小学数学教师培训材料：从“应用题”到“解决问题”

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小学数学教师培训材料：从“应用题”到“解决问题”
应用题历来是我国小学数学教学中的一个棘手问题。2006年课程改革中将应用题更名并扩大为解决问题，近年来已取得一定进展，当然还存在一些问题。本着“回顾历史，面对现实，展望未来”的精神，本文提出下列几个有关问题和同行们研讨。
一、应用题教学的历史回顾
历史是一面公正的镜子，它能折射出人们在推动社会进步中所作的贡献与不足，从而总结经验，吸取教训，以利进一步促进社会的发展。在关键时期，适时地作一些历史回顾是十分必要的。
我国古代数学有很多辉煌的成就，如“九章算术”、“孙子算经”等。但是，由于封建桎梏，闭关自守，作为一门数学课程列入中小学教学计划中，已到了清末民初了。民国初年出版的算术教科书，都是按照当时的《课程暂行标准》编写的，体例大多随美、日，内容除了整数、小数、分数、复名数、简单簿记以外，还都包括不少的应用题。这些内容大概和我国的数学传统有较大关系。大家知道，古代的东、西方数学是不同的。吴文俊院士曾说过：“西方重证定理，而中国的古代数学不考虑定理，不考虑怎样定义公理，不考虑定理怎样证明，而着重在解决各式各样实践中出现的具体问题，因此重在解方程……解多项式方程就变成中国古代数学发展的主线。”①事实的确如此，以几乎集中了过去和当时全部数学知识的“九章算术”为例，将246个问题分为九章，其中很多是人们在实践中遇到的各类具体问题，有的还流传至今。
下面再结合建国后的教学大纲研究一下小学应用题教学的演变。2001年课程改革以前，我国小学算术（数学）教学大纲历经修改，概括起来可分为下面两个阶段。
第一阶段从建国到1965年。当时的算术课程十分重视应用题，1956年《小学算术教学大纲（修订草案）》中规定：“应当用算术课和算术课外作业总时间的一半左右来解答应用题”。同时把应用题按前苏联的经验分为“简单”、“复合”和“典型”三大类②，每一大类又细分为很多类型。1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》将简单应用题分为12种，复合应用题学到2～5步（按解答步骤多寡而分），典型应用题多达11、12种。其中典型应用题大多是我国传统的数学题型，每一种题目都有其特殊的解题规律或方式，如相遇、追及、流水、工程、植树、盈不足、年龄、方阵、鸡兔同笼、和差、和倍、正反比例、求平均数等问题。由于人为分类过细，要求又高，加之教学不甚得法，养成了学生找类型、背结语、死套公式的弊病，有的学生甚至用找关键词来代替分析数量关系（如见“还剩”就“减”，见“一共”便是“加”，见“倍”就“乘”，见“平均”就要“除”），题目稍一变化，便不知所措，增加了学生的学习负担，应用题这个“老大难”的问题凸显了出来。
第二阶段从1978年实施义务教育大纲。1978年经过“文革”十年动乱，按照邓小平同志提出
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的“教材要反映出现代科学文化的先进水平，同时要符合我国实际情况”的精神，制定了《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》。大纲明确指出“使学生能够应用所学的知识解决日常生活和生产中简单的实际问题”，课程内容增加了代数初步知识，并将“小学算术”易名为“小学数学”课程。在1978年以前，我国中小学算术与代数历来是泾渭分明，小学只学算术，初中才正式学习代数。从数学发展史来看，算术遇到不能解答的应用题时才促进了方程理论的研究，而方程的出现又简化了算术应用题的解答。所以，当时在小学阶段正式引入一些简易方程，既遵循了从算术到代数的由浅入深的认识规律，重演了历史进程，又因势利导、由高到低地大大缩短了人们的认识历程，应视为我国小学算术具有重要意义的一次大改革。于是，自1978年以后的二十年，一步应用题不再人为分类，而按加、减、乘、除意义自然归类，复合应用题只学到4步（义务大纲只到3步），典型应用题也大幅度地简化，把过繁的删去，只保留求平均数、相遇和工程问题，把一些逆思考的题目如分数除法应用题、正反比例应用题等均列方程求解。这样，应用题的“老大难”问题得到一定程度的缓解，小学生的解决问题能力也有了提高。
纵观半个世纪的历史，我国小学应用题教学的改革是处在一个由繁到简、由单一的算术方法到算术与代数方程灵活运用的渐变过程，这里有继承、有借鉴，也有创新。
二、新课程改革大大打破了传统应用题的格局
上世纪80年代，随着信息社会信息传递的快速，必须随时根据变化作出抉择，于是世界各国都开始注意把数学应用于现实世界的“问题解决”之中。根据数学广泛应用的基本特征，西方（尤其美国）将“问题解决”作为数学改革的行动纲领，并发展成为世界性的口号；同时，数学教育家波利亚提出的“问题解决”教学也已成为世界各国数学教育界的共识。
鉴于我国小学传统应用题数学存在着不少弊端，《课程标准》制定时，为了与之“拉开距离”，干脆将应用题取名为“解决问题”，与国际接轨③。近一个世纪以来，我国小学算术（数学）把应用题作为一个独立领域的传统格局被彻底打破了，并把应用题融于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等领域之内，把它作为各领域解决其相应的实际问题的有机部分而呈现。这种安排，与世界绝大多数国家的小学数学教学大纲相一致，比较合理，也比较符合逻辑。
把应用题改为“解决问题”，当然不是一个简单的易名。原《课程标准》编制组主要负责人之一孙晓天教授曾说过：“解决问题脱胎于应用题，但绝不同于应用题。”④究竟两者有什么区别？不妨从西方提出“解决问题”的原意来思考。
解决问题是个体在一个新情境下，根据已有的知识和经验对发现的新问题寻求答案的心理过程。所谓“问题”，本身就是被意识到的一种矛盾，一种空缺。而这里讲的问题是初次见面的“新”问题，解决问题的策略也是新的；具体说来，是无法从掌握的知识或经验中直接找出现成的方法以达到问

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题的解决的，至少要利用已有的知识、技能、方法复杂的加工，它是学生一种克服各种障碍的探究活动。问题一旦解决，通过解决问题过程所获得的方法、途径、策略又可以作为学生认知结构中的一个组成部分，变为已知的策略、方法；也就是说，再用这种方法、策略去解决其它问题，就不再是“解决问题”，而是一般的练习作业了。为此，《课程标准》把“解决问题”列为总体的四大目标（知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度）之一，并贯穿于四大内容的整个教学过程之中，具体要求可以概括为：使学生学会从数学角度发现问题、提出问题、分析问题和综合运用数学知识解决简单的实际问题；获得解决问题的一些基本策略（方法），体会解决问题方法的多样性，发展应用意识、创新意识和实践能力；学会与同伴合作交流；养成评价和反思的意识。而传统的应用题呢？只是众多数学内容中的一个内容，教学中又往往是见“题”论题，目标就是让学生会“解题”，当然也注意到逻辑思维的训练，但是总的说来任务是比较单一的。由此可见，解决问题与应用题教学两者在其功能和价值取向方面都有着明显的区别。
再者，解决问题是以解决数学问题为研究对象的，它既包括四则运算、找规律等纯数学的题目，也包括融于课标四大内容之中类似原应用问题模式的题目，更包括直接指向生活实践的综合实践活动的课程，后者更具有综合性、多元性、开放性和挑战性，有助于学生积累数学活动经验，并在综合运用已学知识解决实际问题中感悟到数学各部分知识的联系，数学与其他学科的关系。
通过一轮的课改实验，解决问题的成果已初见成效，当然还存在不少有待研究的问题，拟在第三个问题中进行讨论。
三、实现解决问题教育功能的几点思考（一）两个转化，一个也不能少
小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了认识上的两个转化。
第一个转化指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题。这种从现实生活原型中抽象出数学问题的能力，在当今信息社会中是十分重要的。因为从某种角度上看它是“建模”的起点。在小学阶段我们一般不明确提出“建模”，因为方程、方程组、不等式、函数等是基本的数学模型，小学生由于所学数学知识之限，还没有真正地完全接触到这些数学本质的东西。第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，探索解决问题的方法并求解或近似解，进而在实践中检验，必要时还能反思自己解决问题的全过程。
以上两个转化相辅相成，缺一不可。在以往的数学教学中，往往重视的是第二个转化，引导学生分析条件和问题间的关系，根据数量关系列式解答并检验，这是解决问题必须具备的基本能力，应予以肯定。但是，最大的缺失是忽视第一个转化，呈现的文字应用题条件一个不多也不少，与问题完全匹配，根本不需要学生自己去收集信息，去发现问题和提出问题，换句话说，第一个转化完

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