课程编号：
课程名称：最优控制
英文名称：Optimal Control
适应专业：自动化、测控、电气工程
执 笔 人：韩华
实验教材（指导书）：自编
一、学时与学分
总学时：32 总学分：2 实验学时：4 实验学分：
二、实验课的任务、性质与目的
最优控制是现代控制理论的一个重要分支，它已广泛应用于空间技术、系统工程、人口理论、经济管理与决策及工业过程控制等各个领域并取得了显著的成果。本课程作为自动化专业的专业选修课程。其主要任务是通过学习，使学生了解现代控制理论的重要分支学科--最优控制的基本理论与方法，即变分学、极大值原理与动态规划的基本原理，以及最优控制在最短时间问题、线性二次型的典型的调节问题（状态调节器和输出调节器问题）和跟踪问题等的方面的应用。通过实验教学，可使抽象的数学推导和优化过程与实际的被控过程或对象的优化联系起来，以加深对理论知识的理解的同时，为将来解决理论研究和实际应用问题打下坚实基础。
通过课程中的实验，使学生掌握LQ最优控制现代控制理论的计算机仿真方法，进一步研究各种参数及因素对系统的性能的影响，掌握MATLAB。实验对学生的基本要求是：①学会控制系统仿真，会编写控制程序；②能够深入理解现代控制理论中的各种概念、思想和方法；③会用MATLAB进行现代控制方法的设计。
三、基本原理
最优控制的实验分析和求解具体且典型的优化问题，首先，通过对呈现Bang-Bang控制规律的典型最优控制问题如最短时间或最少燃料问题的实验更好的理解和掌握极值原理的方法和适应范围；其次通过对含有多个节点的最短路径问题的实验掌握动态规划寻找最优控制律的方法和原理及其要求和适应范围等。因为极值原理是传统变分法的发展，极值原理也能求解传统变分法所能解决的最优控制问题，而动态规划和经典变分法之间存在一定条件下的等价关系，所以实验中未涉及有关运用经典变分法求解最优控制问题的实验。
具体包括以下基本理论：
1）极值原理
2）应用极值原理求解最短时间和最少燃料控制问题。
3）有广泛工业背景的线性二次型最优控制问题。
包括：线性连续系统有限时间LQR问题；无限时间LQR问题；输出调节器问题和跟踪器问题。
4）动态规划。
5）用动态规划求解离散和连续系统的最优控制问题。
四、实验方式与基本要求
(一)实验方式
1. 一人一台计算机单独完成实验。
2. 每次实验前由指导老师演示和讲解实验的基本要求，完成的任务操作要领及注意事项。
3. 为使学生有充足的时间进行实验和分析思考，每次都要求在课外完成实验准备工作，完成了才能开始实验。
(二) 基本要求
1．熟练掌握极值原理求解最短间问题的过程和方法。
2．熟练掌握极值原理求解线性二次型问题过程和方法，重点掌握有限时间调节问题。
3．通过实验熟练掌握极值原理、方法、应用对象范围和典型的最优控制律。
4. 熟练掌握动态规划求解最短间问题的原理、过程和方法。
5. 熟练掌握动态规划求解离散系统的最优控制序列的原理、过程和方法。
6．通过实验熟练掌握动态规划的原理和方法。
（三）设备及器材配置
1. PC计算机1台（要求P4-1.8G以上）。
2. MATLAB 6.X软件一套。
（四）实验教材
《最优控制实验指导书》
五、实验项目的设置与内容提要
六、考核方式与评分办法
1. 每次做实验前对课前准备工作（如书面设计报告、准备程序清单等）进行检查并登记评分。
2.实验过程由指导老师监督，每次任务完成后由指导老师逐个的检查实验内容、结果并评分，不符合要求的重做。
3.每个实验完成后交一份的本次实验报告，即包括实验内容、原理、方法、结果和结论与分析，并评分。
4.根据各次实验情况和报告完成质量综合评分。
5.实验分占本课程考核综合测评的20%。
《最优控制》实验指导书
韩华 主编
中南大学信息科学与工程学院自动化系
二零一一年二月
前言
最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控制，就是在一定的条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值。最优控制系统的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指标为最小。
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间形式给出的线性系统，其目标函数是对象状态和控制输入的二次型函数。二次型问题是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质。
通过实验对相关技术加深认识，切实加强学生的实践能力，是教学中一个重要的环节。以下就如何选择实验环境，制定实验计划，组织实验教学和检查效果等问题，提出了一套实验方案。
实验一 无限时间状态调节器问题的最优控制MATLAB仿真
1.实验目的
上机实验的主要目标如下：
（1） 通过上机操作，加深最优控制理论知识的理解。
（2） 学习并掌握连续线性二次型最优控制的MATLAB实现。
（3） 通过上机实验，提高动手能力，提高分析和解决问题的能力。
2.实验环境
每人一台PC机和一套MATLAB6.X软件。
3.实验知识准备
1) 连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为 :
要寻求控制向量
使得二次型目标函数
为最小。式中 ,Q 为半正定实对称常数矩阵 ,R 为正定实对称常数矩阵 ,Q 、 R 分别为
和
的加权矩阵。根据极值原理 ,我们可以导出最优控制律 :
,式中 K 为最优反馈增益矩阵； P 为常值正定矩阵 , 必须满足黎卡提 (Riccati) 代数方程
。因此 , 系统设计归结于求解黎卡提 (Riccati) 方程的问题 ,并求出反馈增益矩阵K 。
2) 连续系统二次型最优控制的 MATLAB 函数
在 MATLAB 工具箱中 , 提供了求解连续系统二次型最优控制的函数 :lqr() 、lqr2() 与lqry() 。
其调用格式为 :
[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)
[K,Sl=lqr2(A,B,Q,R,N)
[K,S,E]=lqy(sys,Q,R,N)
针对二次型目标函数
其中 ,A 为系统的状态矩阵；B 为系统的输出矩阵 :Q 为给定的半正定实对称常数矩阵；R 为给定的正定实对称常数矩阵；N 代表更一般化性能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K 为最优反馈增益矩阵;S 为对应 Riccati 方程的惟一正定解 P( 若矩阵 A-BK 是稳定矩阵,则总有正定解P存在 );E 为矩阵 A-BK 的特征值。其中，lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
。此外，上述问题要求有解，必须满足三个条件：
（1）word/media/image11_1.png是稳定的；
（2）且
;
(3)在虚轴上没有不可观测的模式。
当上述条件不满足时，则二次型最优控制无解，函数会显示警告信号。
4.实验内容
连续系统线性二次型最优控制的MATLAB 实现，操作和解题训练实验系统。实验系统如下：
（1）
（2）
5.实验任务
(1) 就实验实例，求出最优控制率，并用MATLAB编写好相应的仿真实验程序。
(2) 改变性能函数中的各项的权系数值，分析其对系统性能的影响。
(3) 在不同的权值下绘制系统的阶跃响应曲线，并根据曲线定性分析仿真结果。
(4) 分析仿真对象的仿真结果。
6.建议的实验步骤：
（1） 给出不同的权值，对实验系统进行求解，求出在不同权值下的最优轨线；
（2） 编写实验系统仿真程序；
（3） 从仿真结果中分析权系数的改变对系统性能的影响；
（4） 分析性能指标中各项的作用和相互关系；
（5） 结论性综合分析；
实验二 无限时间跟踪问题的最优控制MATLAB仿真
1.实验目的
上机实验的主要目标如下：
(1) 通过上机操作，加深最优控制理论知识的理解。
(2) 学习并掌握连续线性二次型最优控制的MATLAB实现。
(3) 通过上机实验，提高动手能力，提高分析和解决问题的能力。
2.实验环境
一台PC机和一套MATLAB6.X软件。
3.实验知识准备
1）复习无限时间跟踪问题的最优控制原理
（1）假设完全可控系统的状态方程为 ：
(2.1)
要寻求控制向量使得以下二次型目标函数最小。
(2.2)
式中 ,Q 为半正定实对称常数矩阵；R 为正定实对称常数矩阵 ;Q 、 R 分别为和
的加 权矩阵。其中Yr(t)是被跟踪的变量，U(t)不受约束。要求确定最优控制U*(t)，使性能指标（2.2）达到最小值。这个问题的实质是，用不大的控制能量，使系统输出变量Y(t)跟踪Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。若系统（A，B，C）是完全可控和可观测的。则最优控制为：
(2.3)
其中和
分别是代数方程（2.4）和（2.5）的解。
(2.4)
（2.5）
（2）相关的MATLAB函数
参考实验一。
4.实验内容
训练连续系统线性二次型最优控制的MATLAB 实现，操作和解题训练。实验系统如下：
性能指标为：
5.实验任务
(1) 求出最优控制率，并用MATLAB编写好相应的仿真实验程序。
(2) 实验设备和实验环境。
(3) 在不同的权值下绘制系统的阶跃响应曲线，并根据曲线定性分析仿真结果。
(4)分析仿真对象的仿真结果。
6.建议的实验步骤：
（1） 给出不同的权值，对实验系统进行求解，求出在不同权值下的最优轨线；
（2） 编写实验系统仿真程序；
（3） 从仿真结果中分析权系数的改变对系统性能的影响；
（4） 分析性能指标中各项的作用和相互关系；
（5） 结论；
7.实验报告要求格式：
1、实验目的：
2、实验时间：
3、 实验步骤
4、完成的实验内容：
（1）在掌握线性二次型的最优控制原理的前提下，对各实验对象，求出其最优控制向量。
（2）完成仿真程序的编写。
（3）对不同的权值下的仿真曲线进行分析，分析性能指标中各因素的影响和联系。
（4） 针对上述写出实验报告，总结实验结果（结果中要有运行的数据和阶跃响应曲线）。
（5） 实验设备和实验环境。
（6） 遇到的困难、存在的问题、心得等。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1c5fc6a6443610661ed9ad51f01dc281e43a5654.html
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