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2019年江苏省苏州市中考数学试卷(含答案与解析)-

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江苏省苏州市 2019 年初中毕业暨升学考试
--------------------在


数
学


（本试卷满分 130 分，考试时间 120 分钟）
_第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
__
此 __ --------------------一、选择题（本大题共
10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中， __
__
只有一项是符合题要求的。） __
__
1.5 的相反数是 （ ）__

_A. 1 B. 1 C.号 卷5 5 5 D. 5 生

__ --------------------2.有一 组数据：2，2，4，5，7 这组数据的中位数为 （ ）考 ____
A.2 B.4 C. 5 D.7

3.苏州是全国重点旅游城市，2018 年实现旅游总收入约为 26 000 000 万元，数据 26 000
____ _ 000 用科学记数法可表示为 （ ）__
_ 上A. 0.26 108 B. 2.6 108 C. 26 106 D. 2.6 107 __ __ __--------------------
4.如图，已知直线
a //b ，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，B .若 1 54o ，则 2 _ _ _ __

（ ）
_ _
c
名 _ 姓 ___
__ 答A 1 a __

--------------------
__
2
b__ B __ __ __
A.126o B.134o C.136o_ D.144o
_ 题 5.如图， AB 为⊙O 的切线，切点为 A ，连接 AO、BO ， BO 与⊙O 交于点 C ，延长校
--------------------
BO 学与⊙O 交于点 D ，连接 AD ，若 ABO 36o ，则
ADC 的度数为 （ ）业A 毕



D

无
O C B
--------------------

A
. 54o
B. 36o C. 32o D. 27o
6.小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本（两人的
钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数
效

数学试卷 第 1 页(共 26 页


量的笔记本，设软面笔记本每本售价为 x 元，根据题意可列出的方程为 （ ）
A. 1524 15 24x x 3 B. x
x 3 C. 1524 15 24 x 3 x D. x 3 x
7.若一次函数 y kx b （ k、b 为常数，且 k 0 ）的图像经过点 A0， 1 ， B 1，1 ，

则不等式 kx b＞1 的解为 （ ） A. x＜0 B. x＞0 C. x＜1 D. x＞1 8.如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水 平距离为18 3 m 的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ，测得教学楼的顶部 A 处的仰角
为 30o
，则教学楼的高度是
（ ）
A. 55.5 m B. 54 m C.19.5 m D.18 m

A



D 30°
C B
9.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AC 4，BD 16 ，将△ABO 沿点
A 到点 C 的方向平移，得到 A△BC ，当点 A 与点 C 重合时，点 A 与点 B 之间的距
离为 （ ）

A

D

O

B C（A'

O'

B'
A. 6
B. 8 C.10 D.12
10△.如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 △ABC 的面积为 （ ）
A


E


B

D C

A. 4 2 B. 4 C. 2 5 D. 8
数学试卷 第 2 页(共 26 页




第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）


二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.请把答案填在题中的横线上） 11.计算： a2 a3 .
12.因式分解：
x2 xy
. 13.若 x 6 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 .
14.若 a 2b 8 ， 3a 4b 18 ，则 a b 的值为
.

15.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方
魔板”，图 1 是由边长 10 cm 的正方形薄板分成 7 块制作成的“七巧板”图 2 是用该
“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长 为______cm（结果保留根号）.


16.如图，将一个棱长为
3 的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为 1 的小正方 形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为 .
17.如图，扇形 OAB 中， AOB 90 。 P 为 AB 上的一点，过点 P 作 PC OA ，垂足
为 C ， PC 与 AB 交于点 D ，若 PD 2, CD 1 ，则该扇形的半径长为 .

B

P

D
O
C
A

18.如图，一块含有 45 角的直角三角板，外框的一条直角边长为10 cm ，三角板的外框
线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 cm 2（结果保留根号）


数学试卷 第 3 页(共 26 页 三、解答题（
本大题共 10 小题，共 76 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）
19.（本题满分
5 分）
计算：
3
2 2 2 0

20.（本题满分 5 分）

解不等式组：  x x 1 5
2 4 3x 7


21.（本题满分 6 分）
先化简，再求值： x3x 2 6 x 9 16 x 3
，其中
x 2 3 . 22.（本题满分
6 分）
在一个不透明的盒子中装有 4 张卡片.4 张卡片的正面分别标有数字 1，2，3，4，这
些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.
（1）从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的 3 张卡片中任意抽取一张卡片，求 抽取的 2 张卡片标有数字之和大于 4 的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.
数学试卷 第 4 页(共 26 页






23.（本题满分 8 分）
某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小
組.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组 的选择情況，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制 成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）.请你根据给出的信息解 答下列问题：
25.（本题满分 8 分）
k
如图，A 为反比例函数 y （其中 x＞0 ）图像上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B ，
x
OB 4 .连接 OA ， AB ，且 OA AB 2 10 .
（1）求 k 的值；
k
（2）过点 B 作 BC OB ，交反比例函数 y （其中 x＞0 ）的图像于点 C ，连接 OC
（1）求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2） m ， n ；
（3）若某校共有 1200 名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？
24.（本题满分
8 分）
如图， △ABC 中，点 E 在 BC 边上， AE AB ，将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位
置，使得 CAF BAE ，连接 EF ， EF 与 AC 交于点 G . （1）求证： EF BC ；
（2）若 ABC 65 ， ACB 28 ，求 FGC 的度数.

数学试卷 第 5 页(共 26 页 交 AB 于点 D ，求
ADx
DB 的值.
26.
（本题满分 10 分）
如图，AE 为 e O 的直径，D 是 BC 的中点 BC 与 AD，（1）求证： DO∥AC ；
（2）求证： DE DA DC 2 ;
（3）若 tan CAD
1
2 ，求 sin CDA 的值.
数学试卷 第 6 页(共 26 页OD 分别交于点 E，F. C D
E

F
A
O B






27.（本题满分 10 分）
已知矩形 ABCD 中， AB 5 cm ，点 P 为对角线 AC 上的一点，且 AP 2 5 cm .如

图①，动点 M 从点 A 出发，在矩形边上沿着 A B C 的方向匀速运动（不包含点 C）.设动点 M 的运动时间为 t s ， APM 的面积为 Scm2，S 与 t 的函数关系如图


28.（本题满分 10 分）
如图①，抛物线 y x2 (a 1x a 与 x 轴交于 A、 两（点 A 位于点 B 的左侧）， B 点与 y 轴交于点 C，已知 △ABC 的面积为 6.

②所示：
（1）直接写出动点 M 的运动速度为

（1）求 a 的值；
（2）求 △ABC 外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P 是抛物线上一点，点 Q 为射线 CA 上一点，且 P、Q 两点均在第三 象限内，Q、A 是位于直线 BP 同侧的不同两点，若点 P 到 x 轴的距离为 d ，△QPB 的面积为 2d ，且 PAQ AQB ，求点 Q 的坐标.
cm / s ，BC 的长度为 cm ;
（2）如图③，动点 M 重新从点 A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动. 同时，另一个动点 N 从点 D 出发，在矩形边上沿着 D C B 的方向匀速运动，设 动点 N 的运动速度为 v cm/s.已知两动点 M、N 经过时间 x s 在线段 BC 上相遇（不

包含点 C），动点 M、N 相遇后立即停止运动，记此时 △APM 与 △DPN 的面积为 S1

cm2 ， S2

cm2
.
①求动点 N 运动速度 v cm/s的取值范围;
②试探究 S 1
S 2
是否存在最大值.若存在，求出S 1
S 2
的最大值并确定运动速度时间 x
的值；若不存在，请说明理由.


图 1
图 2 图 3


数学试卷 第 7 页(共 26 页

y y CC

A
B xA O B
x
O
Q
P
（图①）

（图②）


数学试卷 第 8 页(共 26 页

江苏省苏州市 2019 年初中毕业暨升学考试
数学答案解析
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题

1.【答案】D

【解析】∵ 5 (5 0 ，∴5 的相反数是 5 ，故选 D。
【考点】相反数的概念

2.【答案】B
【解析】这组数据已经从小到大进行排序，且共有 5 个数，∴中位数为第 3 个数，即为

4，故选 B.

【考点】求一组数据的中位数

3.【答案】D
【解析】26000000 2.6 107 ，故选 D.掌握用科学记数法表示较大的数的方法是解答本

题的关键.

【考点】用科字记数法表示较大的数

4.【答案】A

【解析】如图，∵ a∥b ，∴ 3 1 54 ，∴ 2 3 180 ，

∴ 2 180  3 180 54 126 ，故选 A.


【考点】平行线的性质，平角的定义

5.【答案】D

【解析】∵AB 是 e O 的切线，OA 是半径，∴ OA⊥AB ，即 BAO 90 ，∠B=36°，∴AOC 54 ，∴ ADC 1
2
AOC 27 ，故选 D.

【考点】切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理

数学试卷 第 9 页(共 26 页

6.【答案】A
【解析】根据题意软面笔记本每本售价为 x 元，则硬面笔记本每本售价为x 3 元，
∴15 元能买 15x24 本软面笔记本，24 元能买本硬面笔记本,根据“两人买到相同数 x 3量的笔记本”可列方程
15


x 24 ，故选 x 3
A.

【考点】列分式方程解应用题

7.【答案】D
【解析】由题意可得方程组 1 b, b 1,
1解得 k b,
∴一次函数的解析方式为 y 2x 1 ， k 2,
当 2 x 1＞1 时，解得 x＞1 ，即不等式的解集为 x＞1 ，故选 D.

【考点】一次函数的图像与性质


8.【答案】C

【解析】如图，过点 D 作 DE AB 于点 E，则四边形 DCBE 是矩形，DE BC 18 3 m ，
在 Rt△ADE 中 ， ADE 30 ， ∴ AE DE tan30 18 3 3
3 18 (m ， 又
B E C D 1. 5 m，∴ AB AE BE 18 1.5 19.5 (m ，即教学楼的高度是19.5 m ，
故选 C.



作辅助线构造直角三角形和矩形是解答本题的关键.

数学试卷 第 10 页(共 26 页










【考点】解直角三角形的应用

9.【答案】C

【解析】在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，∵ AC 4 ， BD 16 ，∴

AO CO 2 ， BO DO 8 ，由平移可知 CO ' AO 2 ， B 'O ' BO 8 ，∴
AO ' AC CO ' 4 2 6 ，在 Rt△AB'O ' 中，由勾股定理得 AB ' 10 ，即点 A 与

点 B ' 之间的距离为 10，故选 C.

【考点】菱形的性质，平移的性质，勾股定理

10.【答案】B

【解析】如图，过点 A 作 AM BC 于点 M，过点 E 作 EN BC 于点 N， AM∥EN ，

AB AD 2 ， AD⊥AB ，∴ △BAD 是等腰直角三角形，∴ B ADB 45 ，

由勾股定理得 BD 2 ，∴ AM BM MD 2 ，又∵ AD⊥DE ，∴ ADE 90 ，∴ EDN 45 ，∴ △DEN 是等腰直角三角形，∵ DE 1 ，∴ DN EN
22
，
∴ EN
12 AM ，易证△CEN ~VCAM ，∴CE CA CN CM EN AM 1 ，∴点 2 E 是 AC
的
中点，点 N 是 CM 的中点，∴ CN MN MD DN 2 23 2

2 ，∴ 2 BC 4 2
，∴ S ABC
1 AM BC 1 2 4 2 4 ，即 △ABC 的面积为 2 4，故选
B. 2



作两条垂线是解答本题的关键。

【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求三角

形的面积
第Ⅱ卷（非选择题）


二、填空题

11.【答案】 a 5

【解析】 a
2 a3 a 23 a5 .掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键.

【考点】整式的运算

数学试卷 第 11 页(共 26 页 12.【答案】 x( x y
【解析】 x² xy x( x y .根据整式采取提公因式法分解因式是解答本题的关键。

【考点】因式分解

13.【答案】 x≥6

【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得 x 6≥0 ，解得 x≥6 ，即 x 的取值范

围是 x≥6 .

掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键.

【考点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式

14.【答案】5
【解析】根据题意，可得方程组a

2b 8, a 2, 18,。解得 bab235 3a 4b 3, 列方程组求出 a 和 b 的值是解答本题的关键.

【考点】解二元一次方程组，求代数式的值
15.【答案】 5
22

【解析】如图，在正方形
ABGC 中， AB AC 10 cm ， B4C 90 ， AD BC ，在
Rt△ABC 中，由勾股定理得 BC 10 2 cm ，∴ CD DB 52 2 m ，又△BEF 是
等腰直角三角形，∴ BE EF DE ，∴ BD BE DE 2DE ，∴ DE 5
2
2 cm
，即小正方形的边长为 5
2
2 cm
.



确定“七巧板”中各个图形边长的关系是解答本题的关键.

【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，数学文化
16.【答案】
827


【解析】由题意可知，大正方体被分割成 27 个小正方体，只有大正方体每个顶角上的


数学试卷 第 12 页(共 26 页



小正方体的三个面涂有红色，∴共有 8 个小正方体的三个面涂有红色，∴所求概率
P 8
27
.

【考点】概率

17.【答案】5

【解析】如图，连接 OP，在扇形 AOB 中， OA OB ， A0B 90 ，∴ △AOB 是等腰

直角三角形，∴ OAB OBA 45 ，∵ PC OA ，∴ △ACD 是等腰直角三角形，

∴ AC CD 1 ，∵ PD 2 ，∴ PC 3 ，设扇形的半径为 r，则 OA OP r ，∴.

OC r 1 ，在 Rt△OPC 中，由勾股定理得 OP 2 OC 2 PC 2 ，即 r 2 (r 12 3 2 ，
解得 r 5 ，即扇形的半径为 5.
设未知数利用勾股定理列方程是解答本题的关键.

【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程

18.【答案】10 12 2
【 解 析 】 如 图 所 示 ， AB⊥AC ， AB AC 8 cm ， ∴ S


Q PD DM EN HG EQ 2 cm ， ∴ AM BH CQV ABC 232 cm cm2， ，
∴∵HN EG 2 cm ， ∴ DE MN 8 2 2 2 (6 2 2cm ， ∴S 1

2 ，S DEF S△ DEABC 2 S△ (22DEF 12 32 2 22 cm 2 ∴ 12 2 10 12 2 cm
2 ，即阴影部分的面积为 (10 阴影 = 12
2
cm2 . 求内部小等腰直角三角形的直角边长是解答本题的关键.

数学试卷 第 13 页(共 26 页
【考点】等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理

三、解答题
19.【答案】解：原式 3 2 1
4

【解析】先计算二次根式、绝对值、实数的零次幂，再进行加减运算，从而求出原式的

值.

【考点】实数的综合运算

20.【答案】解：由 x 1＜5 ，解得 x＜4 ， 由 2 x 4＞3x 7 ，解得 x＜1 ，

∴原不等式组的解集是 x＜1 .

【解析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取公共部分即为原不等式组的解

集.

【考点】解一元一次不等式组
21.【答案】解：原式 x 3x 3

( x 3 2 x 3 x( x 3 3
x 3
2 x 3
1x 3 .
当 x 2 3 时，原式 11 2
2 3 3 2
. 2

【解析】先将括号内的分式通分，计算分式的减法，再将分式除法转化为乘法，约分后

将分式化为最简分式，最后将 x 的值代人最简分式，求出原分式的值.

【考点】分式的化简求值，分解因式
22.【答案】（1）
1

2
.

（2）用表格列出所有可能出现的结果如下表：

第二张
第一张1

2 3 4
1 (1,2
(1,3 (1,4
2 (2,1 (2,3 (2,4
数学试卷 第 14 页(共 26 页
















3
(3,1 (3,2 (3,4

4
(4,1
(4,2
(4,3

由表格可知，共有 12 种可能的结果，并且它们的出现是等可能的，其中两次抽取卡片

数字和大于 4 的情况包括： (1,4,(2,3,(2,4,(3,2,(3,4,(4,1,(4,2,(4,3
，共 8 种.
所以 P（抽取两张卡片数学和大于 4） = 82
12 = 3
.

【解析】（1）由题知盒子中的卡片总数，再确定标有奇数的卡片数，代入概率公式，求

出概率；

（2）先列表或画树状图得出所有等可能的情况数，再确定两张卡片标有的数字之和大

于 4 的情况数，代入概率公式求出概率.

【考点】求随机事件的概率
23.【答案】（1）
30 =150.
0.20

答：参加这次调查的学生人数为 150 人.


（2） m 36 ， n 16 .
（3）1200 0.16 192

答：估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有 192 人.

【解析】（1）根据参加“书法”课外兴趣小组的人数和对应的百分比，可求出参加这次

问卷调查的学生人数，再根据条形统计图中已知的人数，求出参加“航模”课外兴

趣小组的人数，补全条形统计图；

（2）根据参加调查的学生人数和参加“摄影”课外兴趣小组的人数，可求出 m 的值；

根据参加调查的学生人数和参加“围棋”课外兴趣小组的人数，可求出n 的值；


数学试卷 第 15 页(共 26 页
（3）用参加“围棋”课外兴趣小组的人数占总调查人数的百分比，乘该校学生总人数，

可估计出选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数.

【考点】统计，用样本估计总本

24.【答案】（1）证明：∵线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置，

AC AF .

Q CAF BAE ，

 CAF CAE BAE CAE ，

即∠EAF ∠BAC .
在 △ABC 和 △AEF 中，  AB AE,
BAC EAF ,

AC AF.

∴ △ABC≌△ AEF (SAS ，∴ EF BC .
（2）∵ AE AB ，

∴ AEB ABC 65 .

∵ V ABC≌VAEF ，

∴ AEF ABC 65

FEC 180 AEB AEF

180 65 65 50

∵∠FGC 是 △EGC 的外角，∠ACB 28 ，

∴ FCC FEC ACB 50 28 78 .

【解析】（1）根据旋转性质得两条线段相等，根据已知角代换得两个角相等，结合已知

线段相等，可证明△ABC≌△AEF ，得对应边相等；

（2）根据等边对等角求出 AEB 的度数，根据全等三角形的对应角相等求出 AEF 的
度数，进而求出 FEC 的度数，再利用三角形外角的性质，可求出FGC 的度数.
数学试卷 第 16 页(共 26 页


【考点】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性
质

25.【答案】（1）过点 A 作 AE⊥OB 于点 E.

∵ OA AB 2 10 ， OB 4 ，
∴ OE BE
1 OB2，
2

在 Rt△OAE 中，

AE OA2
OE2 (2 10 2 22 6 ，
∴点 A 坐标为 2,6 . ∵点 A 是反比例函数 y
kx

图象上的点，
∴ 6
k ，解得
2 k 12
.



（2）记 AE 与 OC 的交点为 F.

∵ OB 4 且 BC⊥OB ，点 C 的横坐标为 4，
又∵点 C 为反比例函数 y
12
x
图象上的点， ∴点 C 的坐标为 4，3 ，∴ BC 3 .
设直线 OC 的表达式 y mx ，将 C 4，3 代人可得 m 34

，

∴直线 OC 的表达式 y
34 x
，
∵ AE⊥OB ，OE 2 ，∴点 F 的横坐标为 2 将 x 2 代入 y
34 x 可得 y 3 号，即 2 EF 3 2
.∴ AF AE EF 6 392 2.


∵AE，BC 都与 x 轴垂直，∴ AE∥BC ，∴ AFD BCD ， FAD CBD ，

∴ △ADF∽△BDC ，

数学试卷 第 17 页(共 26 页 ∴ ADDB AF BC 3 2 .
【解析】（
1 ）过点
A 作 x 轴的垂线 AE，根据已知条件求出 OE 的长，再根据勾股定理求

出 AE 的长，从而求出点 A 的坐标，即可求出 k 的值；

（2）根据 OB 的长得点 C 的横坐标，代人反比例函数解析式求出点 C 的坐标，从而求

出直线 OC 的函数解析式，根据 OE 的长得点 F 的横坐标，代入直线 OC 的解析式，

求出 EF 的长，从而求出 AF 的长，根据平行线判定V ADF∽VBDC ，得对应线段
成比例，从而求出
AD 的值.
DB

【考点】反比例函数的图象与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质

26.【答案】（1）证明：∵D 是 BC» 的中点，∴» »
CD DB ，

∴ CAD BAD ，

∴ CAB 2BAD .

在 e O 中， DOB 2BAD .

∴ CAB DOB .

∴ DO∥AC .

（2）证明：∵ C» D » OB ，∴ CAD BCD .

又∵ ADC CDE ，

∴ △ACD∽△CED ..
∴ DADC DC DE，

∴ DE DA DC 2

（3）解法一：如图 1，作 CG⊥AD 于点 G.


图 1

∵AB 为 e O 的直径，C 为 e O 上一点，


数学试卷 第 18 页(共 26 页







∴ ACB 90 .
∵ tan CAD
1 ，∴CE 1 2 AC， 2 设 CE k (k 0
，则 AC 2k ，

AE AC2 CE2 (2k 2 k 2 5k .

∵ △ACD∽△CED ，
∴ CDED CE 1 AD CD AC 2 .
设 DE
x( x 0 ，则 CD 2 x, AD 4 x .

∵ AD AE DE ，
∴ 4 x 5k x ，得 x
5
3 k
. ∴ CD 2x 2
5
3 k
.

∵ CG⊥AD ，∴ CGA CGD 90 ，

则 ACE CGA .

又∵ CAE AGC ，∴ △ACE∽△AGC .
∴ CEAE k 5k 2 5 GC
AC，即 GC 2k，∴ GC 5k .

2 5
在 Rt△CDG 中， sin CDA CGk 3


CD 5

2 5 .
k 5 3

解法二：如图 2，链接 BD.
∵AB 为 e O 的直径，C 为 e O 上一点，

∴ ACB 90 .

∵ DO∥AC ，∴ OFB ACB 90 ，

数学试卷 第 19 页(共 26 页∴ BFD 90 .

∴ CAD CBD （同弧所对的圆周角相等）.
∴ tan CBD tan CAD 11
2 ，∴DF BF 2
. 设 DF k (k 0 ，则 BF 2k
.

设 OB OD r ，则 OF OD DF r k .

在 Rt△BOF 中，有 OF 2 BF 2 OB 2 .
即 (r k 2 (2 k 2 r 2 ，化简得 r 5k
.
∴ OF OD DF r k
32

2 k
. 3 ∴ sin CBA OFk

OB 522 5 3. k




∵ CDA CBA （同弧所对的圆周角相等）.
∴ sin CDA sin CBA
3
5
.

【解析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，结合圆周角定理得出同位角相等，从而判定

两直线平行；
（2）根据已知角相等和等弧所对的圆周角相等，证明△ACD 、△CED ，得比例式，改

为乘积式即可；
（3）作 CG⊥AD ，根据直径所对的圆周角是直角结合锐角函数的正切值，求出
CE
的
AC 值，设 CE k ，利用勾股定理表示出 AE，根据相似三角形的性质求出
CDAD
ED
CD 的
值，设 DE x ，再由 AD AE DE ，列出方程，从而表示出 CD，再根据两组对

应角相等证明 V ACE∽V AGC ，将含 k 的代数式表示的线段长代入比例式，表示出

CG 的长，利用锐角三角函数的定义即可求解；或连接BD，根据直径所对的圆周角

是直角及平行线的性质得 BFD 90 ，根据圆周角的性质得 CAD CBD ，根

据已知正切值得器的值，设 DF k ，OB OD r ，根据已知条件表示出其他线段

的长度，再利用勾股定理得到 r 与 k 的关系，即可得到 sin CDA .

【考点】圆的性质，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角

数学试卷 第 20 页(共 26 页




函数的定义，勾股定理

2 x .
∴ S S (2 x 15 2 x
1 2

27.【答案】解：（1）2，10.

（2）①∵动点 M，N 相遇后停止运动，


∴动点 M 和动点 N 运动的距离之和为 AB BC DC 20(cm ..
又∵动点 M，N 运动速度分别是 2(cm / s, v(cm / s ，且两个动点的运动时间均为 x(s ，
4 x 2 30 x
2 225 15 4 x 4 4
5 1515
∴ 2 x xv 20 ，∴ v 2
20
x .

∵动点 M，N 在线段 BC 上相遇（不包含点 C），
∴ 5≤2 x＜15 ，解得5 ≤x＜15

设 y 202
， 2
x .由反比例函数的图象和性质得： 8 3＜ y≤8，即8 3＜v 2≤8 ，∴答：动点 N 运动速度 v(cm / s 的取值范围为 2
3＜ v≤6 .
②解法一：过点
P 作 PQ⊥AD 于点 Q， PH⊥BC 于点 H.

Q AD 10, CD 5, AC 5 5 .
Q AP 2 5, PQ AD, ADC 90，

PQ / /CD ，

△APQ∽△ACD ，

△APQ∽△ACD ，
APPQAC AQ CD AD，

PQ
2, AQ 4 ， PH 3, DQ 6 .
∵动点
M，N 在线段 BC 上相遇（不包含点 C），
S 1
S
ABC S
MPC
S
MAB

1210 5 1
3 (15 2 x 1
2(2 x 5 5 2

2 x 15
S 2
S S S 1DCP MCP DCU
1 12 5 6 2 3 (15 2 x

2
5 (15 2 x 数学试卷 第 21 页(共 26 页 2 3＜v≤6
.. ∵ 2 ≤2 ，4 ＜

∴当 x
15 时，S1 S2 取得最大值，最大值为225 4 4
. 答：当 x
154 时， S1 S2 取得最大值，最大值为225 4
.


图 1 图 2 图 3
解法二：过点
P 作 PQ⊥AD 于点 Q， PH⊥BC 于点 H.

∵ AD 10 ， CD 5 ，∴ AC 5 5 ..
∵ AP 2 5 ， PQ⊥AD ， ADC 90 ，

∴ PQ∥CD ，∴ △APQ∽△ACD ，
∴ APAC PQ ，∴ CD PQ 2 .
∵动点 M，N 在线段
BC 上相遇（不包含点 C），

∴ S 1 2 APDS
S

1 12 210
S 5 10 2 15 ， ∴ S 15 S .
2 1

∴ S S S 15 S S 15 2
1 2 1 1
225 2
4
. 1

数学试卷 第 22 页(共 26 页




∴当 S 1 15 2 时， S1 S2 取得最大值，最大值为225
4 .

∵ S 1
S ABC S MPC S
MAB
1 1 101
2 2 2 5 3 (15 2 x (2 x 5 5

2 x 15
∴当 S 15 时，SS取得最大值，最大值为225
.
1
2 1 2 4
答：当 x
15 时，S

4 1 S 有得最大值，最大值为225 2 4
.

【解析】（1）根据函数图象可求出动点 M 的运动速度和 BC 的长；

（2）①根据动点 M，N 相遇后停止运动可求出两点运动的距离之和，从而列出方程，

求出 v 与 x 的关系式，再求出 x 的取值范围，根据反比例函数的图象与性质可求出v

的 取 值 范 围 ； ② 作 垂 线 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 AC 的 长 ， 利 用 平 行 线 判 定

△APQ∽△ACD ，根据比例式求出相关线段的长，从而求两个三角形的面积与 x 的

函数关系式，根据两个三角形的面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点
坐标得 x 的值和函数的最大值；或作垂线，根据勾股定理求出 AC 的长，利用平行

线判定 △APQ∽△ACD ，根据比例式求出 PO 的长，从而求出两个三角形的面积之

和，用其中一个三角形的面积代换另一个三角形的面积，根据两个三角形面积之积
列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得其中一个三角形的面积和函数最大
值，再利用其中一个三角形的面积与 x 的函数关系式求得 x 的值.

【考点】矩形的性质，反比例函数与二次函数的图象与性质，勾股定理，平行线的判定，

相似三角形的判定与性质
28.【答
案】（1）∵抛物线 y x2 (a 1x a .

∴令 y 0 ，解得 x 1 或 x a ，

∵点 A 位于点 B 的左侧，
∴点 A 的坐标为 (a,0( a 0 ，B 的坐标为 (1,0

令 x 0 ，解得 y a ，

∴点 C 的坐标为 (0, a .

∴ AB 1 a ，∴ S V 1 2 (1 a (a 6
， ABC
数学试卷 第 23 页(共 26 页

即 a 2 a 12 0 . 解得 a 3 或 a 4 .

∵ a＜0 ，∴ a 3 .

（2）∵ a 3 ，∴ A(3,0, C (0,3 ， ∴ AO
OC 3 ，又 AOC 90 ，

∴ OAC OCA 45 ，
∴线段 AC 的垂直平分线与 AOC 的角平分线所在的直线 y x 重合. ∵ OAC OCA 45
∵ A(3,0, B(1,0 ，

∴线段 AB 的垂直平分线是过点( 1，0 且平行于 y 轴的直线.

△ABC 外接圆圆心在线段 AB 的垂直平分线上，又在线段 AC 的垂直平分线上.

∴ VABC 外接圆圆心的坐标为( 1，1. （3）过点 A 作 AE⊥PB 于点 E，过点 Q 作 QF⊥PB 于点 F，记 PA 与 BQ 的交点为 G， 延长 PQ 与 x 轴交于点 H.



∵ AB 4 ，点 P 到 x 轴的距离为 d ，
∴ S 1V APB 2 AB d 2d
.
∵ S



∴ 1VQPB 2d ，∴1 SV SVQPB ， 2 2 PB APB

PB AE QF ， ∴ AE OF ，∴ AE PB, QF PB ，

∴四边形 AEFQ 为矩形，∴ AQ∥BP .

数学试卷 第 24 页(共 26 页






∵ PAQ AQB ，∴ GQ GA .

三点的横坐标相等，根据抛物线解析式设定点 P 的坐标，根据 BH PH 列方程，

∵ AQ∥BP ，∴ PAQ APB, AQB QBP ，

求出方程的解，从而求出点 Q 的横坐标，根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法求

∴ GB GR ，∴ GB GQ GP GA ，即 PA BQ .
PA BQ,
APB QBP在 △APB 与 △QBP 中， , PB BP, 出直线 AC 的解析式，从而求出点 Q 的坐标.

【考点】二次函数的图象与性质，三角形的面积公式，角平分线和线段的垂直平分线的

性质，三角形的外接圆，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二


∴ VAPB≌VQBP .
∵ CAO 45 ，且 AQ∥BP ，

∴ ABP CAO 45 .
又∵ VAPB≌VQBP ，

∴ QPB ABP 45 ，∴ PHB 90 ，

∴点 P 在抛物线 y x2
2 x 3 上， 设点 P 的坐标为t , t 2 2t 3，

∴点 H 的横坐标也为 t ，
∵ BH PH ，∴1 t
t 2 2t 3，

解得 t 4 或 t 1（舍去）.

∴点 P 的横坐标为 4 ，∴点 Q 的横坐标也为 4 .
∵直线 AC 经过点 A(3,0, C (0,3 ，

∴利用待定系数法可得直线 AC 的表达式为 y x 3 .

∵点 Q 在 AC 上，∴点 Q 的坐标为 (4, 1 .

【解析】（1）根据抛物线的解析式，求出点 B 的坐标并用含 a 的代数式表示出点 A 和 C

的坐标，从而表示出线段的长，利用三角形的面积列方程求出a 的值，从而求出抛

物线的解析式；

（2）根据 a 的值求出点 A，C 的坐标，得OA OC ，再证得等腰直角三角形，从而判定
两线重合，再根据线段 AB 的垂直平分线求得今 ABC 外接圆圆心的坐标；
（
3）作垂线，表示出 △APB 的面积，结合 △QPB 的面积，得 AE QF ，可证四边形

AERQ 是矩形，再根据等角对等边证得GQ GA ，利用平行线的性质进行代换，证

明 PA BQ ，从而证明 VAPB≌VQBP ，求出 QPB ABP ，从而判定 P，Q，H

数学试卷 第 25 页(共 26 页

次方程


数学试卷 第 26 页(共 26 页


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2cb4146b89d63186bceb19e8b8f67c1cfbd6ee4e.html

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