因式分解(一)
——提取公因式与运用公式法
【学习目标】(1)让学生了解什么是因式分解;
(2)因式分解与整式的区别;
(3)提公因式与公式法的技巧。
【知识要点】
1、提取公因式:型如,把多项式中的公共部分提取出来。
☆提公因式分解因式要特别注意:
(1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是正的,并且注意括号内其它各项要变号。
(2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。
(3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c变成-(c-a-b)才能提公因式,这时要特别注意各项的符号)。
(4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。
(5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式:
; 。
平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。
完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同;
(3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。
☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领:
(1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。
(3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。
(4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。
【经典例题】
例1、找出下列中的公因式:
(1) ab,5ab,9b的公因式 。
(2) -5a2,10ab,15ac的公因式 。
(3) x2y(x-y),2xy(y-x) 的公因式 。
(4) ,,的公因式是 。
例2、分解下列因式:
(1) (2)
(3) (4)
例3、把下列各式分解因式:
(1) (2)
例4、把下列各式分解因式:
(1)x2-4y2 (2)
(3) (4)
例5 把下列各式分解因式:
(1) (2)
(3) (4)
思考题:已知、、分别是△ABC的三边,求证:。
【经典练习】
一、填空题
1.写出下列多项式中公因式
(1) (2)
(3) (4)
2. 2x(b-a)+y(a-b)+z(b-a)= 。
3. -4a3b2+6a2b-2ab=-2ab( )。
4. (-2a+b)(2a+3b)+6a(2a-b)=-(2a-b) ( )。
5. -(a-b)mn-a + b= .。
6.如果多项式可分解为,则A为 。
7.因式分解9m2-4n4=( )2-( )2= 。
8.因式分解0.16a2b4-49m4n2=( )2-( )2= 。
9.因式分解= 。
10.因式分解 。
11.把下列各式配成完全平方式。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
二、选择题
1.多项式6a3b2-3a2b2-21a2b3分解因式时,应提取的公因式是 ( )
A.3a2b B.3ab2 C.3a3b2 D.3a2b2
2.如果,那么( )
A. m=6,n=y B. m=-6, n=y C. m=6,n=-y D. m=-6,n=-y
3.,分解因式等于( )
A. B. C. D.以上答案都不能
4.下面各式中,分解因式正确的是 ( )
A.12xyz-9x2.y2=3xyz(4-3xy) B.3a2y-3ay + 6y=3y(a2-a+2)
C.-x2+xy-xz=-x(x2+y-z) D.a2b + 5ab-b=b(a2 + 5a)
5. 是多项式( )分解因式的结果
A. B. C. D.
6. 分解因式的结果是( )
A. B.
C. D.
7. 若,则的值是( )
A.6 B.4 C. 3 D.2
8. 把多项式分解因式的结果是( )
A. B.
C. D.
9. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的有( )
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
A.2 B.3 C.4 D.5
10.若是一个完全平方式,则等于( )
A. B. C. D.
三、因式分解(提公因式法):
1.6x3-8x2-4x 2.
3.x2y(x-y) + 2xy(y-x) 4.5m(a +2)-2n(2 + a)
5. 6.
四、因式分解(运用公式法):
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
因式分解(一)作业
1.把下列各式分解因式正确的是( )
A.xy2-x2y = x(y2-xy) B.9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)
C.3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) D. + = (x+y)
2.下列各式的公因式是a的是( )
A.ax+ay+5 B.3ma-6ma2 C.4a2+10ab D.a2-2a+ma
3.-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是( )
A.-3x B.3xz C.3yz D.-3xy
4.把(x-y)2-(y-x)分解因式为( )
A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1) C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1)
5.观察下列各式①2a+b和a+b,②5m(a-b)和-a+b,③3(a+b)和-a-b,
④x2-y2和x2+y2其中有公因式的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
6.下列各式中不能运用平方差公式的是( )
A. B. C. D.
7.分解因式其中一个因式是( )
A. B. C. D.
8.分解因式的结果是( )
A. B.
C. D.
9.分解因式后的结果是( )
A.不能分解 B. C. D.
10.下列代数式中是完全平方式的是( )
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A.①③ B.①② C.④⑥ D.④③
11.k-12xy2+9x2是一个完全平方式,那么k的值为( )
A.2 B.4 C.2y2 D.4y4
12.若是完全平方式,则m的值等于( )
A.-5 B.7 C.-1 D.7或-1
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