四川省德阳市2020年高二下数学期末综合测试试题含解析

四川省德阳市2020年高二(下)数学期末综合测试试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）

1．设是虚数单位，则的值为（ ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为

A．11 B．12 C．13 D．14

3．设随机变量，且，，则（ ）

A． B．

C． D．

4．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )

A．变量x,y之间呈现负相关关系

B．可以预测,当x=20时,y=﹣3.7

C．m=4

D．该回归直线必过点(9,4)

5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是（ ）

A． B． C． D．

6．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)

A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)

C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)

7．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（）

A． B． C． D．

8．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．最低气温低于的月份有个

B．月份的最高气温不低于月份的最高气温

C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份

D．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关

9．恩格尔系数,国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，某地区家庭2018年底恩格尔系数为，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平至少经过（ ）

（参考数据：，,，）

A．年 B．年 C．年 D．年

10．已知集合，，则集合（ ）

A． B． C． D．

11．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）

A．8种 B．15种 C．种 D．种

12．已知函数的图象关于原点中心对称，则　　

A．1 B． C． D．2

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为________．

14．在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为2，若，，且，则的值为________

15．从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有条，其中有条有记号，则能估计湖中有鱼____________条.

16．已知函数，则________

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）

17．已知命题：对，函数总有意义；命题：函数在上是增函数.若命题“”为真命题且“”为假命题，求实数的取值范围.

18．已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.

19．（6分）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.

（1）设，，若，求向量；

（2）对于中的任意两个向量，，证明：；

（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.

20．（6分）已知椭圆 的离心率为，其中左焦点.

（1）求出椭圆的方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.

21．（6分）已知数列（）的通项公式为（）.

（1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；

（2）求的二项展开式中的系数最大的项；

（3）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.

22．（8分）已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角为的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、.

（1）求抛物线的标准方程及准线方程；

（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点.证明：为定值，并求出该定值.

参考答案

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）

1．B

【解析】

【分析】

利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.

【详解】

解：设,

可得：，

则，

，

可得：，

可得：，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.

2．C

【解析】

【分析】

利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.

【详解】

∵等差数列的公差为2，且，

∴

∴

∴.

故选：C

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.

3．A

【解析】

【分析】

根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于，的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出的值，再求出的值，得到结果．

【详解】

解：随机变量，

，，

，①

②

把①代入②得，

，

故选：．

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题．

4．C

【解析】

【分析】

根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.

【详解】

对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.

线性回归方程为，b=﹣0.7<0，故负相关.

对于B：当x=20时，代入可得y=﹣3.7

对于C：根据表中数据：9.

可得4.

即，

解得：m=5.

对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).

故选：C.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.

5．D

【解析】

【分析】

利用古典概型、组合的性质直接求解.

【详解】

在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，

用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，

则，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算公式，组合的性质，属于基础题.

6．A

【解析】

【分析】

对函数求导，研究导函数的正负,求使得导函数小于零的自变量的范围，进而得到单调区间.

【详解】

y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1).

故答案为A.

【点睛】

这个题目考查了利用导数求函数的单调区间，对函数求导，导函数大于0，解得函数单调增区间；导函数小于0得到函数的减区间；注意函数的单调区间一定要写成区间的形式.

7．A

【解析】

【分析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.

【详解】

在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：

恰有1件次品包含的基本事件个数为

在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为

故选：A

【点睛】

本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.

8．A

【解析】

【分析】

由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．

【详解】

由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．

在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；

在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；

在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；

故选：A．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

9．B

【解析】

【分析】

根据“每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加”以及列不等式，解不等式求得至少经过的年份.

【详解】

设经过的年份为年，依题意有，即，两边取以为底的对数得，即，故至少经过年，可使家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选B.

【点睛】

本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查实际生活中的函数运用，考查阅读与理解能力，属于中档题.

10．B

【解析】

【分析】

由并集的定义求解即可.

【详解】

由题,则,

故选:B

【点睛】

本题考查集合的并集运算,属于基础题.

11．C

【解析】

由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把封电子邮件投入个不同的邮箱，共有种不同的方法，故选C.

12．B

【解析】

【分析】

由函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，由恒成立可得，从而可得结果．

【详解】

函数图象关于原点对称，

函数是奇函数，

则得，

即，

即，得，故选B．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）

13．4860

【解析】

由题意可知,即二项式为，所以，所以的系数为4860，填4860。

14．4

【解析】

【分析】

根据向量线性运算分别表示出,结合向量数量积运算即可求解.

【详解】

根据题意,画出空间几何体如下图:

,,,且,且底面边长和侧棱长都为2

则,

所以

故答案为:4

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用,属于基础题.

15．

【解析】

【分析】

按比例计算．

【详解】

估计湖中有鱼条，则，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用样本数据特征估计总体，解题时把样本的频率作为总体频率计算即可．

16．1

【解析】

【分析】

由题得，令x=0即得解.

【详解】

由题得，

令x=0得，

所以.

故答案为1

【点睛】

本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）

17．

【解析】

【分析】

由对数函数的性质，我们可以得到为真时，的取值范围；根据导数的符号与函数单调性的关系及基本不等式，我们可以求出为真时的取值范围；而根据“”为真且命题“ ”为假，可得真假，或假真，求出这两种情况下的的取值范围再求并集即可．

【详解】

解：当为真命题时，解得

当为真命题时，在上恒成立，

即对恒成立.又，

当且仅当时等号成立，所以，所以 .

因为命题“”为真命题且命题“ ”为假命题，

所以命题与命题一个为真一个为假

当真假时，有解得

当假真时，有解得

综上，实数的取值范围是

【点睛】

本题考查的知识点是对数函数的性质，恒成立问题，导数法确定函数的单调性，复合命题的真假，属于中档题.

18．

【解析】

【分析】

设，根据题意列出关于的方程组求解，再结合所对应的点在第二象限，即可求出

【详解】

设，则，∴

又，.

∴，联立，解得

又在第二象限，∴，即

∴

故答案为

【点睛】

本题考查了复数的相关定义，设出复数的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。

19．（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.

【解析】

分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.

详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：

或；

（2）设，，，则

从而得证；

（3）设与的夹角为，则，

则，故最大值为.

点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.

20．（1）（2）或

【解析】

【分析】

（1）根据离心率和焦点坐标求出，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点横坐标，代入直线得到坐标；再将代入曲线方程，从而求得.

【详解】

（1）由题意得：，

解得：，

所以椭圆的方程为：

（2）设点，，线段的中点为

由，消去得

由，解得：

所以，

因为点在曲线上

所以

解得：或

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果.

21．（1），0；（2），；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据二项展开式直接得二项式系数之和为，利用赋值法求二项展开式中的系数之和；

（2）根据二项展开式通项公式得系数，再列方程组解得系数最大的项；

（3）先根据二项式定理将展开成整数与小数，再根据奇偶性分类讨论元素个数，最后根据符号数列合并通项.

【详解】

（1）二项展开式中的二项式系数之和为，

令得二项展开式中的系数之和为；

（2）

设二项展开式中的系数最大的项数为

则

因此二项展开式中的系数最大的项为，

（3）

所以当为偶数时，集合的元素个数为

当为奇数时，集合的元素个数为

综上，元素个数为

【点睛】

本题考查二项式系数之和、二项式展开式各项系数之和、二项式展开式中系数最大项以及利用二项式展开式计数，考查综合分析求解与应用能力，属较难题.

22．（1）抛物线的方程为，准线方程为；

（2）为定值，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线的定义结合条件，可得出，于是可得出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，列出韦达定理，计算出线段的中点的坐标，由此得出直线的方程，并得出点的坐标，计算出和的表达式，可得出，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.

【详解】

（1）由抛物线的定义知，，.

将点代入，得，得.

抛物线的方程为，准线方程为；

（2）设点、，设直线的方程为，

由，消去得：，则，

，.

设直线中垂线的方程为：，

令，得：，则点，，.

，

故为定值.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2576500b48649b6648d7c1c708a1284ac950059e.html