11-12学年高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程优化训练 新人教A版选修2-1

2.2.1 椭圆及其标准方程 优化训练

1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4　　　　　　　　　　　　 B．5

C．8 D．10

答案：D

2．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)

A．(±4,0) B．(0，±4)

C．(±3,0) D．(0，±3)

答案：D

3．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝6，则椭圆的标准方程为________．

答案：＋＝1

4．已知B、C是两定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．

解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)．

由|BC|＝8，可设B(－4,0)，C(4,0)．

由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，

得|AB|＋|AC|＝10>|BC|＝8.

因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝9.

所以A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

一、选择题

1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋y2＝1

C.＋＝1 D.＋x2＝1

解析：选A.c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

∴椭圆的方程为＋＝1.

2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)

A．20 B．12

C．10 D．6

解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知

∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.

3．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.

4．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1

C．x2＋＝1 D.＋＝1

解析：选D.由题意知a2－2＝4，∴a2＝6.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

5．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4 B．5

C．7 D．8

解析：选D.焦距为4，则m－2－(10－m)＝2，∴m＝8.

6．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

解析：选B.S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，

又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

二、填空题

7．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．

解析：∵2a＝8，∴a＝4，

∵2c＝2，∴c＝，∴b2＝1.

即椭圆的标准方程为＋x2＝1.

答案：＋x2＝1

8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.

解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，＝＝＝.

答案：

9．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

解析：由题意知

解得3<k<5且k≠4.

答案：3<k<5且k≠4

三、解答题

10．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.

(1)求M的横坐标；

(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．

解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.

∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.

(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)，

把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.

故所求椭圆的方程为＋＝1.

11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．

∵F1A⊥F2A，∴·＝0，

而＝(－4＋c,3)，

＝(－4－c,3)，

∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，

∴c2＝25，即c＝5.

∴F1(－5,0)，F2(5,0)．

∴2a＝|AF1|＋|AF2|

＝＋

＝＋＝4.

∴a＝2，

∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

12．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆方程；

(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

解：(1)由已知得|F1F2|＝2，

∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，

∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)在△PF1F2中，由余弦定理得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，

∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝12，

∴ ＝|PF1||PF2|sin120°

＝×12×＝3.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/47aa090979563c1ec5da7110.html