2019年北京中考数学试题（解析版）

{来源}2019年北京中考数学试卷

{适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年北京市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：100分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．

{题目}1．（2019年北京）4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方紅一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439 000用科学记数法表示应为

A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.439 ×103

{答案}C

{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．439 000=4.39×100000=4.39×105，故本题答案为C.

{分值}2

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年北京）下列但导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）

A B C D

{答案}C

{解析}本题考查了轴对称图形的识.如果一个图形沿某直线对折后，这线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.根据轴对称图形的定义可知选项C中的图形是轴对称图形.

{分值}2

{章节:[1-13-1-1]轴对称}

{考点:轴对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年北京）正十边形的外角和为（ ）

A．180° B．360° C．720° D．1440°

{答案}B

{解析}本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和都等于360°可知答案为B.

{分值}2

{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}

{考点:多边形的外角和}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO＝BO，则a的值为（ ）

A．-3 B．-2 C．-1 D．1

{答案}A

{解析}本题考查了数轴及平移的性质. ∵点A,B在原点O的两侧，∴a＜0.∵CO=BO，点B表示数2，∴点C表示数-2.∵点A向右平移1个单位长度得到点C，∴点A表示的数a=-2-1=-3.

{分值}2

{章节:[1-1-2-2]数轴}

{考点:数轴表示数}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5．（2019年北京）已知锐角∠AOB．

如图

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作2d23a8f18a009f97d38e3b245811916b.png，交射线OB于点D．连接CD；

（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交2d23a8f18a009f97d38e3b245811916b.png于点M、N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A.∠COM＝∠COD B.若OM＝MN，则∠AOB＝20°

C.MN∥CD D.MN＝3CD

word/media/image4_1.png

{答案}D

{解析}本题是一道尺规作图题，综合考查了等腰三角形、全等三角形、平行线的判定等知识.如图，连接ON，根据作图过程可知∠COM=∠COD=∠DON，故选项A正确；若OM=MN，则△OMN是等边三角形，∴∠AOB=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png×60°=20°，故选项B正确；设MN与OA交于点E,与OB交于点F.易证△MOE≌△NOF，∴OE=OF.∵OC=OD，∴∠OEF=∠OFE=∠OCD=∠ODC，∴MN∥CD，故选项C正确；连接MC,DN，则MC=CD=DN，根据“两点之间线段最短”可知MC+CD+DN＜MN，即3CD＜MN，故选项D不正确.

{分值}2

{章节:[1-13-2-2]等边三角形}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{考点:等边三角形的判定与性质}

{考点:等边对等角}

{考点:同位角相等两直线平行}

{考点:线段公理}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}6．（2019年北京）如果m＋n＝1，那么代数式eea9d48e289c83c0a605a68140ed6a71.png的值为

（ ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

{答案}D

{解析}本题考查了分式的化简求值.原式=562baaf943025f73eaa3097674fb7fc9.png

=3（m+n）.当m+n=1时,原式=3×1=3.

{分值}2

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{考点:分式的混合运算}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}7．（2019年北京）用不等式a＞b，ab＞0， 94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

{答案}D

{解析}本题考查了不等式的基本性质及真命题的判定．根据题意，可知组成的命题有3个，分别为①若ab＞0，94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png，则a＞b；②若a＞b，ab＞0，则94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png；③若a＞b，94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png，则ab＞0. 对于命题①，∵ab＞0，94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png，∴b＜a，故该命题正确；对于命题②，∵a＞b，ab＞0，∴20ae6c247b3d7aef77eedacfc9cf12c1.png，故该命题正确；对于命题③，∵94bbf4481ba0571005e3d3e5d8aeec26.png，∴cc34597fb9e17309d1f3e90170d9cc5a.png.∵a＞b，∴b-a＜0，∴ab＞0，故该命题正确；

{分值}2

{章节:[1-9-1]不等式}

{考点:不等式的性质}

{考点:命题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．

word/media/image12_1.png

下面有四个推断：

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间

所有合理推断的序号是

A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②③④

{答案}C

{解析}本题是一道与统计图有关的题目，综合考查了平均数、中位数等知识.根据题意，补全统计表如下：

由统计图，可知200名学生中，97名男生人均参加公益劳动的时间为24.5,103名女生人均参加公益劳动的时间为25.5，故这200名学生参加公益劳动时间的平均数df129fd7618c25b1e197996025b37d9b.png=79c98afbd190fbe5c2e9b96273426e93.png，故24.5＜df129fd7618c25b1e197996025b37d9b.png＜25.5，故①正确；这200名学生参加公益劳动的时间的中位数是第100个数据和第101个数据的平均数，根据上面统计表可知，第100个数据和第101个数据都在20≤t＜30这一组内，即中位数在20-30之间，故②正确；由统计表可知x+y=15，故初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20≤t＜30这一组内，高中生参加公益劳动时间的中位数一定在10≤t＜20这一组内，故③正确，④不正确.

{分值}2

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}

{考点:频数（率）分布表}

{考点:算术平均数}

{考点:中位数}

{考点:条形统计图}

{类别:高度原创}

{难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．

{题目}9．（2019年北京）若分式8f051f6ebb93dbcd318a1d77abb69d1d.png的值为0，则x的值为＝ .

{答案}1

{解析}本题考查了分式的值为0的条件. ∵分式8f051f6ebb93dbcd318a1d77abb69d1d.png的值为0，∴分子x-1=0，解得x=1.

{分值}2

{章节:[1-15-1]分式}

{考点:分式的值}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}10．（2019年北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为＝ cm．（结果保留一位小数）

{答案}

{解析}本题考查了三角形面积的计算，解题的关键正确作出三角形的高. 如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则S△ABC=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAB·CD.

{分值}2

{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段}

{考点:三角形的面积}

{考点:准确数与近似数}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}11．（2019年北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）

{答案}①②

{解析}本题考查了几何体的三视图. ①中长方体的主视图、俯视图和左视图都是矩形，②中圆柱的主视图和左视图都是矩形，③中圆锥的三视图都不是矩形.

{分值}2

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:同底数幂的乘法}

{考点:简单几何体的三视图}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}12．（2019年北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝ °.

{答案}45

{解析}本题是一道网格题，利用全等三角形实现角的转化是解题的关键. 如图，∵△APC≌△BED，∴∠PAB=∠DBE.∵△EPB是等腰直角三角形，∴∠EBP=45°，∴∠DBE+∠PBA=90°-45°=45°，即∠PAB+∠PBA=45°.

{分值}2

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:等腰直角三角形}

{类别:发现探究}

{难度:3-中等难度}

{题目}13．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)（a＞0，b＞0）在双曲线220ba12846d63461fed9c9329ce5bef8.png上，点A关于x轴的对称点B在双曲线336e7f843775ccf5e9a5f0a1051867be.png上，则k1＋k2的值为 .

{答案}0

{解析}本题考查了反比例函数表达式的求法，确定关于x轴的对称点的坐标是解题的关键. ∵点A(a，b)在双曲线220ba12846d63461fed9c9329ce5bef8.png上，∴k1=ab.∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a,-b）.∵ 点B在双曲线336e7f843775ccf5e9a5f0a1051867be.png上，∴k2=-ab.∴k1＋k2 =0.

{分值}2

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:反比例函数的解析式}

{考点:点的坐标}

{考点:坐标系中的轴对称}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}14．（2019年北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 .

word/media/image24_1.png

图1 图2 图3

{答案}12

{解析}本题考查了正方形和菱形的性质，根据所拼图形得到直角三角形两直角边的关系是解题的关键. 设每个直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ed92f60707aa9a1f54315e9763a93537.png ，解得ebaf8eeab9c30cb20a7a1758cc923221.png，∴菱形的面积为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngab×4=12.

{分值}2

{章节:[1-18-2-2]菱形}

{考点:菱形的性质}

{考点:二元一次方程组的应用}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019年北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差2821130ecb31647a5f5a06ff6dff0ec1.png，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5．记这组新数据的方差为273fc50820e6db2243c270d594f45606.png，则2821130ecb31647a5f5a06ff6dff0ec1.png 273fc50820e6db2243c270d594f45606.png．（填“＞”，“＝”或“＜”）

{答案}=

{解析}本题考查了方差的计算，根据方差公式计算即可.原数据的平均数e8bbddead05400b22b36d01c18bf538f.png，096ffecbaf3a8cf63521e3df4a98424c.png=

99230da139e0ecc6c79ea499ffe56e72.png；新数据的平均数1048f28dc148e7590871b431fe2f5ed4.png，ea6ed2bf25c5985235ba91e1aef2b92c.png99230da139e0ecc6c79ea499ffe56e72.png，∴5109b6cbde5f896f63dccdd5b68d0994.png.

{分值}2

{章节:[1-20-2-1]方差}

{考点:同底数幂的乘法}

{考点:方差}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}16．（2019年北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）.

对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．

所有正确结论的序号是 ．

{答案}①②③

{解析}本题是一道四边形压轴题，综合考查了平行四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判定.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，过点O作直线PM和NQ交BC，易证MNPQ为平行四边形；当PM=QN时，四边形MNPQ为矩形；当PM⊥QN时，四边形MNPQ为菱形；由于PM=QN与PM⊥QN不一定能同时成立，故四边形MNPQ不一定是正方形.故正确的结论是①②③.

{分值}2

{章节:[1-18-2-3] 正方形}

{考点:平行四边形边的性质}

{考点:平行四边形对角线的性质}

{考点:矩形的判定}

{考点:菱形的判定}

{考点:正方形的判定}

{类别:高度原创}{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分．

{题目}17．（2019年北京）计算：3574fd3f33d0a107d78f6f774a5c34d3.png．

{解析}本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值及负指数幂是解题才能正确解答.

{答案}解：原式=91a24814efa2661939c57367281c819c.png-1+91a24814efa2661939c57367281c819c.png+4=291a24814efa2661939c57367281c819c.png+3.

{分值}5

{章节:[1-28-3]锐角三角函数}

{考点:实数与绝对值、相反数}

{考点:零次幂}

{考点:负指数参与的运算}

{考点:特殊角的三角函数值}

{考点:简单的实数运算}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}18．（2019年北京）解不等式组：6d99546b028d80f8d759388301d44f25.png

{解析}本题考查了不等组的解法和不等式组的整数解，解不等式组的步骤为：先解出不等式组中每个不等式的解集，然后得出不等式组的解集．

{答案}解：解不等式4（x-1）＜x+2，得x＜2；

解不等式175221727f76b07089a1b0be842d8300.png，得x＜8a5c7a509d3e39bed6282d07e7da61f3.png.

所以，这个不等式组的解集为x＜2.

{分值}5

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:解一元一次不等式组}

{题目}19．（2019年北京）关于x的方程2828f096113e05df5535fa1c3d368788.png有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，由于原方程有实数根可知b2-4ac≥0，由此确定出m取值范围，又有m为正整数，从而可确定m的值.

{答案}解：∵方程x2-2x+2m-1=0有实数根，

∴（-2）2-4（2m-1）≥0，解得m≤1.

∵m为正整数，∴m=1.

∴原方程为x2-2x+1=0.

解得x1=x2=1.

{分值}5

{章节:[1-21-2-2]公式法}

{考点:根的判别式}

{考点:完全平方式}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}20．（2019年北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE= DF，连接EF．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png ，求AO的长．

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{解析}本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数等知识.（1）先根据菱形边和对角线的性质得到AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形三线合一的性质证得AC⊥EF；（2）根据菱形对角线的性质可得BO的长度及AC⊥BD，又有AC⊥EF，故BD∥EF，由此可知四边形EBDG是平行四边形，从而得到tan∠ABD= tanG=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.在Rt△ABD中由tan∠ABD=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png即可求得AO的长度.

{答案}解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD.

∵BE=DF，即AE=AF.

∴AC⊥EF.

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CG∥AB，BO=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngBD=2.

∵AC⊥EF，∴BD∥EF.

∴四边形EBDG是平行四边形.

∴∠ABD =∠G.

∵tan∠ABD=tanG=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png,

∴ddb67f59507f2e8187139e56b629c2cd.png=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，解得AO=1.

{分值}5

{章节:[1-28-3]锐角三角函数}

{考点:正切}

{考点:菱形的性质}

{考点:等腰直角三角形}

{考点:平行四边形边的性质}

{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}21．（2019年北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下图给出了部分信息．

a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x < 40，40≤x <50，50≤x <60，60 ≤x <70，70≤x <80，80≤x <90，90 ≤x≤100）；

word/media/image49_1.png

b．国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：

61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图

word/media/image50_1.png

d．中国的国家创新指数得分为69.5．

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“○”画出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是 ．

①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出"加快建设创新型国家"的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产品值还有一定差距，中国提出"决胜全国建成小集社会"的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

{解析}本题考查了统计图及数据的分析. （1）得分在60 ≤x <70这一组的9个国家中，中国得分最高，故70 ≤x <80这一组有12个国家，80 ≤x <90这一组有2个国家，90 ≤x <100这一组有2个国家，故中国的得分排名为1+12+2+2=17. （2）由中国的国家创新指数得分为69.5及“包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方”可以代表中国的点.（3）观察《40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图》可知有在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元.（4）因为中国的国家创新指数得分比A,B所代表的国家低得多，所以中国需进一步提高国家综合创新能力；因为中国的人均国内生产品值比B,C所代表的国家低得多，所以中国需要进一步提高人均国内生产总值，故推断①②都是合理的.

{答案}解：（1）17；

（2）如图：

（3）2.7.

（4）①②.

{分值}5

{章节:[1-20-3]课题学习 体质健康测试中的数据分析}

{考点:数据分析综合题}

{考点:频数（率）分布直方图}

{类别:高度原创}

{难度:3-中等难度}

{题目}22．（2019年北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C．如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．

（1）求证：AD= CD

（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD = CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

word/media/image52_1.png

{解析}解析：（1）由BD平分∠ABCA可得∠ABD=∠CBD，根据相等的圆周角、等弧、等弦之间的关系可得2832e0e32d0cc69a0638a445a278e0c5.png和AD=CD.（2）通过证明Rt△CDF≌Rt△CMF得到DF=MF，连接OD，由∠ABC=2∠CBD=∠COD可得OD∥BE，进而由DE⊥AB得到OD⊥DE，即DE为⊙O的切线.

{答案}解：（1）∵BD平分∠ABCA,∴∠ABD=∠CBD，

∴2832e0e32d0cc69a0638a445a278e0c5.png，∴AD=CD.

（2）∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°.

又∵CD=AD=CM.

∴Rt△CDF≌Rt△CMF.

∴DF=MF，∴BC为⊙O的直径.

连接OD.

∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，

∴∠ABC=∠OCD.

∴OD∥BE.

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE.

∴DE为⊙O的切线，即直线DE与图形G的公共点个数为1.

{分值}6

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}

{考点:垂径定理}

{考点:圆心角、弧、弦的关系}

{考点:圆周角定理}

{考点:切线的判定}

{考点:全等三角形的判定HL}

{考点:同位角相等两直线平行}

{考点:两直线平行同旁内角互补}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{难度:4-较高难度}

{题目}23．（2019年北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背调第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；

③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：

（1）填入x3，补全上表；

（2）若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为 ；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．

{解析}本题是一道与不等式组有关的实际应用题.（1）由题意，得对于第3组诗词，第3天背诵第一遍，第4天背诵第二遍，第6天背调第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵.

（2）由“每天最多背诵14首，最少背诵4首”可得d5839ee5567552cf9c6730e57a56b4fa.png ，解得4≤x4≤6.

（3）当第4天背诵的诗词数为14首时，x1+x3+x4=14.由题意，得809c77e3bb1e4f87ae0640fc7183f93c.png，∴51f53f83f16e69da9fbfc5b595ba2d85.png，解得49f74147d7b5152bb307c3d6268f70e2.png，∴x2的最大值为9，∴（x1+x3+x4）+x2=23.

{答案}解： （1）如图所示

（2）4,5,6.

（3）23.

{分值}6

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{考点:一元一次不等式组的应用}

{类别:高度原创}{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}24．（2019年北京）如图，P是3af39eb43ed5bfd563d5cdba3f92ec50.png与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是3af39eb43ed5bfd563d5cdba3f92ec50.png上一动点连接PC交弦AB于点D.

word/media/image60_1.png

小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了程究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在3af39eb43ed5bfd563d5cdba3f92ec50.png的不同位置，画图，测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

word/media/image61_1.png

（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．

{解析}本题是一道与函数图像有关的实际应用题.（1）观察表格可知，PC在位置5和位置6时长度都等于2.25，PD在位置3和位置7时长度都等于2.00，而AD在不同位置时的长度各不相等，故AD的长度是自变量，PC的长度和PD的长度都是这个自变量的函数.

（2）根据（1）表格中的数值描点、连线，注意平面坐标系的x轴表示AD的长度，纵轴表示PC或PD的长度；

（3）观察（2）中函数图像，并结合（1）表格求解即可.

{答案}解： （1）AD PC PD；

（2）如图

（3）2.29或3.98.

{分值}6

{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}

{考点:函数的概念}

{考点:函数的图象}

{类别:高度原创}

{难度:4-较高难度}

{题目}25．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：bebc536025a4e88a6a40492a5e55884e.png与直线x=k，直线y=－k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y =－k交于点C.

（1）求直线1与y轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W.

①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区城W内没有整点，直接写出k的取值范围．

{解析}本题是考查了一次函数的图像，解题时要画出函数图像并结合图像分析求解．（1）将x=0代入l的解析式即可；（2）画出k=2时三条直线并求出点A,B,C的坐标，从而确定出区域W及其内部整点的个数；（3）当-1≤k＜0或k=-2时，区域W内没有整点.

{答案}解：（1）将x=0代入y=kx+1，得y=1，∴直线l与y轴的交点坐标为（0,1）.

（2）①将x=2代入y=2x+1，得y=5,∴A（2,5）.

将y=-2代入y=2x+1，得2x+1=-2,解得y=-bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png,∴点B（-bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png，-2）.

又∵直线x=2和y=-2的交点C（2，-2），

∴W内的整点为（1,2）（1,1）（1,0）（1，-1）（0,0）（0，-1），共6个.

②k=-2或-1≤k＜0.

{分值}5

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}

{考点:一次函数的图象}

{考点:一次函数与几何图形综合}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{类别:新定义}

{难度:5-高难度}

{题目}26．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线d569c8b481e6cf0023f83d0925ac7c89.png与y轴交于点A，将点A向右平称2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴：

（3）已知点Pfcd719688f2743abcca6c5c5539d1602.png，Q（2.2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

{解析}本题是一道与二次函数图像有关的压轴题，解题时要画图分析.（1）先将x=0代入抛物线的解析式求得点A的坐标，再根据平移规律求得点B的坐标；（2）根据抛物线的对称性求解；（3）画出函数图像求解，注意由于点A和P的纵坐标相等，点B和点Q的纵坐标相等，故抛物线不能同时经过点A和P，也不能同时经过点B和Q.

{答案}解：（1）将x=0代入y=ax2+bx-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png,得y=-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png,∴点A的坐标为（0，-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png）.

∵点B的坐标为（2，-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png）.

（2）∵抛物线经过点A（0，-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png）和点B（2，-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png）,

∴抛物线的对称轴为x=1.

（2）①当a＞0时，-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png＜0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P，也不能同时经过点B和点Q，所以此时抛物线与线段PQ没有交点；

②当a＜0时，-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png＞0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P；当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-07ea9eb1f4232484e23c7ec7420df172.png≤2，即a≤-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

综上可知，当a≤-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

{分值}6

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:算术平均数}

{考点:含参系数的二次函数问题}

{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}

{难度:5-高难度}

{题目}27．（2019年北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM．满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1：

（2）求证：∠OMP = ∠OPN：

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON= QP，并证明．

word/media/image72_1.pngword/media/image72_1.png

{解析}本题是考查了图形的旋转与中心对称、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识.（1）根据题意画图即可；（2）在△OMP中根据三角形内角和定理可知∠OMP=150°-∠OPM，而∠OPN=1 50°-∠OPM，故∠OMP=∠OPM；（3）求出当ON=PQ时x的值即可.

{答案}解：（1）如图所示：

（2）在△OMP中，∵∠AOB=30°，∴∠OMP=150°-∠OPM.

∵∠MON=150°，∴∠OPN=150°-∠OPM，∴∠OMP=∠OPM.

（3）如图，过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB，垂足分别为K,F.

∴∠PKM=∠NFP=90°.

∵∠OMP=∠OPM，∴∠PMK=∠NPF.

∴△PMK≌△NPF.

∴MK=PF,∠MPK=∠PNF，PK=NF.

假设ON=PQ，∴Rt△NOF≌Rt△PQK.

∴KQ=OF.

设MK=y，PK=x.

在Rt△OPK中，∵∠AOB=30°，∴OP=2x，PN=91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx.

∴OM=91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx-y,OF=2x+y，MH=91a24814efa2661939c57367281c819c.png+1-91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx+y,KH=91a24814efa2661939c57367281c819c.png+1-91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx.

∵点M与Q关于H对称，

∴MH=HQ，∴KQ=KH+HQ=291a24814efa2661939c57367281c819c.png+2-291a24814efa2661939c57367281c819c.pngx+y.

∵KQ=OF，∴291a24814efa2661939c57367281c819c.png+2-291a24814efa2661939c57367281c819c.pngx+y=2x+y，解得x=1.

∴OP=2x=2.

{分值}7

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:三角形内角和定理}

{考点:全等三角形的判定HL}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:含30度角的直角三角形}

{考点:解直角三角形}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{难度:5-高难度}

{题目}28．（2019年北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png为△ABC的中内弧，例如，下图中426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png是△ABC的一条中内弧

word/media/image77_1.png

（1）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png，D，E外别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png，并直接写出此时426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png的长；

word/media/image79_1.png

（2）在平而直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0）.

在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点

①若t=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，求△ABC的中内弧426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png，使得426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

{解析}本题是一道新定义题，综合考查了等腰直角三角性的性质、弧长的计算、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识.（1）设426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png所在圆的圆心为P，当⊙P与BC相切于F时，中内弧426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png最长，易证点P是DE的中点，∴PD=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngDE=1. e8187c41394d11152d2d985e6a5d44f7.png.（2）分别求出⊙P与AB相切和⊙P与AC相切时yp的值，即可求出yp的取值范围；（3）求出⊙P分别与AC，BC相切时t的值即可.

{答案}解：（1）如图所示：

426383d478e185a358a76136bbf8eef9.png的长为π.

（2）①当t=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png时，C（2,0），D（0,1），E（1,1）.

如图，当⊙P与AB相切于点D，yp=1；如图，当⊙P与AC相切于点E，yp=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，∴yp≤93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

∴yp≥1或yp≤93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

（3）0＜t≤d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png.

{分值}7

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}

{考点:等腰直角三角形}

{考点:勾股定理}

{考点:切线的性质}

{考点:弧长的计算}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:新定义}

{难度:5-高难度}

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/44da39ab17fc700abb68a98271fe910ef02daedb.html