2015年江苏高考数学试卷（word校对版）

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.

3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，

从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

6.已知向量，，若，

则m-n的值为______.

7.不等式的解集为________.

8.已知，，则的值为_______.

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .

11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 .

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .

13.已知函数，，则方程实根的个数为 .

14.设向量，则的值为 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在中，已知

（1）求BC的长； （2）求的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，

求证：（1）； (2) .

17.（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

19.（本小题满分16分）

已知函数；

（1）试讨论的单调性；

（2）若 （实数是与无关常数），当函数有三个不同零点时，的取值范围恰好是（求的值.

20.（本小题满分16分）

设是各项为正数且公差为d的等差数列.

（1）证明：依次成等比数列;

（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由;

（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由?

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A、选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D

求证：

B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.

D．[选修4-5：不等式选讲]

解不等式

22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,.

(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；

(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.

23.已知集合，设，令表示集合所含元素个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/281bc5ed011ca300a6c390aa.html