奥第3讲 - 定义新运算教案

课 题： 四奥第四讲 定义新运算

教学目标：

1、使学生认识什么是定义新运算；

2、使学生理解新运算的规则并能够按新运算的要求进行计算；

3、培养学生分析问题、解决问题的能力；

重难点：

重点：理解新运算的定义并能够按新运算的要求进行计算；

难点：对于题目没有直接告诉我们符号的运算规则时，可以通过观察条件，找到符号的运算规则；

教具与学具：

本周通知事项：

教学过程：

一、 引入：

同学们，告诉你们一个好消息，Ali也来到了巨人课堂，但是他遇到了困难希望同学们能够帮帮他，老师相信乐于助人的你们一定很想快点帮Ali解决困难，好吧，那我们就一起来看看Ali遇到的是什么困难吧。

二、新课教授：

例1：设a,b都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a－3×b。试计算5△6，6△5。

【老师】 哦，原来是题目中出现了一个奇怪的三角形，Ali不知道是怎么回事，那聪明的你们知道怎么办吗

【学生甲】“△”和我们所学的符号不一样

【老师】 说的很对，我们以前是没有见过，那我们可不可以根据他所给的来寻找规律，解决下面的题目呢

【学生乙】 老师，我知道，根据已知的条件可以知道“△”表示的是△前面一个数乘以4减去后一个数乘以3的差。

【老师】 好！同学们掌声鼓励下，这位同学观察得非常仔细，只要我们找到了这个规律，那我们解决下面的问题还难吗！我们一起来看看。

请同学们上黑板做，然后再一起规范过程

解：因为a△b=4×a－3×b

5△6= 4×5-3×6 6△5= 4×6-3×5

=20-18 =24-15

=2 =9

同学们确实很聪明，Ali看到这个都不知道该怎么办，但是我们能够很快的解决，不得不承认大家都是聪明的，但是同学们，你们有没有发现，“△”前后的数字交换后，结果就不一

样了，所以呢，今天Ali的困难也就是我们今天要学习的新内容“定义新运算”，它不同于我们所学的＋、－、×、÷，赋予我们一种新的定义，在这一讲中，我们会学习利用一些特殊的符号，比如○、△、＃、※、◎……，并利用＋、－、×、÷定义一些新的运算规则。

接下来我们来看下Ali遇到的第二个问题是什么呢

例2：对于两个数a,b,规定a⊙b表示3×a＋2×b。试计算

(1)3⊙2

(2)2⊙3

(3)（5⊙6）⊙7，5⊙（6⊙7）。

【老师】（1）“⊙”被定义成了一种什么样的新运算呢

【学生】⊙表示3乘以前一个数加上2乘以后一个数的和

【老师】好，很正确，看来同学们的眼睛都很厉害，这样下去老师得下台了~~~

第一问和第二问请两个同学上黑板做，其他同学在下面做。

【老师】(2) 3⊙2和2⊙3的结果一样吗

【学生】不一样！

【老师】所以老师在这里再一次强调，计算时要严格按照运算规则进行运算，不能随便交换符号前后两个数。

【老师】（5⊙6）⊙7的运算顺序是什么 老师强调，在新运算里，有括号就先算括号（建议分步计算）

解：（1）3⊙2=3×3+2×2=13

（2）2⊙3=3×2+2×3=12

（3）在（5⊙6）⊙7中，应该先算括号里面的，所以建议大家分步算。

5⊙6=3×5+2×6=27， 27⊙7=3×27+2×7=95

在5⊙（6⊙7）中，

6⊙7=3×6+2×7=32， 5⊙32=3×5+2×32=79

练一练：定义新运算a3eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.pngb=a×b+a+b,（1）求63eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png2,23eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png6； （答案：20，20）

（2）求（13eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png2）3eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png3,13eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png（23eb02fff4997ea78e9c47152ebbc24c3.png3）； （答案：23，23）

【老师】Ali看到这些题目是越看越糊涂，完全不知道怎么办，这不，看到下面这个题目几乎傻眼，那我们也来看看是什么题目让Ali感觉那么困难。

例3：例3、规定运算“☆”为：

若a＞b，则a☆b＝a＋b；

若a＝b，则a☆b＝a－b＋1；

若a＜b，则a☆b＝a×b；

那么，2☆3＋4☆4＋7☆5 等于多少

【老师】这个题就有些复杂了，同学们先看看题目，然后请同学告诉我，你发现了什么

【学生】老师，这个运算不统一

【老师】好，回答很正确，那又知不知道是怎么不统一的呢

【学生】符号前后的数字需要比较大小，分情况讨论

老师学生：怎么讨论当符号前面的数大于后面的数时，运算法则是两个数相加；当符号前面的数等于后面的数时，符号前面的数减去后面的数再加上1；当符号前面的数小于后面

的数时，运算法则是两数相乘。我们一起来看看。

解： 2☆3＋4☆4＋7☆5

=2×3+4－4+1+7+5

=6+1+12

=19

【老师】看来这些题目根本就难不倒聪明的你们，那老师出一个题目给你们练练。

练一练：设a、b都表示数，规定：

若a＞b，a*b=3×a＋2×b。

若a＜b，a*b=a÷3＋b

那么（5*6）*7等于多少

看来大家都掌握了， 下面这个题目，老师想让同学们自己来当小老师，老师来当学生， 给大家讲讲这个题目。

例4 ，对于任意两个不相等的自然数a 和b，a⊙b 表示a、b 中较大的数除以较小的数

的余数，如：13⊙5＝3，23⊙7＝2，求74⊙9，8⊙60，29⊙（36⊙8）。

解： 74÷9=8……2，所以 74⊙9=2

60÷8=7……4，所以 8⊙60=4

29⊙（36⊙8）先算括号，36÷8=4……4，

36⊙8=4

所以29⊙（36⊙8）=29⊙4

29÷4=7……1

29⊙4=1

29⊙（36⊙8）=1

【老师】看来大家都很有当老师的天赋，以后我们会经常请同学们上来展示。

例5：规定：a○b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），其中a、b 表示自然

数。求1○100 等于多少

【老师】同学们观察一下，这个题中的○被定义成了一种什么样的新运算可通过设

数法帮助学生分析或者可以直接把1和100代进定义即可发现规律。

【学生】a○b表示计算从a开始b个连续自然数的和。

【老师】规律发现了，那解决这个题海难不难

【异口同声】不难！

【老师】不难还不赶紧写。。。。。。

解：1○100=1+2+3+4+5……+100

=（1+100）×100÷2

=5050

练一练：如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。

5！=1×2×3×4×5

例6，假设1※5=1+11+111+1111+11111，2※4=2+22+222+2222，3※2=3+33，

那么6※4应等于什么2006※2又等于什么

【老师】此题与之前题目的区别此题没有直接告诉※被定义成了什么样的新运算。

让学生回答

解： 6※4=6+66+666+6666=7404

2006※2=2006+=

练一练：规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。

解：7*5=7+77+777+7777+77777=86415

【老师】同学们都很不错，那敢不敢挑战一下老师给你们的题目呢

【异口同声】敢！

例7，有一个运算符号“＃”，使下列算式成立：2＃4＝8，5＃3＝13，3＃5＝11，

9＃7＝25，求7＃3。

【老师】咦，这个题好像和之前的大不一样，你能发现“＃”被定义成了什么样的运算吗

【学生】思索状。。。。。。

【老师】提示：2＃4＝8可以经过怎样的运算得到8呢，5＃3＝13，3＃5＝11 9＃7＝25 呢

【学生】老师我知道，2＃4=2×2+4 5＃3=2×5+3=13 3＃5=2×3+5=11 9＃7＝2×9+7=25

【老师】好，很不错，那我们把这个规律用a、b来表示就是a＃b=2×a+b，显然7＃3=2×7+3=17

那同学们在自己做做，这个是什么规律呢

练一练：有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。

分析：a▽b=a+3×b

8▽4=8+3×4=20

例8、有A、B、C、D 四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数

加3；装置C：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6。这些装置可以连接，

如装置A 后面连接装置B，写成A∮B，输入4，结果是23；装置B 后面接装置A，

就写成B∮A，输入4，结果是35；

（1）装置A∮C∮D 连接，输入19，结果是多少

（2）装置D∮C∮B∮A 连接，输入什么数字，可得结果75

【老师】这个题目呢，其实不难，大家往往会有一个误区，认为题目长的灰很难，在这里老师要告诉大家，老师最喜欢的就是题目长的，越长越喜欢，因为越长越简单，所以不要害怕，耐心的看下去，题目看透理解了，那就不难。现在同学们认真看看题目。

我们一起看下，装置A：将输入的数乘以5，

装置B：将输入的数加3

装置C：将输入的数除以4

装置D：将输入的数减6

我们再看看，装置A 后面连接装置B，写成A∮B

输入4，结果是23

也就是，A∮B=4×5+3=23

那装置A∮C∮D 连接，输入19，结果是多少呢

A∮C∮D=19×5÷4－6

=

不难吧，理解题意跟本就不是问题。再看下第二问装置D∮C∮B∮A 连接，输入什么数字，可得结果75我们想想，D∮C∮B∮A分别是将输入的数减去6后除以4然后加3，最后诚意5得到75，是不是就是我们之前所接触的还原法解题

word/media/image4.gif

word/media/image5.gifword/media/image5.gifword/media/image5.gif -6 ÷4 +3 ×5 75

+6 48 ×4 12 -3 15 ÷5

word/media/image6.gifword/media/image6.gifword/media/image6.gifword/media/image7.gif 54

（75÷5－3）×4+6=54

所以输入的数字是54。

总 结：

今天我们学习了利用一些特殊的符号，比如○、△、＃、※、◎……，在＋、－、×、÷的基础上定义一些新的运算规则，在解决这类问题时，关键是理解新运算的定义，并严格按新运算的要求进行运算，如果题目没有直接告诉我们符号的运算规则，我们可以观察条件，通过规律找到符号的运算规则。

同学们都很棒啊，Ali的困惑我们这么轻松就解决了，下面我们压迫学的内容大家有没有信心今天我们就上到这里，下节课再见。

作业：

1、喜羊羊和美羊羊发现了一个神秘的运算符号“§”，符号“§”的运算规则是：

a§b＝3×a＋2×b－2，求10§11,4§8。

解：10§11=3×10+2×11-2 4§8=3×4+2×8-2

=30+22-2 =12+16-2

=50 =26

2、如果规定a□b＝a×3－b÷2，那么（10□6）□8 等于多少12□（5□2）呢

解：（10□6）□8=（10×3-6÷2）□8 12□（5□2）=12□（5×3-2÷2）

=27□8 =12□14

=27×3-8÷2 =12×3-14÷2

=81-4 =36-7

=77 =29

3、已知：a≥b 时，规定a↑b=3×a＋2×b，当a＜b 时，规定a↑b=2×a＋3×b。请

计算：3↑4↑1。

解：3↑4↑1=（2×3+3×4）↑1

=18↑1

=3×18+2×1

=54+2

=56

4、规定□的运算法则如下，对于任何整数a，b，有

（1）当a+b≥10 时，a□b=2×a+b-1

（2）当a+b<10 时，a□b=2×a×b

求：（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）的值。

解：（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）

=2×3×4+2×4×5+2×5+6-1+2×6+7-1

=24+40+15+18

=97

6、对于任意两个不相等的自然数a 和b，a⊕b 表示a、b 中较大的数除以较小的数的

商与余数的和，如：7⊕2＝4，22⊕5＝6，求62⊕7， 50⊕（3⊕14）。

解：62⊕7=8+6=14 50⊕（3⊕14）=50⊕（4+2）

=50⊕6

=8+2

=10

7、若3▽4＝3＋4＋5＋6＝18,6▽5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算1995□5。（题目有误）

改：若3□4＝3＋4＋5＋6＝18,6□5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算1995□5。

解：1995□5=1995+1996+1997+1998+1999=

8、有一个数字符号“※”使下列算式成立：6※2=12，4※3=13，3※4=15，5※1=8，

按此规律计算：8※4 的值。

解：a※b=a+3×b

8※4=8+3×4=20

9、因为狼和羊在一起时狼会吃掉羊，所以规定：

狼△狼=狼羊△羊=羊狼△羊=狼羊△狼=狼

这个运算的意思是：狼与狼在一起是还是狼；羊与羊在一起时还是羊；狼与羊在一起

时，狼吃掉了羊，就只剩下狼了。

因为善良的小朋友总希望羊能战胜狼，所以又规定：

狼■狼=狼羊■羊=羊狼■羊=羊羊■狼=羊

这个运算的意思是：狼与狼在一起是还是狼；羊与羊在一起时还是羊；狼与羊在一起

时，羊会赶走狼，就只剩下羊了。

现在，请聪明的你算一算下面的式子，看看最后是狼吃掉了羊，还是羊赶走了狼

羊■（狼△狼）△羊■（狼△羊）

解：羊■（狼△狼）△羊■（狼△羊）

=羊■狼△羊■狼

=羊△羊■狼

=羊■狼

=羊

10、小明来到红毛族探险，看到下面向个红毛族的算式：

8×8=8，9×9×9=5，9×3=3，（93+8）×7=837

老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“+、-、×、÷、（）、=”与我们算术中的意

义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们的写法相同，但代表的数却不同。

请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57。

word/media/image7.gif 解：8×8=8 8为0或1

word/media/image7.gif 9×9×9=5 9为2,5为8

word/media/image7.gif 9×3=3 3为0，则8为1

（93+8）×7=837

word/media/image7.gif（20+1）× 7=107 7为5

89×57 也即我们的12×85=1020

换为红毛族算式 89×57=8393

总 结：

今天我们学习了利用一些特殊的符号，比如○、△、＃、※、◎……，在＋、－、×、÷的基础上定义一些新的运算规则，在解决这类问题时，关键是理解新运算的定义，并严格按新运算的要求进行运算，如果题目没有直接告诉我们符号的运算规则，我们可以观察条件，通过规律找到符号的运算规则。

板书设计： 定义新运算

观察 例题1、 例题2、 例题3、

读懂规则

课后反思：

作业布置：

P11T1,3,4,7,8，9 思考P12T10

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/49ad514cedf9aef8941ea76e58fafab069dc44b5.html