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高中立体几何大题20题

发布时间：2020-04-24 02:00:10 来源：文档文库

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(2012江西省）（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2)求多面体CDEFG的体积。

【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得4393cbe78db05f588638f924c6bc62c3.png又因为f156eee5ceac9c4fe5aa96521da29d0b.png,可得34fb2c62ee65a5455d2f49d6c2fe9953.png，即b4bfa05c562593ea561bc62f2edfc156.png所以平面DEG⊥平面CFG.

（2）过G作GO垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为ef71f0daa3ee8842609c24292c349777.png

2012，山东(19) (本小题满分12分)

如图，几何体eedecbea61dbc5a9eed499c2b10552ad.png是四棱锥，△75b85826a15607f238debae369a5571c.png为正三角形，79291300bd77f69eda142c7862a4d8c7.png.

(Ⅰ)求证：ad8df5c6701fbcd117188935a3f0b351.png；

(Ⅱ)若∠1046e77db686b4d76cd22cacc8f92b08.png，M为线段AE的中点，求证：2ecda7a0252b442ac6ecf47462119f51.png∥平面513bcfa2b82dc1735a07b97b7f870106.png.

解：设87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png中点为O，连接OC，OE，则由02eaf7fcedcb7f5b37c849af9d411fc2.png知，40aba8d7c0ba36fe08c858610f58d408.png，

又已知1c634d786f1603e33f3ef27596caf771.png，所以7f3b4a0b20d4b402193a9cd88e6adcd5.png平面OCE.

所以2c05649f29911f2138becc11249bbb33.png，即OE是BD的垂直平分线，

所以ad8df5c6701fbcd117188935a3f0b351.png.

(II)取AB中点N，连接282319bf5b6f5a89db183018b58785f0.png，

∵M是AE的中点，∴943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png∥d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png，∵△75b85826a15607f238debae369a5571c.png是等边三角形，∴d00dea55644b95e498567645bacdd4e1.png.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即42ba7705b75c8d7aa17b5c83cabfa19b.png，

所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.

word/media/image32.emf2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，33650e9fe6181e8df2fa6a81a4afc05c.pnge182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png 63008f39b84024f490f9f8e8f43efd78.png的中点，F是平面5252ed58b7291d105e5dbe6861440867.png与直线0015406e37745015ae5e1e74e78420f9.png的交点。

7efbb9942f1fbdc79303e0f2a67c3c7e.png证明：cdd96c65805bc3302c03aa938cffc916.png df3eeb41684fd3cd1cfe681ff06fe6d0.png7bbd25df0489d7512c89b26dd0cd04d8.png550690e55516501bcae1ae1c11017ca9.png

708dbe1ed09e6677c2b81df19b6cc643.png求d63a232008ecbceb36a757eac9d9a157.png与平面fc74d58bd522afc9cafd31e46afb4920.png所成的角的正弦值。

解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。

7efbb9942f1fbdc79303e0f2a67c3c7e.pngcdd96c65805bc3302c03aa938cffc916.png因为d13b3215ac8f836777a595dc060cafb0.png所以98f4f121338a6cc30559a3854cf5c2eb.png

又因为618732e86cff97575d4e782590aead3e.png所以4bc466b11930672452dc010133d1c1cc.png

所以 bcbab14a3baaee7c0b330ba5b65ad64f.png

7bbd25df0489d7512c89b26dd0cd04d8.png因为253661b43e7a2098dff6927e33f29266.png所以5ed94dd91678a1f699d59826fd00d25f.png

又因为 2eeb48a9ad98e742e8580e2b18d90cd6.png

在矩形a7f481a91744ffe37c100907669aa278.png的中点，74c5084f59f2e8a62424311f60818917.png

即 9e88e04072e7b75928c3a47ed0e10354.pngword/media/image58.emf

所以5819af618332f14d29537590de840ae3.png

708dbe1ed09e6677c2b81df19b6cc643.png设31ec012234f6131c656f295d073bc160.png与4f5a359c290850c5dc552089d72ea92d.png交点为c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，连接57b8c52c641fa40b753b54c6d4ebe78a.png

由7efbb9942f1fbdc79303e0f2a67c3c7e.png知5819af618332f14d29537590de840ae3.png

所以3f2389e9905b435ebfc5547d97051b31.png所成的角

在矩形40fd8162cbc5998af5953f069f6fd50c.png

在直角bc6ccae09d443747d648e0580121d967.png中，7545f4b18449ca9eeaf26b037774dc7b.png

所以d63a232008ecbceb36a757eac9d9a157.png与平面fc74d58bd522afc9cafd31e46afb4920.png所成的角的正弦值是af461fd18e7aaec33fcd4cecd7e67c38.png

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体3c90a873ebb8871977292d3795fac832.png中，点M是棱064eef63d78428b5baf2a38394101f89.png的中点，点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是对角线30063212507b95c4b377d351a0a34466.png的中点，

（Ⅰ）求证：OM为异面直线064eef63d78428b5baf2a38394101f89.png与30063212507b95c4b377d351a0a34466.png的公垂线；

（Ⅱ）求二面角312e401101667a331a0515fdc656f2e3.png的大小；

解：连接AC,取AC中点K，则K为BD中点，连接OK，因为点M是棱064eef63d78428b5baf2a38394101f89.png的中点，点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是30063212507b95c4b377d351a0a34466.png的中点，∴2c84e3a7b5da59156fa1a2795c1585a7.png,AM∥99eefcac37bf579067df6c71be45cee3.png∥e0aa021e21dddbd6d8cecec71e9cf564.png,∴944a6988f4078d239617b0ad8d70e621.png,eb0459bfce4185888ecf61fb07987581.png∥631de3eab18d35e667a73157e91a8aa6.png.

由a617ccf207d33133ffa2f6bf99aa8c06.png,得763bc3c4bdea47a7bedf57dccc38047a.png.

因为eb302ae7ff71dbd1a381ca6ae458dddc.png,所以2217ffbc65802d915ec4690f25fd7ad8.png平面48d66278f6ba666261b5a8313bcdb1b1.png

∴ 2203d34df4f8a3ec5cc73d6dea19c1e6.png ,∴cdb0a93d99b2958ea41c0cb0a90c8ecb.png.

又∵bfbebc0782222b0f8f991f1405ec537d.png与异面直线064eef63d78428b5baf2a38394101f89.png和30063212507b95c4b377d351a0a34466.png都相交，

故bfbebc0782222b0f8f991f1405ec537d.png为异面直线064eef63d78428b5baf2a38394101f89.png和30063212507b95c4b377d351a0a34466.png的公垂线。

………………… （5分）

（Ⅱ）取3c099c7591e20b3450bb0247d3b0501f.png的中点N，连接MN，则MN⊥

平面f56ff1d9c41ab3a62e0b7d2e9ade88c8.png,

过点N作NH⊥fd27e5a14fe65c64056db51ea608e5b7.png于H，连接MH，则由

三垂线定理得 2af9550d961d46e29c81c874ea878f32.png,从而0a2a9729d4bded1cd05294c050260e1f.png为二面角312e401101667a331a0515fdc656f2e3.png的平面角。

设5985309ccee9b7f6ce883983d55aad5e.png,则82d7b03a3e901d0a294918731cb17023.png，

在7a78914d0d5004e31ffdbfd5be9c6bd2.png中，e86411c46678d28362cd4b88b4c755fc.png.

故二面角312e401101667a331a0515fdc656f2e3.png的大小为90bed24694a0109c70549925f413079d.png。 …………… （12分）

2010辽宁文（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png的侧面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png是菱形，4f7e108670508f224e7f473d0e8bb476.png

（Ⅰ）证明：平面3357c2e18fac1d0c7c8433369e511b5e.pngb6c28e2395ad4321cb259c6a31f06238.png平面33319a8be747d46fba818af63f5d5468.png；

（Ⅱ）设f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png是923ac2ea3897049a2180b44d6b91f675.png上的点，且6acfff2afe06bce5203bdbb46381c214.png平面41d550ea7d505f64af84b731790ba930.png，求b40dfa911a4ee6244bcc485a1582cb01.png的值。

2012辽宁（18）(本小题满分12分)

如图，直三棱柱6df659e40db8b1bb919fddadf8949461.png，5f71e0b4a89d5a236bca424e7928a55b.png，

b619d570824f5eafa21c829840ae017e.pngAA′=1，点M，N分别为350b0f6ddfcc3abba2071cca83d04649.png和ce3bfe4ad92af9fd3b3807e61edbde8a.png的中点。

(Ⅰ)证明：943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png∥平面68414313c03669c1aff55baf5b2161ba.png;

(Ⅱ)求三棱锥5a6e9e39f779bf1889437185483059cf.png的体积。

（椎体体积公式V=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngSh,其中S为地面面积，h为高）

【答案与解析】

2012，北京（16）（本小题共14分）

word/media/image137.emf如图c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，在fa1398f5ce14260b4f4fe75d7bdb5a8f.png中，97d188985389d75a5eef275c57802914.png，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png分别为

4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点，点800618943025315f869e4e1f09471012.png为线段4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png上的一点，将ab1cc577a6884741e23df170aa758a13.png

沿3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png折起到fac60f4e10f547e0ab455b3091b7529f.png的位置，使2b6d2c2d54f813df3be9e97175c650ce.png，如图c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png．

（Ⅰ）求证：3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png//平面429feb8d3fb232eb3a821f26530a6696.png；

（Ⅱ）求证：789de8cb5a7bae7f9d1edcd74f1956fc.png；

（Ⅲ）线段8699feecc8808315ee780ac97d864391.png上是否存在点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，使4008828ff7fc97d9350bed1b3735122b.png⊥平面ed884058e07d848a2a71368af8cee3e9.png？

说明理由．

解：（Ⅰ）因为f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png分别为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点，所以3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png//f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png．

又因为af4226215eed127e6eb3f119c1c4b100.png平面429feb8d3fb232eb3a821f26530a6696.png，所以3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png//平面429feb8d3fb232eb3a821f26530a6696.png平面．

（Ⅱ）由已知得0c906b9808314d82b6de7ef5a3bd29c7.png且3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png//f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png，

所以10927327b2ff4a2510864c8e631f9093.png．所以b04c71db8cec81c32ba09df60c53ea31.png，53a36396fa8a4eac2d8ed856702d6274.png．

所以4ca80a3c1e9a8ce23be4f390daa30ec8.png平面0ddf075a5bf102fa9de16f2abca48bea.png．

而f65528a1e395a6210be25e8e16d85fd7.png平面0ddf075a5bf102fa9de16f2abca48bea.png，所以2cb9b321cfcb9304201b0f6717b0f0db.png．

又因为2b6d2c2d54f813df3be9e97175c650ce.png，所以160d1c2aa8121b7028932c6e2c1e02df.png平面e49bf34eb36b4b352f051e6625653715.png．

所以789de8cb5a7bae7f9d1edcd74f1956fc.png．

（Ⅲ）线段8699feecc8808315ee780ac97d864391.png上存在点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，使4008828ff7fc97d9350bed1b3735122b.png⊥平面ed884058e07d848a2a71368af8cee3e9.png．理由如下：

如图，分别取503cab955f9e4b1463de045e7e426026.png，8699feecc8808315ee780ac97d864391.png的中点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，则08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png//f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png．

word/media/image184.emf又因为3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png//f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png，

所以3a52f3c22ed6fcde5bf696a6c02c9e73.png//08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png．

所以平面ed884058e07d848a2a71368af8cee3e9.png即为平面a72ec9c8e41b0dcd5b470268ce40202a.png．

由（Ⅱ）知，4ca80a3c1e9a8ce23be4f390daa30ec8.png平面0ddf075a5bf102fa9de16f2abca48bea.png，

所以d7a7c842c7e7b5c905c0a534d3569870.png．

又因为44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是等腰三角形c1380839538c5871acd8f1d7c6a00bad.png底边503cab955f9e4b1463de045e7e426026.png的中点，

所以4fe7f0fef22eef8fc702ebd1ba0b5fe8.png．

所以4008828ff7fc97d9350bed1b3735122b.png平面a72ec9c8e41b0dcd5b470268ce40202a.png．

从而4008828ff7fc97d9350bed1b3735122b.png平面ed884058e07d848a2a71368af8cee3e9.png．

故线段8699feecc8808315ee780ac97d864391.png上存在点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，使得4008828ff7fc97d9350bed1b3735122b.png⊥平面ed884058e07d848a2a71368af8cee3e9.png．

2012天津17.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=291a24814efa2661939c57367281c819c.png，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

18．（本题满分12分）

如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，，，，E、F分别是棱CC1、AB中点．

（1）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，

并加以证明；

（2）求四棱锥A—ECBB1的体积．

（1）解：CF//平面AEB1，…… 2分

证明如下：Zxxk

取AB1的中点G，联结EG，FG

分别是棱AB、AB1中点 …… 4分

又

四边形FGEC是平行四边形

又平面AEB，平面AEB1，平面AEB1。 …… 6分

（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC，又平面ABC

平面ECBB1

是棱CC1的中点，

…… 12分

(本小题满分12分) 如图，三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.

（Ⅰ）求证：DM//平面APC；

（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；

（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.

解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，

∴MD//AP，又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC ……………3分

（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。

∴MD⊥PB

又由（Ⅰ）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB

又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC

∴BC⊥平面APC， ∴平面ABC⊥平面PAC ……………8分

（Ⅲ）∵AB=20

∴MB=10 ∴PB=10

又BC=4，

∴

又MD

∴VD-BCM=VM-BCD=………………12分

【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

word/media/image229.emf如图，四棱锥81a76cc5dcec10bda7298f04289fb2c7.png中，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为菱形，ea5c9d518aea28f88c3e932f3e22a1fc.png底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，7aa7683ef0c529e68b11e566f2d7a54a.png，78a2ab7058f8948a1efd2cf79e989dc0.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png上的一点，a198b95e8b05757bb640df6690269db1.png。

（Ⅰ）证明：782efb691dd7e54d19b6695fb2066770.png平面c3698cb1d7f218b991d68438f5fc4829.png；

（Ⅱ）设二面角13ae3e7c027821f7010470721d7a91d6.png为7cdeea6aa792f55ac621192a34f8ce8f.png，求adf824caef0cef6b0e0f81df60a71a34.png与平面817a7e6f14396060c4e915adcaefb88e.png所成角的大小。

解析：【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。

解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。

（Ⅰ）证明：由得，所以，，，所以，

。所以,，所以平面；

（Ⅱ）设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。

所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为.

27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）

如图，长方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，底面703fe088346610133e7e81ef6d0350ee.png是正方形，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png的中点，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是棱0015406e37745015ae5e1e74e78420f9.png上任意一点。

（Ⅰ）证明：87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png4e703467422cd735cab140597c6425b5.png ；

（Ⅱ）如果b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png=2，ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，b9a087ac4c6e485813cb436d1aded20f.png,，求0015406e37745015ae5e1e74e78420f9.png 的长。

【解析】（I）连接，共面

长方体中，底面是正方形

面

（Ⅱ）在矩形中，

得：

【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png中，5deb7fab19e97ff3be4f808abfd97408.png，9a7cfe7c5deff290164fa876883f35c3.png，7ac0cd6266bc7b3cc3d3e7bc4c8c61be.png，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png内的射影f186217753c37b9b9f958d906208506e.png在b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png上。

（Ⅰ）求直线88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png与平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角e97e68d0cb0ccbcfa948a06830dca8c2.png的大小。

命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.

[解析]（1）连接OC. 由已知，所成的角

设AB的中点为D，连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.…………………………6分

（2）过D作DE于E，连接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故 …………………………………12分

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.

【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=291a24814efa2661939c57367281c819c.png，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

【解析】（I）是与所成角

在中，

异面直线与所成角的正切值为

（II）面

面平面平面

（III）过点作于点，连接

平面平面面是直线与平面所成角

在中，

得：直线与平面所成角的正弦值为

【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=bcf6b4e95b2f8c428a3901c3e032376f.pngAA1，D是棱AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

解析：本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.

解：（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面, 又∵面，∴,

由题设知,∴=,即,

又∵, ∴⊥面, ∵面，

∴面⊥面；

（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，

由三棱柱的体积=1，

∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。

(I)求证：DE∥平面A1CB；

(II)求证：A1F⊥BE；

(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。

解析：本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。

解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F 平面A1DC,

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE

（3）线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，

分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.

又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.

由（2）知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点，

所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.

【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）

直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，1ef575af8db4982acbddde1a621354d2.png=6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png

（Ⅰ）证明307db1a1c11ed2108a0bef136d7b6597.png;

（Ⅱ）已知AB=2，BC=aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png，求三棱锥04a349399c950beeacd9c636d92957d2.png 的体积

【解析】（Ⅰ）如图，连结,

是直三棱柱，=，

平面,故．

又，四边形是正方形，

，又，

平面，故．

（Ⅱ），，．

由（Ⅰ）知，平面，

S△·=．

【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)

如图，直三棱柱6df659e40db8b1bb919fddadf8949461.png，5f71e0b4a89d5a236bca424e7928a55b.png，b619d570824f5eafa21c829840ae017e.pngAA′=1，点M，N分别为350b0f6ddfcc3abba2071cca83d04649.png和ce3bfe4ad92af9fd3b3807e61edbde8a.png的中点。

(Ⅰ)证明：943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png∥平面68414313c03669c1aff55baf5b2161ba.png;

(Ⅱ)求三棱锥5a6e9e39f779bf1889437185483059cf.png的体积。

（椎体体积公式V=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngSh,其中S为地面面积，h为高）

解析：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。

【解析】（1）（法一）连结，由已知

三棱柱为直三棱柱，

所以为中点.又因为为中点

所以，又平面

平面，因此 ……6分

（法二）取的中点为P，连结MP，NP，

∵分别为和的中点，

∴MP∥,NP∥,

∴MP∥面,NP∥面,

∵, ∴面MPN∥面，

∵MN面， ∴MN∥面.

(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,

∴⊥⊥面NBC， ∵==1,

∴.

(解法2)

【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，6e28a77e7cfa30453529ba3b15623419.png，253398daca0ee1ce67c54987148ea448.png分别是棱4fa8ed74581e881e76256e62858187f7.png上的点（点f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png 不同于点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png），且a3fe477ae9844fe28e0bb51047397447.png为52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png的中点．

求证：（1）平面16b035ca3a562839ace44a85c336935e.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png；

（2）直线5277b07e3e0e760739ce61b0f7128a7b.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png．

【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面16b035ca3a562839ace44a85c336935e.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png，只要证平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png上的498391ca5279d62a4befa86cf59f67fd.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png即可。它可由已知0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png是直三棱柱和ee96ce597ea8a86db7962fd5de12e912.png证得。

（2）要证直线5277b07e3e0e760739ce61b0f7128a7b.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png，只要证59861b4f0404b8c99203a2fa7ab28d41.png∥平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png上的e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png即可。

【答案】证明：（1）∵0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png是直三棱柱，∴cc8ea50b04cd4e0f5e4fa6425a270f51.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png。

又∵23946c706b3bd7d82d723e22a12bb60f.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，∴349d8ff469b2e6696e02a069e9ac7c77.png。

又∵d2b70026e2e27bfc2d6b119fddf57007.png平面e47f8ae92d3a547149c2da4374034efc.png，∴498391ca5279d62a4befa86cf59f67fd.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png。

又∵23946c706b3bd7d82d723e22a12bb60f.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png，∴平面16b035ca3a562839ace44a85c336935e.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png。

（2）∵6e28a77e7cfa30453529ba3b15623419.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png为52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png的中点，∴29c83dc60f711b55f0332625a85216a4.png。

又∵cc8ea50b04cd4e0f5e4fa6425a270f51.png平面e0b87700192b9f9aec1ffe69b9195a92.png，且f65528a1e395a6210be25e8e16d85fd7.png平面e0b87700192b9f9aec1ffe69b9195a92.png，∴dcd502753667d1b41fced11c8307c6ba.png。

又∵feea8cf583a1ebd79cd4cc65ba19fbb6.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png，8dbfe6a8dfe0c81e0a0a05ed6f3b5d48.png，∴160d1c2aa8121b7028932c6e2c1e02df.png平面e0b87700192b9f9aec1ffe69b9195a92.png。

由（1）知，498391ca5279d62a4befa86cf59f67fd.png平面51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png，∴59861b4f0404b8c99203a2fa7ab28d41.png∥e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png。

又∵23946c706b3bd7d82d723e22a12bb60f.png平面9af58d56ca3b80d6d2466d324e5517d0.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png，∴直线5277b07e3e0e760739ce61b0f7128a7b.png平面8418cad2dcc02c5131a160caf4d8a229.png