2018-2019学年九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
2．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不确定
3．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
4．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
5．将抛物线y＝2x2如何平移可得到抛物线y＝2x2﹣16x+31（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
6．某品牌电脑2016年的售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降，至2018年该品牌电脑的销售单价为4900元，设2016年至2017年，2017年至2018年这两年该品电脑的销售单价年平均降低率均为x，则可列出的正确的方程为（ ）
A．4900（1+x）2＝7200 B．7200（1﹣2x）2＝4900
C．4900（1+x）＝7200（1﹣x） D．7200（1﹣x）2＝4900
7．若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
8．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣
，y2），（﹣
，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，直线y＝与y轴交于点A，与直线y＝﹣
交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣
上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1
D．﹣1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．方程x2﹣9＝0的解是 ．
12．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕着原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为 ．
13．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是 米．
14．如果a，b满足a2+2a﹣2＝0，b2+2b﹣2＝0，且a≠b，则+
的值为 ．
15．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为 ．
16．已知二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且图象与x轴交于A、B两点，AB＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜的范围内有实数解，则t的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5．
18．抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点，求它的开口方向，对称轴和顶点．
19．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求实数a的值．
20．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．
（1）底面的长AB＝ cm，宽BC＝ cm（用含x的代数式表示）
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，点P在x轴上，且∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标．
22．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：P＝，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
23．已知△ABC是等边三角形，点D在直线BC上，且DE＝EC，将△BEC点C的顺时针旋转至△ACF，连接EF．
（1）如图1，若点E在线段AB上，求证：AB＝DB+AF；
（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如果点E在线段BA的延长线上，请在图3的基础上将图形补充完整，写出AB，DB，AF之间的数量关系，并证明．
24．已知抛物线m：y＝x2+bx+c的顶点A在直线l：y＝x+2上，抛物线m交直线l于另一点B，交y轴于点C，直线l交y轴于点D
（1）若b＝3，求c的值；
（2）若点B在第二象限，且B为AD的中点，如图，求点A的坐标；
（3）若顶点A在x轴上方，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，且，求抛物线的解析式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1．
故选：A．
2．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不确定
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝5＞0，进而即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
4．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：
，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣
，当x≥﹣
时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣
，二次函数的最小值是﹣
，C不正确；
D、﹣＝﹣
，抛物线的对称轴是直线x＝﹣
，D正确．
故选：D．
5．将抛物线y＝2x2如何平移可得到抛物线y＝2x2﹣16x+31（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
【分析】先根据二次函数的性质得到两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2x2﹣16x+31＝2（x﹣4）2﹣1，
则抛物线y＝2x2﹣16x+31的顶点坐标为（4，﹣1），
因为把点（0，0）先向右平移4个单位，再向下平移1个单位可得到点（4，﹣1），
所以把抛物线y＝2x2先向右平移4个单位，再向下平移1个单位可得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1．
故选：D．
6．某品牌电脑2016年的售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降，至2018年该品牌电脑的销售单价为4900元，设2016年至2017年，2017年至2018年这两年该品电脑的销售单价年平均降低率均为x，则可列出的正确的方程为（ ）
A．4900（1+x）2＝7200 B．7200（1﹣2x）2＝4900
C．4900（1+x）＝7200（1﹣x） D．7200（1﹣x）2＝4900
【分析】关系式为：原价×（1﹣降低率）2＝现在的价格，把相关数值代入即可．
【解答】解：第一次降价后的价格为7200×（1﹣x），
第二次降价后的价格为7200×（1﹣x）2，
∴可列方程为7200（1﹣x）2＝4900．
故选：D．
7．若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c＝0得ax02+2x0＝﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，
则N﹣M＝（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
＝a2x02+2ax0+1﹣1+ac
＝a（ax02+2x0）+ac
＝﹣ac+ac
＝0，
∴M＝N，
故选：B．
8．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
【分析】首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣
（x﹣3）2+m+
，然后根据偶次方的非负性质，可得：﹣
（x﹣3）2+m+
≤m+
，再根据无论x为何值，﹣
x2+3x+m＜0，推得m+
＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
【解答】解：﹣x2+3x+m
＝﹣（x2﹣6x+9）+m+
＝﹣（x﹣3）2+m+
∵﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+m+
≤m+
，
∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，
∴m+＜0，
解得m＜﹣．
故选：B．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣
，y2），（﹣
，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；
故选：B．
10．如图，直线y＝与y轴交于点A，与直线y＝﹣
交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣
上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣2 B．﹣2≤h≤1 C．﹣1
D．﹣1
【分析】将y＝与y＝﹣
联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y＝﹣
可求得k＝﹣
，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣
h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【解答】解：∵将y＝与y＝﹣
联立得：
，解得：
．
∴点B的坐标为（﹣2，1）．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝﹣得：﹣
h＝k，解得k＝﹣
，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：当抛物线经过点C时．
将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣
h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝
．
如图2所示：当抛物线经过点B时．
将B（﹣2，1）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣
h＝1，整理得：2h2+7h+6＝0，解得：h1＝﹣2，h2＝﹣
（舍去）．
综上所述，h的范围是﹣2≤h≤．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．方程x2﹣9＝0的解是 x＝±3 ．
【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
【解答】解：x2﹣9＝0即（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3或x＝﹣3．
故答案为：x＝±3．
12．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕着原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为 y＝﹣2（x+1）2﹣3 ．
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．
【解答】解：根据题意，﹣y＝2（﹣x﹣1）2+3，得到y＝﹣2（x+1）2﹣3．
故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣3．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2﹣3．
13．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是 米．
【分析】如图，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，由待定系数法求出抛物线的解析式，将y＝1.6时代入解析式就可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+2，由题意，得
0＝a（0﹣2.5）2+2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2.5）2+2．
当y＝1.6时，
1.6＝﹣（x﹣2.5）2+2．
解得：x1＝，x2＝
，
∴他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：
[﹣（
）]＝
．
故答案为：．
14．如果a，b满足a2+2a﹣2＝0，b2+2b﹣2＝0，且a≠b，则+
的值为 ﹣4 ．
【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，ab＝﹣2，再将+
进行变形，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a2+2a＝2，b2+2b＝2，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2，
∴+
＝
＝
＝
＝﹣4．
故答案为﹣4．
15．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为 0.5 ．
【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n＝2.5，结合图象最小值只能由x＝m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝2.5，
或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝2.5，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+2.5＝0.5．
故答案为0.5．
16．已知二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且图象与x轴交于A、B两点，AB＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜的范围内有实数解，则t的取值范围是 ﹣1≤t＜8 ．
【分析】利用二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，可求b的值，再利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，从而可求c，那么关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）可化为x2﹣2x﹣t＝0，利用公式法求出x，结合﹣2＜x＜的范围内有实数解，可求出相应的x的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
解得：b＝﹣2，
∵对称轴为直线x＝1，且图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，
∴直线与x轴交于（2，0），（0，0），
∴当x＝0时，0+0+c＝0，
∴c＝0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）为x2﹣2x﹣t＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4t≥0，
解得t≥﹣1，
方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜的范围内有实数解可以理解为二次函数y1＝x2﹣2x与直线y2＝t有交点，
当x＝﹣2时，y1＝8；当x＝时，y2＝
，
如图所示，
当﹣1≤t＜时二次函数y1＝x2﹣2x与直线y2＝t有两个交点，
当﹣1≤t＜8时二次函数y1＝x2﹣2x与直线y2＝t有一个交点，
因此﹣1≤t＜8即可保证二次函数y1＝x2﹣2x与直线y2＝t有交点，
故答案为：﹣1≤t＜8．
三．解答题（共8小题）
17．解方程
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5．
【分析】（1）应用公式法即可求解；
（2）应用因式分解法，从而得出两个一元一次方程，求解即可．
【解答】解：（1）x2+x﹣1＝0；
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝
；
（2）（x﹣1）（x+3）＝5．
整理得，x2+2x﹣8＝0，
分解因式得，（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0，x﹣2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝2；
18．抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点，求它的开口方向，对称轴和顶点．
【分析】首先利用待定系数法确定函数的解析式，然后确定它的开口方向，对称轴及顶点坐标即可．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8），
∴，
解得：，
∴函数的解析式为y＝﹣2x2+12x﹣8＝﹣2（x﹣3）2+10，
∴开口向下，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，10）．
19．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求实数a的值．
【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到△＝（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，再利用完全平方公式由x12+x22＝10得（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，则（a+3）2﹣2（a+1）＝10，然后解关于a的方程即可．
【解答】（1）证明：△＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）＝10，
整理得a2+4a﹣3＝0，解得a1＝﹣2+，a2＝﹣2﹣
，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣
．
20．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．
（1）底面的长AB＝ 50﹣2x cm，宽BC＝ 30﹣2x cm（用含x的代数式表示）
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出AB与BC的长即可；
（2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm2时得出x的值，即可的求出盒子的容积；
（3）利用盒子侧面积为：S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）进而利用配方法求出最值即可．
【解答】解：（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，
设小正方形的边长为xcm，
∴底面的长AB＝（50﹣2x）cm，宽BC＝（30﹣2x）cm，
故答案为：50﹣2x，30﹣2x；
（2）依题意，得：
（50﹣2x）（30﹣2x）＝300
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）
当x1＝10时，盒子容积＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm3）；
（3）盒子的侧面积为：
S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）
＝100x﹣4x2+60x﹣4x2
＝﹣8x2+160x＝﹣8（x2﹣20x）
＝﹣8[（x﹣10）2﹣100]
＝﹣8（x﹣10）2+800
∵﹣8（x﹣10）2≤0，
∴﹣8（x﹣10）2+800≤800，
∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，点P在x轴上，且∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标．
【分析】分两种情形：PC∥BD或CP与BD的交点在BC的垂直平分线上．
令y＝0求得点A和点B的坐标，令x＝0，求得点C的坐标，接下来求得点D的坐标，然后再求得DB的解析式，然后由CP∥DB可求得BP的解析式，然后可求得点P的坐标．
【解答】与BD解：令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1．
∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）．
∴对称轴方程为x＝1．
将x＝1代入得：y＝4．
∴点D的坐标为（1，4）．
设BD的解析式为y＝kx+b，将点B、D的坐标代入得：
解得：k＝﹣2，b＝6．
令x＝0得：y＝3．
∴点C的坐标为（0，3）．
∵∠PCB＝∠CBD，
∴PC∥BD或CP与BD的交点在BC的垂直平分线上．
①当PC∥BD时．
∴直线PC的解析式为y＝﹣2x+3．
令y＝0得：﹣2x+3＝0．
解得：x＝．
∴点P的坐标为（，0）．
②如图所示：
y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
故D（1 4），
因此BC＝＝3
，
BD＝＝2
，CD＝
＝
，
故CD2+BC2＝BD2，
因此满足△BCD是直角三角形且∠BCD＝90°，
过B点作BE垂直于BC，连接EC，且BE＝，
∵CO＝OB＝3，
∴∠OCB＝∠CBO＝45°，
故∠EBx＝45°，
则E（4，1），
设直线EC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得：．
则EC直线解析式为：y＝﹣0.5x+3，
令y＝0得：﹣0.5x+3＝0，
解得x＝6．
所以点P的坐标为（6，0）或（，0）．
22．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：P＝，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得一次函数解析式；
（2）根据“日销售利润＝每斤的利润×日销售量”，结合t的取值范围分情况求解可得；
（3）设日销售利润为w，根据“日销售利润＝（售价﹣成本﹣捐款）×日销售量”列出函数解析式，利用二次函数的性质结合每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大求解可得．
【解答】解：（1）设解析式为y＝kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2t+200（1≤t≤80，t为整数）；
（2）设日销售利润为w，则w＝（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w＝（t+16﹣6）（﹣2t+200）＝﹣
（t﹣30）2+2450．
∴当t＝30时，w最大＝2450；
②当41≤t≤80时，w＝（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）＝（t﹣90）2﹣100．
∴当t＝41时，w最大＝2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
（3）设日销售利润为w，
根据题意，得：w＝（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）＝﹣
t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函数图象的对称轴为t＝2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知：40≤2m+30，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
23．已知△ABC是等边三角形，点D在直线BC上，且DE＝EC，将△BEC点C的顺时针旋转至△ACF，连接EF．
（1）如图1，若点E在线段AB上，求证：AB＝DB+AF；
（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如果点E在线段BA的延长线上，请在图3的基础上将图形补充完整，写出AB，DB，AF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接EF，首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF＝EC，再根据ED＝EC，可得ED＝EF，∠CAF＝∠BAC＝60°，所以∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°，∠DBE＝120°，∠EAF＝∠DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD＝AE，AB＝AE+BF，所以AB＝DB+AF．
（2）结论：AB＝BD﹣AF．连接EF，延长EF、CA交于点G，证明方法类似．
（3）结论：AF＝AB+BD．证明方法类似．
【解答】（1）证明：如图1中，连接EF．
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF＝60°，∠BCA＝60°，BE＝AF，EC＝CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝EC，∠CEF＝60°，
又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，
∵△ABC是等腰三角形，∠BCA＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAF＝∠CBA＝60°，
∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°，∠DBE＝120°，∠EAF＝∠DBE，
∵∠CAF＝∠CEF＝60°，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACF，
又∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠D＝∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴DB＝AE，BE＝AF，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝DB+AF．
（2）解：结论：AB＝BD﹣AF；
理由：连接EF，延长EF、CA交于点G，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝EC，
又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，
∵∠EFC＝∠FGC+∠FCG，∠BAC＝∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG＝∠FEA，
又∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD，
∴∠D＝∠FEA，
由旋转的性质，可得
∠CBE＝∠CAF＝120°，
∴∠DBE＝∠FAE＝60°，
在△EDB和△FEA中，
，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD＝AE，EB＝AF，
∴BD＝FA+AB，
即AB＝BD﹣AF．
（3）如图3中，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，BC＝AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝EC，
又∵ED＝EC，
∴ED＝EF，
∵AB＝AC，BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠CBE＝∠CAF，
∴∠CAF＝60°，
∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC
＝180°﹣60°﹣60°
＝60°
∴∠DBE＝∠EAF；
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC＝∠EBC+∠BED，
∴∠BDE＝∠EBC+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC，
∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC，
∴∠BDE＝∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD＝AE，EB＝AF，
∵BE＝AB+AE，
∴AF＝AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：
AF＝AB+BD．
24．已知抛物线m：y＝x2+bx+c的顶点A在直线l：y＝x+2上，抛物线m交直线l于另一点B，交y轴于点C，直线l交y轴于点D
（1）若b＝3，求c的值；
（2）若点B在第二象限，且B为AD的中点，如图，求点A的坐标；
（3）若顶点A在x轴上方，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，且，求抛物线的解析式．
【分析】设点A（m，m+2），则二次函数表达式为：y＝（x﹣m）2+m+2＝x2﹣2mx+（m2+m+2），将二次函数表达式与y＝x+2联立并整理得：x2﹣（2m+1）x+（m2+m）＝0，设点B（x，x+2），则x+m＝2m+1，解得：x＝m+1，故点B（m+1，m+3）；
（1）b＝﹣2m＝3，即可求解；
（2）直线l交y轴于点D，则点D（0，2），B为AD的中点，则m+1＝（m+0），即可求解；
（3），即：
+
＝
，即可求解．
【解答】解：设点A（m，m+2），则二次函数表达式为：y＝（x﹣m）2+m+2＝x2﹣2mx+（m2+m+2），
将二次函数表达式与y＝x+2联立并整理得：x2﹣（2m+1）x+（m2+m）＝0，
设点B（x，x+2），则x+m＝2m+1，解得：x＝m+1，
故点B（m+1，m+3）；
（1）b＝﹣2m＝3，解得：m＝﹣，
c＝m2+m+2＝；
（2）直线l交y轴于点D，则点D（0，2），B为AD的中点，
则m+1＝（m+0），解得：m＝﹣2，
故点A（﹣2，0）；
（3），即：
+
＝
，
解得：m＝1或﹣（舍去负值），
经检验m＝1是分式方程的根，
故m＝1，
则二次函数表达式为：y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4．
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