期函数且2为它的一个周期，又f(x)是偶函数，由f(x)在区间[3,4]上是增函数知，f(x)在区间[－1,0]上是增函数，f(x)在区间[0,1]上是减函数．

∵0＜sin＜cos＜1，

∴f(sin)＞f(cos)；

∵1＞sin＞cos＞0，

∴f(sin)＜f(cos)；

∵1＞sin1＞cos1＞0，

∴f(sin1)＜f(cos1)；

∵1＞sin＞cos＞0，

∴f(sin)＜f(cos).

题型四 利用函数的奇偶性求解析式

例4已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)的图象(如图)关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间．

分析　由图象的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解．但这里不能忘了求f(0)．

解析　当x＜0时，－x＞0，

故f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋2＝x2＋2x＋2.

因函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数．

于是f(－x)＝－f(x)，

进而f(x)＝－(x2＋2x＋2)＝－x2－2x－2.

又当x＝0时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，从而f(0)＝0.

因此f(x)在(－∞，＋∞)上的解析式是：

f(x)＝

由图知，增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间是[－1,0)，(0,1]．

点评　(1)不要漏求f(0)；

(2)由于x＝0不在f(x)的减区间内，故减区间不能写成[－1,0]，[0,1]，而且两个单调区间之间一般不用“∪”符号连接；

(3)作图时注意实心点与虚点的正确应用．实心点表示的点为图上的点，而虚点表示的点不在图上，应区分清楚.

变式迁移4

已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)＝(　　)

A．－x(x－2) B．x(|x|－2)

C．|x|(x－2) D．|x|(|x|－2)

答案　B

解析　设x＜0，则－x＞0.

∵f(x)为奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.

∴f(x)＝

即f(x)＝x(|x|－2)．故选B.

题型五 奇偶性与周期性的关系

例5已知：函数f(x)定义在R上，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.

(1)求证：f(0)＝1；

(2)求证：y＝f(x)是偶函数；

(3)若存在常数c，使f()＝0.

①求证：对于任意x∈R，有f(x＋c)＝－f(x)；

②求证：y＝f(x)为周期函数．

分析　由条件f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.联想f(x)＝cosx，则有cos(x＋y)＋cos(x－y)＝2cosxcosy.

因cos＝0，cos(x＋π)＝－cosx，

cos(x＋2π)＝cosx.

故猜想，y＝f(x)的周期T＝2c.

证明　(1)由题意，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令x＝y＝0，

则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，即f 2(0)＝f(0)．

∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.

(2)令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，

∴f(－y)＝f(y)．

∴函数y＝f(x)是偶函数．

(3)①以x＋，分别代换x，y，

则f(x＋c)＋f(x)＝2f(x＋)f()．

∵f()＝0，∴f(x＋c)＝－f(x)．

②由①知，f(x)＝－f(x＋c)

＝－{－f[(x＋c)＋c]}＝f(x＋2c)．

∴y＝f(x)是以2c为周期的周期函数.

变式迁移5

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求f(0)的值；

(2)证明：函数f(x)是周期函数；

(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈[－1,3]时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．

解析　(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0.

(2)证明：函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)．　①

又f(x)关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)．　②

由①②，得－f(－x)＝f(2－x)，

换－x为x，则f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，

故f(x)是以4为周期的周期函数．

(3)∵f(x)＝x,0＜x≤1，∴当－1≤x＜0时，

0＜－x≤1，∴f(－x)＝－x.

又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x，f(x)＝x.

又f(0)＝0，当－1≤x≤1时，f(x)＝x，

当1＜x≤3时，f(x)＝－x＋2，

∴f(x)＝

图象如图所示．

【教师备课资源】

题型六 函数性质的综合问题

例6解答下述问题：

(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)＜f(2a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．

(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，求证：f(x)为奇函数且在定义域内单调递减．

解析　(1)∵f(x)为R上的偶函数，

∴f(－a2＋2a－5)＝f[－(－a2＋2a－5)]＝f(a2－2a＋5)．

∴不等式等价于f(a2－2a＋5)＜f(2a2＋a＋1)，

∵a2－2a＋5＝(a－1)2＋4＞0，

而2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋＞0.

∵f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称．

∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，

∴由f(a2－2a＋5)＜f(2a2＋a＋1)，

得a2－2a＋5＞2a2＋a＋1⇒a2＋3a－4＜0⇒－4＜a＜1，

∴实数a的取值范围是(－4,1)．

(2)令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)⇒f(0)＝0，

令y＝－x，

得　f(0)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数；

任取实数x1、x2，设x1＜x2，

∴x2－x1＞0，由条件知

f(x2－x1)＜0，而－f(x)＝f(－x)，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，

∴f(x)在定义域R上为减函数.

变式迁移6

已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：

①f(5)＝0；②f(x)在[1,2]上是减函数；③f(x)的图象关于直线x＝1对称；④f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)没有最小值．其中正确的判断序号是________．

解析　由f(1－x)＋f(1＋x)＝0可得f(1＋x)＝－f(1－x)，即得f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，从而得函数f(x)是周期为4的函数．

令x＝0，可由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得f(1)＝0，

∴f(5)＝f(1)＝0.

又由f(1＋x)＝－f(1－x)可知函数f(1＋x)为奇函数，点(1,0)为函数f(x)的对称中心，即得f(x)在[1,2]上与其在[0,1]上有相同的单调性，而已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上单调递增，可得函数f(x)在[1,2]上是减函数．

由上面的分析可得函数f(x)在x＝0处取得最大值，在x＝－2处取得最小值．

答案　①④

方 法 路 路 通

1．记住奇偶函数的如下五个性质，有利于解题．

(1)两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；

(2)两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；

(3)一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；

(4)奇函数图象关于原点对称，并且在两个对称区间上有相同的单调性；

(5)偶函数图象关于y轴对称，并且在两个对称区间上的单调性相反．

2．函数的奇偶性是对整个定义域而言的，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域．“函数的定义域关于原点对称”是它具有奇偶性的必要不充分条件．

3．要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(－x)之间的转化关系和图象的对称性解决有关问题．

4．解题中要注意以下性质的灵活运用．

(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．

(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则 f(0)＝0.

5．与周期性有关的结论．

(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b＋x)，则函数f(x)的周期T＝|a－b|.

(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b＋x)，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.

6．对于多项式函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn来说，若函数f(x)为偶函数，则其奇次项系数都为0，即a1＝a3＝a5＝…＝0.

若函数f(x)为奇函数，则其偶次项系数都为0，即a0＝a2＝a4＝…＝0.

正 误 题 题 辨

例判断函数f(x)＝的奇偶性．

错解　f(x)＝

＝

＝

＝

＝tan

∵f(－x)＝tan(－)＝－tan＝－f(x)

∴f(x)为奇函数．

点击　虽然有f(－x)＝－f(x)，但f(x)＝的定义域实际上不关于原点对称，所以不是奇函数．

正解　由1＋cosx＋sinx≠0⇒sin(x＋)≠－1⇒sin(x＋)≠－，∴x＋≠2kπ＋且x＋≠2kπ＋，即x≠2kπ＋，且x≠2kπ＋π(k∈Z)，

∴f(x)的定义域不关于原点对称．比如：x≠－，但x可以等于，∴f(x)为非奇非偶函数.

知 能 层 层 练

针对考点勤钻研　金榜题名不畏难

1．(xx·重庆卷)函数f(x)＝的图象(　　)

A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

答案　D

解析　因为f(x)＝2x＋＝2x＋2－x，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称，选D.

2．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

答案　C

解析　由已知得函数y＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，因此1－a＝0，a＝1，选C.

3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且是以4为周期的周期函数．若当x∈(0,2)时，f(x)＝lg(x＋1)，则有(　　)

A．f(－)＞f(1)＞f()

B．f(－)＞f()＞f(1)

C．f(1)＞f(－)＞f()

D．f()＞f(1)＞f(－)

答案　A

解析　∵f(－)＝f()，f()＝f(－)＝f()，而f(x)＝lg(x＋1)在(0,2)上是增函数，∴选A.

4．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解是__________．

答案　(－2,0)∪(2,5]

解析　f(x)为奇函数，故由所给图象可知－2＜x＜0时，f(x)＜0，又由图象知2＜x≤5时，f(x)＜0，故f(x)＜0的解为(－2,0)∪(2,5]．

5．是否存在实数a，使得函数f(x)＝log2(x＋)－a为奇函数，同时使函数g(x)＝x·为偶函数？

解析　若f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.

即log2(x＋)＋log2(－x＋)－2a＝0

整理得log2(x2＋2－x2)－2a＝0.∴a＝.

若g(x)为偶函数，则g(x)－g(－x)＝0.

即x＋x＝0.

化简，得x(－1＋2a)＝0.∴a＝.

综上，存在a＝满足条件．

2019-2020年高考数学 第五节 解三角形教材

教 材 面 面 观

1．正弦定理：＝________＝________＝2R，其中R是________．

答案　　　三角形外接圆半径

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝________，cosA＝________.

答案　a2＋c2－2accosB　

3．三角形常用面积公式：

(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．

(2)S＝absinC＝________＝bcsinA＝.

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

答案　acsinB

考 点 串 串 讲

1．解直三角形

在Rt△ABC中，∠C＝90°，

(1)三边满足勾股定理

(2)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°

(3)边角之间有如下关系

sinα＝　cosα＝

tanα＝(其中α为某个锐角)

2．正弦定理

(1)正弦定理

若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则＝＝＝2R，其中R是△ABC外接圆的半径．

正弦定理不仅揭示了三角形中边与角之间的正弦关系，而且还揭示了它们与三角形的外接圆半径之间的关系，其变形形式有：

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC

sinA＝，sinB＝，sinC＝

asinB＝bsinA，csinB＝bsinC，csinA＝asinC，a b c＝sinA sinB sinC

以上这些关系式，可根据问题的条件和结论加以选择应用．

(2)利用正弦定理解斜三角形

利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角．

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角．

对于已知两边和其中一边的对角，要注意解的讨论，因为这时三角形是不能唯一确定的，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况．图1和图2就表示了在△ABC中，已知a，b和A时解三角形的各种情况．

1°当A为锐角时，见图1.

2°当A为直角或钝角时，见图2.

(3)几点说明：

①正弦定理的本质揭示了三角形的边和所求角的关系，适用范围是任何三角形．

②若题设中出现的边或角的正弦是齐次的，则一般可以利用正弦定理或将边转化为角的三角函数或将角的三角函数转化为边．

3．余弦定理

(1)余弦定理：若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，则

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表示形式是

cosA＝，cosB＝，

cosC＝.

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，∠A为钝角⇔a2＞b2＋c2，∠A为直角⇔a2＝b2＋c2，∠A为锐角⇔a2＜b2＋c2.

(2)利用余弦定理可以解决如下两类问题：

①已知三边，求各角．

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

这两类问题在有解时都只有一个解．

(3)提示：

余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．

(4)常用的三角形面积公式

S＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)

S＝absinC＝bcsinA＝acsinB

S＝(R为外接圆半径)

S＝ (其中p＝(a＋b＋c))

S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)

4．解三角形常用的公式和结论

(1)关于三角形边、角的主要关系式

①三角形内角和等于180°.

②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

③三角形中大边对大角，小边对小角．

④正弦定理＝＝＝2R.

⑤勾股定理c2＝a2＋b2.(其中c为直角三角形的斜边)．

⑥余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC；cosC＝.

易知勾股定理是余弦定理的特殊情况．

⑦在△ABC中有：a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB⇔cosA

(2)三角形的面积公式

①S△＝ah(其中h是a边上的高)．

②S△＝absinC.

③S△＝＝sr，s为周长的一半，r为内切圆半径．

④S△＝，其中R为外接圆半径．

(3)由A＋B＋C＝π，易推出

①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，

tanA＝－tan(B＋C)．

②sin＝cos，cos＝sin.

(4)特殊三角形的性质：如等腰三角形、正三角形、锐角三角形等．

(5)三角形的重心、内心、外心、垂心的性质以及中线、高、角分线的性质等．

5．解三角形实际应用

(1)应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：

①根据题意作出示意图；

②确定实际问题所涉及的三角形，并理清该三角形的已知元与未知元；

③选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性；

④给出答案．

(2)解斜三角形的实际问题中几个测量中的角度：

①坡度：指坡面角的正切值，坡度i＝＝tanα.

②俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线在铅垂面内所成的角为俯角，如图α为俯角．

③仰角：视线在水平线以上时，视线与水平面在铅垂面内所成的角为仰角，如图β为仰角．

④方位角：由指北方向作为0°，顺时针方向转到目标方向的水平角．方位角的范围在0°到360°之间.

典 例 对 对 碰

题型一 利用正余弦定理进行边角转化

例1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

解析　(1)解法一：由正弦定理＝＝＝2R

得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

将上式代入已知＝－，

得＝－.

即2sinAcosB＋sinCcosB＋cosCsinB＝0.

2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.

∴2sinAcosB＋sinA＝0.

∵sinA≠0，∴cosB＝－.

∵B为三角形的内角，∴B＝π.

解法二：由余弦定理得

cosB＝，cosC＝，

将上式代入＝－，

得·＝－.

整理得a2＋c2－b2＝－ac.

∴cosB＝＝＝－.

∵B为三角形的内角，∴B＝π.

(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，

∴13＝16－2ac(1－)．

∴ac＝3.

∴S△ABC＝acsinB＝.

变式迁移1

△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cosB＝(　　)

A.　　 B.

C. D.

答案　B

解析　由题意得＝＝＝＝2cosB，cosB＝，选B.

题型二 三角形的面积

例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c其中c边最长，并且sin2A＋sin2B＝1，

(1)求证：△ABC为直角三角形；

(2)当c＝1时，求△ABC面积的最大值．

解析　(1)证明：∵c边为最长边，

∴A、B均为锐角．

由sin2A＋sin2B＝1得sin2A＝cos2B.

∵sinA、cosB均为正数，∴sinA＝cosB.

∴sinA＝sin(－B)，

又A，－B∈(0，)，

∴A＝－B.∴A＋B＝，即C＝.

所以三角形ABC为直角三角形．

(2)三角形ABC的面积的最大值S＝ab＝·2ab≤(a2＋b2)，

由于a2＋b2＝c2＝1，∴S≤，

当且仅当a＝b＝时，上式取等号，

所以△ABC面积的最大值为.

变式迁移2

在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：

(1)角C的度数；

(2)AB的长；

(3)△ABC的面积．

解析　(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]

＝－cos(A＋B)＝－，∴C＝120°

(2)∵a、b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，

∴

∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC

＝b2＋a2－2abcos120°

＝(a＋b)2－ab

＝(2)2－2＝10，

∴AB＝.

(3)S△ABC＝·a·b·sinC

＝·a·b·sin120°＝.

题型三 判断三角形的形状

例3在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．

分析　判断三角形形状问题，可由正余弦定理，将角的问题统一到边处理，或由边的问题转化到角处理，由等式两边均为关于边的二次式，可先将边化为角，再利用角的变换来判断．

解析　∵＝＝＝2R，∴b2＝4R2sin2B.

c2＝4R2sin2C,2bc＝8R2sinBsinC.

∴4R2sin2B·sin2C＋4R2sin2Bsin2C

＝8R2sinBsinCcosB·cosC.

即sinB·sinC＝cosB·cosC.

∴cos(B＋C)＝0，∴B＋C＝，

∴A＝.

∴△ABC是直角三角形．

点评　判断三角形的思路有两条——化边和化角，工具是正余弦定理和三角形中的边角关系．在本例中若转化为边，等式左边产生R2，而等式右边没有，处理难度较大，所以简单易行的方法就是转化为角.

变式迁移3

(1)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinB·cosC，试确定△ABC的形状．

(2)在△ABC中，若tanA tanB＝a2 b2，试判断△ABC的形状．

解析　(1)由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA.

∴2cosA＝1，即cosA＝.∴A＝60°.

∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，而由已知sinA＝2sinB·cosC，

∴sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，

∴B＝C.

∵B＋C＝120°，∴B＝C＝60°.

∴△ABC是等边三角形．

(2)由同角三角函数关系及正弦定理可推得：

＝.

∵A、B为三角形的内角．

∴sinA≠0，sinB≠0，

∴＝，∴sin2A＝sin2B，

∴2A＝2B，或2A＝π－2B.

∴A＝B，或A＝－B.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

题型四 解三角形的实际应用

例4如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在c处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

分析　船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小．于是，只要先算出AC(或AB)，再算了A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解．

解析　在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，

∠ACB＝180°－45°＝135°，∴∠A＝15°.

由正弦定理知：＝.

∴＝.

∴AC＝＝60cos15°＝15(＋)．

于是A到BC所在直线的距离为：

ACsin45°＝15(＋1)≈40.98(海里)．

它大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险.

变式迁移4

甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B点处，测得乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船速度是每小时a海里，问甲船如何航行才能最快地与乙船相遇．

解析　如图，设两船最快在C点相遇，在△ABC中，B＝120°，AB为定值，AC、BC分别是甲船与乙船在相同时间里的行程，

由已知条件有AC BC＝a a＝ 1，

由正弦定理，得

sinA＝sinB＝sin120°＝.

又0°＜A＜60°，∴A＝30°.

而甲的航向是60°－A＝60°－30°＝30°.

故甲船以北偏东30°的方向航行，才能最快地与乙船相遇．

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题型五 正弦定理

例5△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，则a b c＝________.

分析　先求出sinA，sinB，sinC.

解析　∵cosA＝，cosB＝，

0＜A＜π，0＜B＜π，

∴sinA＝，sinB＝.

∴sinC＝sin(A＋B)

＝sinAcosB＋cosAsinB

＝×＋×＝.

∴a b c＝sinA sinB sinC

＝

＝13 20 21.

答案　B 20 21

变式迁移5

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知＝＝，求a、b及△ABC的内切圆的半径．

解析　由＝，＝，可得＝.变形为sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.

又∵a≠b，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝.

∴△ABC是直角三角形．

由

解得a＝6，b＝8.

∴内切圆的半径为

r＝＝＝2.

题型六 余弦定理

例6已知在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，求其他边和角．

分析　本题可利用正弦定理先求出角C，再求出角B及边AC.也可利用余弦定理先求出边AC，再求同角C及角B.

解析　解法一(利用正弦定理)：

根据正弦定理，有sinC＝sin45°＝，

∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，

AC＝·sinB＝＋1，

当C＝120°时，B＝15°，AC＝sinB＝－1.

∴AC＝＋1，B＝75°，C＝60°；或AC＝－1，B＝15°，C＝120°.

解法二(利用余弦定理)：

设AC＝b，由余弦定理可得：

b2＋()2－2bcos45°＝22，b2－2b＋2＝0.

∴b＝±1；

又∵()2＝b2＋22－2×2bcosC，

解得cosC＝±.

∴或

变式迁移6

已知⊙O内弧度的圆心角所对的弦长是sin，则该角所对的弧长是________．

答案　cos

解析　设圆的半径为R，

则(sin)2＝R2＋R2－2R·Rcos

＝2R2(1－cos)．

∴1－cos2＝2R2(1－cos)，

∴1＋cos＝2R2，＝R2，

cos2＝R2，∴R＝cos，∴l＝cos.

方 法 路 路 通

1．在处理三角形中的三角函数求值问题时，要注意角的范围与三角函数值的符号之间的联系与影响．

2．有关三角形边角关系的问题，要以统一的思想着眼，或统一为三角函数，作三角变形；或统一为边，作代数变形；或统一为面积问题．

3．要重视三边、三内角、三线(中线、高线、角平分线)、面积、两半径(外接圆半径、内切圆半径)之间的相互依赖与相互转化关系．

4．注重正弦定理与余弦定理的综合应用，灵活选择“边化角还是角化边”，一般规律是把边角混合的式子化成纯三角公式，利用三角函数知识去变形解决．

5．利用正、余弦定理判断三角形的形状

由已知，利用三角形中的主要知识点，特别是角的关系和边角关系，推出满足题设条件的三角形的形状．

判断三角形的形状的常用方法是，把已知的等式都化为角的等式或者化为边的等式．

6．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形式．

①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

②sinA＝，sinB＝，sinC＝；

③sinA:sinB:sinC＝a:b:c.可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2RsinA,2RsinB,2RsinC来解题．

7．解三角形常见的四种类型：

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝可求出角C，再求出b、c.

(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA求出a，再由余弦定理求出角B、C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)求出C，再由＝求出c，而通过＝求B时，可能出现一解、两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

正 误 题 题 辨

例在△ABC中，a＝100，c＝50，A＝45°，求C.

错解　在△ABC中，a＝100，c＝50，A＝45°，由正弦定理得

＝，

所以，sinC＝＝＝

故C＝30°或C＝150°.

点击　在△ABC中， ∵c＜a，∴由三角形大角对大边知C＜A，即C是一个锐角．

正解　C＝30°.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/586b82fb443610661ed9ad51f01dc281e43a564f.html