23．4 中位线
【知识与技能】
1．掌握三角形的中位线的概念和定理．
2．了解三角形的重心及其性质．
【过程与方法】
灵活运用三角形中位线解决有关问题．
【情感态度】
结合实际问题，进一步理解三角形中位线的概念及性质，培养创造性思维．
【教学重点】
经历三角形中位线性质定理的形成过程，并能利用它们解决简单的问题．
【教学难点】
训练说理的能力．
一、创设情境，导入新知
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.这个问题在本章第23.3.1节中我们已经解决．
问：若D是AB的中点，那么E是AC的中点吗？DE与BC的比是多少？
2．上述问题的逆命题是什么？
二、合作探究，理解新知
探究：三角形的中位线定理
1．你写出的逆命题是什么？它成立吗？
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点，那么DE∥BC，DE＝BC.
说明：(1)另一个逆命题不考虑；
(2)让学生画图，观察、猜想结论是否成立；
(3)学生讨论、验证命题成立．
2．证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴＝＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)，∴∠ADE＝∠ABC，＝(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)．
∴DE∥BC且DE＝BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
学生在前面讨论的基础上，在教师引导下找出其他证法，最后教师归纳．
证法一：如图，延长DE到F，使EF＝DE.
在△ADE和△CEF中，
∵AE＝EC，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE.
∴CF＝AD，∠A＝∠ECF.
∴AB∥CF.
又∵AD＝DB，∴CF＝BD.
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC且DE＝BC.
证法二：作如下图所示的辅助线，即过E点作AB的平行线交BC于N，交过A点与BC平行的直线于M.
证法三：如下图，过A、B、C三点分别作DE的垂线．
3．归纳
(1)我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
思考：中线和中位线有什么异同点？
例题讲解
例1：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC.
求证：AE、DF互相平分．
证明：连结DE、EF.∵AD＝DB，BE＝EC，
∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)．
同理EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．
说明：对于文字证明题要先根据题意，画出图形，写出已知、求证，最后再证明．
例2：如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.
求证：＝＝.
证明：连结ED.
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC，＝(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)．
∴△ACG∽DEG.
∴＝＝＝.
∴＝＝.
思考：作另外两条三角形的中线，是否也有这个结论？这个结论用文字怎样叙述？
学生小组合作解决，结论仍然成立，可得如下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
【教学说明】引入重心的概念，了解重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
例3：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
(让学生完成)
操作与思考：1.请任画一个四边形，顺次连结四边形各边的中点．
2.猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由．
3.由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？
【教学说明】对大部分学生而言，此题难度较大，原因在于条件与结论之间无法建立直接的联系，学生易产生思维障碍，因此需要将难度分解，把问题慢慢引向三角形中位线的性质上，让学生进一步感受转化思想的重要性．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第79页练习第1题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获？
1.三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形中线不同．
2.三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个关系．熟悉三角形中位线所在的图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键．
3.在这节课中我们一起经过试验、探索，发现了三角形中位线定理，学会了一种很重要的探究问题的方法.
4.本节课开始提出的测量问题，通过大家今后不断地学习新知识，将会有更多的解决办法．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材习题23.4第3、4题．
2.已知：如图，△ABC的周长为a，面积为S，连结各边中点得△A1B1C1，再连结△A1B1C1各边中点得△A2B2C2…则第1次连结所得△A1B1C1的周长＝______，面积＝______；第2次连结所得△A2B2C2的周长＝______，面积＝______；第3次连结所得△A3B3C3的周长＝______，面积＝______…第n次连结所得△AnBnCn的周长＝______，面积＝______．
3．(1)如图①，E、F、G、H分别是矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是什么四边形？为什么？
(2)如图②，E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是什么四边形？为什么？
① ②
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/276ca770ba4cf7ec4afe04a1b0717fd5370cb245.html
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