高中数学必修一《函数及其表示》教学设计

函数及其表示

导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．

自主梳理

1．函数的基本概念

(1)函数定义：设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ,在集合B中 ，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域。

(2)函数的三要素__________、________和____________．

(3)函数的表示法：常用方法有________、________、________.

(4)函数相等：如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．

(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．

2．映射的概念

(1)映射的定义：设A、B是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的 .

（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是 数集.

自我检测

1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有(　　)

A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个

2．函数y＝的定义域为(　　)

A．(，1) B．(，＋∞) C．(1，＋∞) D．(，1)∪(1，＋∞)

3．已知函数f(x)＝，则f(f())等于(　　)

A．4 B. C．－4 D．－

4．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是(　　)

A．y＝ B．y＝()2 C．y＝lg 10x D．y＝2log2x

5．已知一次函数的图象过点（1，3），（-1，-1），求一次函数的解析式。

6．函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，求a的取值范围．

例1下列对应关系是集合P上的函数的是________．

(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；y＝|x|，x∈P，y∈Q；

（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，对应关系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;

(3)P={三角形}，Q={x|x>0}，对应关系f:对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.

变式迁移1 已知映射f：A→B。其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是 (　　)

A．k>1 B．k≥1

C．k<1 D．k≤1

例2　(1)求函数y＝＋的定义域；

(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．

（3)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(2x＋1)的定义域．

变式迁移2已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，求g(x)＝的定义域。

例3 (1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x)；

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；

(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)．

变式迁移3　给出下列两个条件：

(1)f(＋1)＝x＋2；

(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2。试分别求出f(x)的解析式．

例4设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

变式迁移4已知函数f(x)＝求f(f(-3))

1．与定义域有关的几类问题

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；

第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的定义域．

第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．

2．解析式的求法

求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．

一、选择题

1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )

(1)y1＝，y2＝x－5；

(2)y1＝，y2＝；

(3)f(x)＝x，g(x)＝；

(4)f(x)＝，F(x)＝x；

(5)f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.

A．(1)(2) B．(2)(3) C．(4) D．(3)(5)

2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是 ( )

A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

3．已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是 ( )

A．1 B．1或 C．1，或± D.

4．函数y＝的定义域为 ( )

A．(－4，－1) B．(－4,1) C．(－1,1) D．(－1,1]

5．设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B为

A．∅ B．{1} C．∅或{2} D．∅或{1}

二、填空题

6．下列四个命题：(1)f(x)＝＋有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数y＝的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．

7．设f(x)＝，g(x)＝，则f[g(3)]＝________，g[f(－)]＝________.

8．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝______.

三、解答题9．(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；

(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3cca842618e8b8f67c1cfad6195f312b3069eb48.html