如何做好分类讨论题

如何做好分类讨论题

分类讨论题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。所以，这种题很容易不小心丢分。，下面我结合自己多年的学习心得和经验教训谈谈这个问题。

分类讨论思想是一种重要的数学思想之一，通过加强分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性。

分类的方法：（1）概念和性质是分类的依据；（2）按区域（主要是定义域）进行分类是基本方法；（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口；（4）层次分明是分类讨论的基本要求。

分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按所确定的一个标准进行；(3)分类讨论应逐级有序进行。

分类讨论主要有以下几种题型：

题型1.考查数学概念及定义的分类

例题1．已知关于x的方程

（1）若方程有实数根，求k的取值范围

（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.

分析：1、根据方程定义确定方程是一次方程还是二次方程，这一点学生很容易只考虑方程是二次方程的情况；2、根据等腰三角形的定义，第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况。

解：（1）∵方程有实数根

∴①当k＝0时，原方程为一元一次方程 ，，方程有实数根；

②当时，原方程为二元一次方程，∴，

解之得，

∴　

故k的取值范围是.

（2）有两种情况：

①若b=c，则，解得，

此时方程的根为b＝c＝2，

又∵a＝3，满足三角形三边关系，∴

②若a=b或a=c，则，

∴，此时方程另一根为：，满足三角形三边关系，

∴。

练习：

1.（2010上海）已知方程有实数根，求m的取值范围。

2.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。

Ａ 36　　　　Ｂ 60　　　 Ｃ 36或90　　 Ｄ60或90

3. （2011湘西）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为： 。

题型2.考查变量的取值情况和范围的分类

例题2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，，

∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.求S关于t的函数关系式。

分析：讨论变量的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.

解：（1）当点P运动2秒时，AP＝2cm，由∠A＝60°，知AE＝1，PE＝.∴.

（2）①（i）当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，QF＝，AP＝t+2，AG＝1+，PG＝.

∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.

（ii）当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，DF＝4－，QF＝，BP＝t－6，

CP＝10－t，PG＝（10－t）.

而BD＝，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.

（iii）当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动，设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ＝20－2t，OF＝（20－2t），CP＝10－t，PG＝（10－t）.

∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.

故S关于t的函数关系式为

练习：4. （2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。

题型3.考查图形的对应关系可能情况的分类

例题3已知抛物线的顶点坐标为（4，－1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与ΔAOC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

分析：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，有△BOP∽△COA和△BOP∽△AOC两种情况。

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，－1）∴设.

　∵交y轴于点C（0，3），∴3＝16a－1，∴.

∴抛物线的解析式为，即.

（2）存在

当y＝0时，则，

∴∴A（2，0），B（6，0）.

设P（0,m），则OP＝.　　在△AOC与△BOP中，

①若∠OCA＝∠OBP，则△BOP∽△COA，∴.　

OP＝，∴.

②若∠OCA＝∠OPB，则△BOP∽△AOC，∴.

，∴.

∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，－4）、（0，9）或（0，－9）

练习：5.（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

从以上各例可以看出，分类思想在中考中较为广泛．对于这类试题，在熟练掌握知识概念和性质前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．

练习答案：

1.

（1） 当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=

（2） 当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且

综（1）（2）得，

2 .C

3. 3或11.

4. 解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。
　　∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= (cm)
　　（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
　　（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t
　　（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
　　综上得：|PD|=

5.（1）易得：

（2）依题意得，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)

1) 以AQ为底，则有AB=QB,及解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)

2) 以BQ为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,) Q(1,)

3) 以AB为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).

综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,) 、(1,)

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