数学人教版九年级上册数学活动 - 探究四点共圆的条件的教学设计

发布时间：2019-01-02 18:42:29 来源：文档文库

小中大

字号：

手机查看

数学活动　探究四点共圆的条件

一、内容和内容解析

1．内容：四点共圆的条件．

2．内容解析

四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形)的探究，进行猜想，并将猜想的结果在一般性情况下进行严密的推理验证，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．

(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．

达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．

本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．

四、教学过程设计

1．创设情境，发现问题

引言　在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆(图1(1))；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆(图1(3))．

(1) (2) (3)

图1

问题1　过平面内四点能作一个圆吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．

设计意图：①体会到分类思想：平面内4点可分为四点共线；其中有三点共线；任意三点都不共线三种情况；

② 由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜想的证明作适当的知识准备．

2．合作探究　获得猜想

师生活动：学生分成小组，在事先准备好的练习纸上对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这几个特殊四边形进行试验探究，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．

教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件．教师可以带领学生从边、角等方面进行分析。

师生活动：运用《几何画板》对任意四边形的情况进行验证：

设计意图：让学生学会利用载体去对问题进行研究．从特殊过渡到特殊，最后到一般情形，一步一步地向探究的目标靠近．在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，引导学生从四边形的边和角等方面去猜测．探究．有利于学生在“做”数学的过程中思考、积淀，积累数学活动的经验．

3．证明猜想，获得结论

问题3　如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”？

师生活动：教师展示问题，师生共同写出已知、求证．

即：已知：在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180º．

求证：过点A，B，C，D可作一个圆．

学生思考并尝试回答．学生可能联想到过三点做圆的问题，因此需要找到一点O，满足OA＝OB＝OC＝OD．

追问1：如何找到这个点？

师生活动：教师引导学生：四边形的问题可以转化成三角形来研究，四点共圆的问题可以考虑能否转化成三点共圆的问题？不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过三点的圆，第四点不能确定是否共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，再考虑余下的点是否在过三点的圆上．

追问2：假设过三点的圆已经作出(过三点A，B，C作出圆O)，如何证明第四点(点D)在这个圆上？