冲刺中考数学高分预测题——基本图形性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能
应掌握好：
、线段的两种变换性质；
、线段中点的三项功能。
、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）
例1 如图，是任意三角形，请画出
和
具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的
看作是由
变换而来的，那么这个变换使线段变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（）
（）
解：如图（）（其中直线是所在的直线，点
为点关于直线
的对称点；直线
是线段的垂直平分线，点
为点关于直线
的对称点；点是线段的中点，点
和点关于点为对称。
都和
全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
、线段中点的三项功能
（）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例 如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，，交延长线于点。
若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，，，知四边形已是平行四边形，其次，
由四边形是菱形，而点是的中点，即是中边上的中线，且
，立刻知道，即四边形是矩形。
解：（略）
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出
从，导出。
（）构造三角形的中位线
例 如图（），已知，是的中线，是上一点，连结并延长交于点。
（）若是的中点，则；
（）若：
；
（）若：，则
；（）
【观察与思考】（）如图（），作，交于点，为的中位线，得，
为
的中位线，得。可知
。
（）如图（），作，交于点，易知，∽
,
得。又为
的中位线，得，
（）
（）类比于（）和（），应有
（其实可有与（）类似的推演过程）
【说明】本题解决的关键就在于构造出的中位线。
（）构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造”（）
（特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。
例 已知，如图是的边延长线上一点，有，是边上一点，且
求证：
【观察与思考】以及其中点为基础，构造“中心对称型”三等三角形。
解法提示：如下面图（），（），（）。
（）（）
（）
方法一：如图（），延长到，使，连结，有，，得
方法二：如图（），分别作交的延长线于，
垂足为，则有
得，，进而推得
，得
方法三：如图（）延长到，使得，则得
再由，得
。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。
例 操作： 如图，点为线段的中点，直线与线段相交于点，利用图（）画出一对以点为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
（）（）
探究：如图（），在四边形中，，为边的中点，
与的延长线相交于点，试探究线段与，之间的等量关系，并证明你的结论。
【观察与思考】对于图（），只要在直线上点的两侧分别取点，使，就有（图略）对于图（），延长到，使，连结，如图（`）。由“操作”的结论可知
，
得，即，而，可知点在上，而由
，得。这样就有
解：（略）
（`）
由以上题目的解法研究看出：
凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能
角平分线主要功能有：
、以角平分线的对称性质作轴对称构造；
、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。
、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形
角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例 如图，在
中，
，，分别为
的平分线，求证：
【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在上作出关于的
的对称图形（如图（）），进而希望有和也关于对称，这就引导我们
获取了如下的证法。
证明：取上的点，使，连结。
在中，，公用，
（）
又因为
（）
在中公用。
。
【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例 如图，已知点（，）是
轴上一个定点，点是
轴上一个动点，以为边，在
外部作
过点作
交于点，设点的坐标为（
），当点在
轴上运动时，求
关于
的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看，为此作
轴
于点（如图（）），当点在的正半轴上时，
现
考虑与之间的函数关系式。
再由为
的平
分线，沿着它是对称轴思考：若作的延长线交
轴于
，由
可知
和关于对称，即为
的中
点，再结合
轴
，
轴，则
关于点为中心对称，得
，
。再由
的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作轴于点，延长，交
轴于点
，则
的平分线，且
，得
。（）
在中，
。
在（同为
的余角）。
∽
得
，
。
容易知道，这个关系在和
取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形
我们知道，若是的平分线，则与平行，与平行，与平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
情形一，与平行的直线和，所在的直线相交如图（）和（）：
（）和，交出等腰三角形，（）和，的反向延长线交出等腰三角形，
其中。（） 其中。（
）
情形二，与平行的直线和，所在的直线相交如图（）和（）
（）和的反向延长线及交出等腰三角形 （）和的反向延长线及交出等腰三角形
，其中，（） ，其中。（
）
情形三，与平行的直线和，所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。
由此可知：
①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。
②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。
角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；
例 如图（），在平行四边形中，线段，分别平分
，交于点，，线段，相交于点。
（）试说明：；
（）判断线段与的大小关系，并予以说明。
【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。
解：（）
。
（）有结论：，理由如下：
在中，
。
同理有。
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：
Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。
三、等腰三角形的变换性质
等腰三角形具有这样的变换性质
、等腰三角形是轴对称图形；
、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。
、等腰三角形的轴对称图形
等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（）
凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法。
（）
（）
例 如图（），中，，过作，角平分线，相交于点，它们的延长线分别与交于点，，试在图中找出对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
【观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形。
解：全等的三角形有：
以证为例：
在中，公用，
，
。
在中，
，
，
。
【说明】三角形全等本来只是图形“形状和大小”的问题，现在，在等腰三角形这一特殊（轴对称）背景下，可以借助于“位置的对称”来寻找和认识它们，这就为我们研究和利用它们提供了一个新的视角，新的途径，无疑是非常有帮助的。
例 如图（），
中，，是中线，是上一点，过作，连结并延长，交于点，交于点。
求证：
（）（`）
【观察与思考】若作关于的对称线段，则，而易知∽
，可使问题获解。
证明：连结（如图（`））
在中，公用，，
，
。
在
∽
，
。
【说明】可以看出，当问题的基本背景为等腰三角形时，以该三角形的对称轴去探索问题的解决途径，常常是很有效的。
、等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图，在等腰三角形中，若顶角，则显然有：
腰与腰重合，反之有
腰与腰重合。
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合性”，等腰三角形的这一特征，也是解决某结与等腰三角形相关问题的向导。
例 如图（），是等边三角形，
是顶角
的等腰三角形，以为顶点作
°的角，它的两边分别与，交于点和，连结。
（）探究：之间的关系，并加以证明；
（）若点，分别在射线，上，其他条件不变，再探究线段，，之间的关系，在图（）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
（）
（）
【观察与思考】对于（），这时在中，有
为了把，，集中到一个三角形中去，
作： （如图（`），从而有，而此时恰又有
，
得。
（`）
（`）
对于（），此时的图形（`），仍作（）中的的旋转，类似地可以推得—
解：（）关系为。
证明：延长到，使，连结，如图（`）
。同理也有
。
在，。
。
在中，公用，，
。
。
（）此时，图形如图（`），有关系式：—。理由如下：
在上截取，连结，如图（`）。
与（）中情况类似，可推得
仍与（）中情况类似，可推得。
【说明】由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形
（线段、角）的“转移”，从而使问题解决。
当题目背景为等腰三角形时，应注意充分运用其“轴对称性”和“两腰的旋转重合性”。
四、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙。
等边三角形具有如下的变换性质
、它是轴对称图形（有三条对称轴）；
、它是绕中心的的旋转对称图形；
、它的两邻边具有°旋转重合性；
、等边三角形的“的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转角（
）后与它本身重合，就称这个图形为“
角的旋转对称图形”。比如说，平行四边形就是“°的旋转对称图形”（“°的旋转对称图形”也称“中心对称图形”）。
可以知道，任意的等边三角形，以它的中心
（三条中线的交点，也即中心、内心、垂心、外心）为中心旋转
，就与自身重合，所以，“等边三角形是
的旋转对称图形。”如图
重合于等边三角形，等边三角形的这一变换性质，可以帮助
我们更好地发现与找到许多问题的解决方法。
例 如图（），扇形的圆心角为°，等边三角形的中心恰好为扇形
的圆心
，且点在扇形
内
（）请连结，，并证明；
（）求证：与扇形重叠部分的面积等于
面积的
。
（）
【 观察与思考】注意到点为等边三角形的中心，而恰为°，即
重合于。因此，
重合于
。
（）由（）的结论可推得。
【证明】（）连结，（如图（`）。
点是等边
的中心，
。
又知。
。
（）
【说明】由本题的结论及其推导过程可以进一步概括出：在等边三角形中，
①任意顶点在的中心的°的角的两边，截下的
的部分的面积，都等于
面积的
。
②任意以的中心为端点的射线（如上图中的），以为中心旋转°以后（如上图中的），与
的边交出的对应线段有着同样的旋转对称关系，当然也就相等（如上图中，，）。
例 如图，已知，点是边长为的等边三角形的内心，点，分别在边，上，且满足
。求
的周长。
【观察与思考】的三边的长不可能通过分别计算求得，因此，第一个想法
就是把它的三条边等长转化到同一条直线上，利用等边三角形°的旋转对称性，
先把转化到上，为此，如图（`），连结（注意到点就是
的中心）（）
作变换：
重合到。
当然就有。在这种情况下，又诱发我们看到
，
即有，这时就可以看出，的周长应当等于
的一条边长。（`）
解：如图（`），连结，，并在上截取，连结，
在中，
（因为为
的内心）
在中，公用，，
，而
的周长
【说明】正是等边三角形的°的旋转对称性，启发了整个的解题思路和辅助线的作法。
、等边三角形“两邻边的°旋转重合性。
因为等边三角形的每个角都是°，且三边相等，所以，以其一个顶点（如图的）为中心，将过该顶点的一条边（如）沿适当的方向旋转°（如这里逆时针旋转°）就能与顶点的另一条边（如）重合。
等边三角形的这一性质，我们可称之为等边三角形“两邻边的°旋转重合性”。
这一性质，在不少与等边三角形相关的题目中，也有关着很重要的作用。
例 如图，已知和相交于点，且
均为等边三角形，
以平行四边形，连结，和。
求证：
也是等边三角形
【观察与思考】借助于等边三角形“两邻边的°旋转重合性”，容易发现：
Ⅰ、重合于；
Ⅱ、重合于。
由以上旋转重合中任选一个，都不难使本题获解。
证明方法一：在中，
，
。
又
是等边三角形。
方法二：通过证和
全等，请同学们自己完成。
【说明】由上例进一步看出，熟悉并善于运用等边三角形“两邻边的°旋转重合性”，能更快速、更准确地发现与等边三角形相关问题中的全等关系，进而解决许多有关的问题。
以等边三角形为背景的题目，绝大部分是依以上三种变换性质展开或衍生的。因此，依这三种变换性质去寻找解法，既是正路，也是捷径。
五、等腰直角三角形的变换性质
从变换的视角来看，等腰直角三角形有如下的三种特征：
特征一：它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）；
特征二：它是以斜边上的中点为中心的°旋转重合图形（意义见下文）；
特征三：它的两条直角边关于直角顶点具有°的旋转重合性。
特征一的应用亦如一般的等腰三角形一样，而与等腰直角三角形相关的问题，更多的却是由其特征二和特征三所引发的，相应地，这些问题的解决也便多以特征二和特征三为思考的依据及落实的线索，以下举例来说明。
、等腰直角三角形“以斜边中点为中心的°旋转重合性”。
我们知道，在等腰直角三角形中，若是斜边的中线（或高线，或顶角的平分线）——即为斜边的中点，那么，将
绕点顺时针旋转°，则它与
重合（点重合于点处，点重合于点处）。如图所示，同样地，将
绕点逆时针旋转°，则它与
重合（点重合于点处，点处重合于点处）。
等腰直角三角形以上的性质，我们称之为“等腰直角三角形以斜边中点为中
心的°旋转重合性”（以下简称“°旋转重合性”）。这一性质可以说是
等腰直角三角形最为本质的特征，因此有着极为广泛的应用。
例 在中，，
，将一块直角三角板的顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线，于，两点，图（），（），（）是旋转三角板得的图形中的三种情况。
探究并证明：线段和之间有什么数量关系？写出结论并证明。
（）（）
（）
【观察与思考】根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“°旋转重合性”。为此，在三种情
况的图形中均连结，如下面各图：
（`）
（`）（`）
在图（），图（），图（）中均有：
重合于，从而
，得，即种情况有统一的结论
和统一的证法。
解：在种情况中，均有结论，。证明如下：
在图（），图（），图（）中，都连结，在和
中，，
（在图（）和
图（）中，这两个角都为°，而在图（）这两个角都为°）（在图（）和图（）中这两个角同为
的余角，而图（）中，这两个角同为
的余角。
，可得。
【说明】在本题中，等腰直角三角形的“°旋转重合性”）引导我们找到如上的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍化作用。
例，如图，在中，
，直线
经过点，且
于点，
于点。
（）当直线绕点旋转到图（）的位置时，求证：；
（）当直线绕点旋转到图（）的位置时，求证：—；
（）当直线绕点旋转到图（）的位置时，试问：，，有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。
（）
（）（）
【观察与思考】首先想到借助等腰直角三角形的“°旋转重合性”来探究：
在图（），图（），图（）中，都取斜边的中点如下面的图（`），图（`），图（`）则容易看到：
（`）（`）（`）
在这三个图中均有：
重合于，即
，由此推得：
，。据此不仅立刻得到图（）和图（）情况的结论，并且也使我们很快看到在图（）的情况应当有—。
解：在图（），图（）和图（）中，同时考查和
（同为
的余角）。
。
（）在图（）的情况下，；
（）在图（）的情况下，——；
（）在图（）的情况下，结论为—，理由是：此时——
【说明】由于我们从等腰直角三角形的“°旋转重合性”这一特征出发，就抓住了图（），图（）和图（）各种情况的本质（和
关于点成°旋转重合），因此，三种情况下不同的结论只是共同性质的不同反映而已，可见，最为优化的解法
是由最恰当地运用最为本质的性质而得到的。
、等腰直角三角形两直角边以直角顶点为中心的°旋转重合性
如图，等腰直角三角形中，，是直角边，显然有
有重合于，当然亦有绕点顺时针旋转°则与重合。
我们将等腰直角三角形的这一性质简称为“两直角边°旋转重合性”。等腰直角三角形的这一特征也有着广泛的应用。
例 如图，在中，已知
，为上的两点，且
。
求证：
【观察与思考】由要证的结论立刻想到应将，，三条线段转化成同一个直角三角形的三条边（且与相等的边斜边）。
若作重合于，如图（），连结
，（）
这时易知中
。
证明：在
的外侧作
截取
连结
如图（`）。
在和
中，，
，
′，（`）
′
′
又在
和
′中，公用，′。
′
′
在中，有
即
【说明】这里就是恰当地运用了等腰直角三角形两直角边关于直角顶角的°旋转重合性。成功地实现了对线段，的“转移”，将原本在一条直线的三条线段转化成了同一个直角三角形的三条边。
、等腰直角三角形的轴对称性
等 腰直角三角形的轴对称图形（斜边上的中线所在的直线为其对称轴），有的题目的解决，
需要借此作“轴对称构造”。
例 如图，在中，
是
内一点，
且（）
求证：。
【观察与思考】由，启发我们利用等腰直角三角形的轴对称性，作
，且取，如图（`），易知
而
为等边三角形。从中推得
进而可有
，得。
证明：在内作
，且取，连结，，如图（`），这时
为等边三角形。
在
和
中，，，
在和
中，公用，。
（`）
【说明】 在本题，尽管没有画出对称轴，但并不妨碍我们利用“等腰直角三角形的轴对称性”去思考问题，这恰恰说明了“变换性质”做为观察和研究图形的一个“视角”，一种“思想意识”，是多么有力有效。
通过以上几例可以看出，等 腰直角三角形的三大特征：“绕斜边中点°旋转重合性”、“两直角边的°旋转重合性”、“轴对称性”，是认识等腰直角三角形和解决与之相关问题的重要基础和有力武器。
六、平行四边形的变换性质
从变换的视角来看，平行四边形的基本特征反映在如下的两个方面：
特征Ⅰ：平行四边形是“中心对称图形”，两条对角线的交点就是它的对称中心；
特征Ⅱ：平行四边形的两组对边，分别具有“平移重合”的关系。
与平行四边形有关的的问题，大都可以沿着如上的两个特征去观察、研究，并获得解决。
、平行四边的“中心对称性”和其应用
如图，若是平行四边形对角线的交点，那么平行四边形重合于平行四边形。
在上述的°旋转变换中，不仅有,,,,
还有关于点所有中心对称的元素都是相互重合的。
平行四边形的这一特征，有着极为广泛的应用。
例 如图 ，四边形为平行四边形，于点，
于点，在的延长线上和的延长线上分别有点和点，且。
（）请写出图中所有的全等三角形。
（）请选一个全等三角形给出证明（除外）
【观察与思考】显然，的中点为整个图形的对称中心，即有，
，
，。这样，当任取其中的三点在图中构成三角形时，则分别与它们中心对称的
三点也在图中构成三角形，并且这样的两个三角形是全等的，因此，图中的全等三角形有：
；
；
；
；
。
这些全等三角形的每条依据也是是关于点为中心对称的。
解：（）现在证明和
全等。
（内错角）
，得，。
。
【说明】本题中不仅全等三角形是中心对称的，而且应按中心对称去寻找相等的对应元素。
例 如图，在平行四边形中，两条对角线相交 于点，点，，，分别是，，，的中点，以图中的任意四点（即点，，，，，，，，中的任意四点）为顶点画出两种不同的平行四边形，并说明理由。
第二种：
第一种：
【观察与思考】当然，用试着画的方法，不难解答本题，但如果按平行四边形的中心对称性来思考，则可有序地得到全部可能的答案。，，，，，，，这八个点关于点有如下的对称关系：
，，，共四对。从这四对中任意取出两对，
（共四个点），当它们不在同一条直线时，则必构成平行四边形，这就是：
平行四边形（已知），平行四边形，平行四边形，平行四边形。
【说明】这样依变换性质指导下的思考既有秩序又全面。
、平行四边形的对边平行关系的应用
平行四边形的对边平行且相等（即可经过平移后重合），其作用常体现在以下两个方面：
Ⅰ、构造相似三角形；
Ⅱ、进行等积变换。
（）平行四边形基础上的相似三角形
例 如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与，以及的延长线相交于点，，，若，，则的长是 。
【观察与思考】在图中，由，可得∽
，从中推得
①
而由，易知∽
，从中推得
②。
由①和②得
而
解：。
（）平行四边形基础上的面积问题
例 已知如图，平行四边形中，，点为线段上的一点（端点，除外），连结，，连结，并延长交的延长线于点，连结。
（）当为的中点时，求证与
和面积相等；
（）当为上任意一点时，与
的面积还相等吗？说明理由。
【观察与思考】由四边形是平行四边形，不难发现
这样一来，（）和（）的解决途径同时被发现了，其实，点为上任意一点时被证明了，当然（）的情况已包含于其中了。
解；在情况（）和情况（）中，均有。证明如下：
设为上任意一点，则有
，
（这是因为）
。
【说明】如上的解法，一是恰当地运用了“平行四边形对边平行”所带来的三角形面积的转换；二是把不易直接沟通的两个三角形的面积同时加上后，便与原平行四边形的面积巧妙地联系起来了。
七、正方形变换性质
从变换的角度来看，正方形的本质特征可以反映在以下三个方面；
特征Ⅰ、正方形是以其中心（即对角线的交点）为中心的“°旋转对称”图形；
特征Ⅱ、正方形的邻边以其公共顶点为中心“°旋转重合”；
特征Ⅲ、正方形是轴对称图形，对边中点连线和两条对角线，都是它的对称轴。
与正方形有关的许多问题，正是要以这些特征为解决的依据和思考的线索。
、正方形的“°旋转对称性”及其应用
如图，正方形的对角线交于点，若以为中心，按顺时针（或逆时针）旋转°，则
，， ， 。即旋转后的图形与原正方形重合，这就是正方形的“°旋转对称性”。
这一性质是正方形本质特征的最为典型的表现，因此有着极广的应用。
例 如图，在正方形中，是对角线，，的交点，过点作
，
，分别交边，于点和，若，。
（）求的长；
（）求的面积
【观察与思考】（）根据正方形的“°旋转对称性”，易知在本题中有：重合于，在
中，可求出的长。
（）由正方形的“°旋转对称性”，可知：
。
解：（）在和
中，
（同为
的余角）
在
（）
【说明】对于正方形的“°旋转对称性”的认识，不仅帮我们顺利地发现了问题的解决思路，并借助“°旋转对称性”，规则地找到了全等三角形的对应元素。另外，在求的面积时更是借助正方形的“°旋转对称性”巧妙而有效地沟通了该面积与正方形的面积及
面积的关系，使问题快速得解。
例 如图（），四边形是正方形，直线，分别经过，，三点，且
，若
与
的距离为
的距离为
则正方形的面积等于 。
（`）
【观察与思考】关键是要把正方形的边长和两个距离沟通起
来。
若作点，作
点，则
（如图（`）），这时容易看到：
可知，在中，由
可推得
解：填
【说明】在本题的解法思考中，正方形的“°旋转对称性”发挥着关键的引导作用。
、正方形邻边的“°旋转重合性”及其应用
如图，正方形中，若以顶点为中心，将边逆时针旋转°，则与边重合，这一性质可简称为正方形邻边“°旋转重合性”，这一性质在一些关于正方形题目有着很好的作用。
例 在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为（，）。
将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上。
（）如图（），当三角形纸片的直角顶点与点重合，一条直线边落在直线上时，这个三角形纸片与正方形
重叠部分（即阴影部分）的面积为 。
（）若三角形纸片的直角顶点不与点，重合，且两条
直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形
重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角
形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时（）
的图形。
【观察与思考】对于（），易知对于（），容易想到符合条件的两种情况，图（）和 （），其中均有
，这时，阴影正方形的边长为
。
（）
（）
再根据正方形邻边的“°旋转重合性”，图（）和图（）可分别（等积地）演变成一般情况如图（）和
图（）。
解：（）；
（）直角顶点的坐标为或
此时的图形如图（`）和图（`）
（`）
（`）
【说明】正是对正方形邻的“°旋转重合性”的深刻认识，使本题的解决顺畅而简捷
、正方形轴对称性及其应用
我们知道，正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，正方形的这一性质，也在许多题目中起着很好的作用。
例 如图，已知是正方形对角线上一点，
，分别是垂足。
求证：。
（`）
（）
【观察与思考】注意到是正方形的一条对称轴，点和关于该对称轴对称，立刻有如下的解。
解：如图（`）连结。
根据已知条件四边形是矩形，得。
而在中，
公用，
，
，有，进而有
以正方形为背景的题目：大都是沿正方形如上的三种变换性质生成的，其相应的解法从三种变换性质入手，再合适不过，恰当不过！
练习题
、如图，在
中，
于，为的中点，
，则的长为 。
（）（）
（）
、如图，在中，
，，分别是，的中点，延长到点，使
连结，。
（）求证：与互相平分； （）若，求的长。
、如图，在中，
，为斜边的中点，为上任意一点（ 不与，重合），
于，交于点。
求证：
中，
，，分别是
的平分线，，相交于点。请你判断和之间的数量关系。并说明理由。
、已知：如图，平行四边形中，的
平分线交于，交的延长线于。
求证：
、如图，为等边三角形内一点，为
外部一点，满足：
。求
的度数。
、如图，为等边三角形的边上一点，以为边作等边三角形，连结。
探究：和有怎样的位置关系？并说明理由。
、如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，以为直角顶点的两边分别与边，，交于点
，，当绕顶点旋转时（点不与，重合），
也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。
、如图，在等腰直角三角形中，
，为的中点，
垂足为，过点作交的延长线于点，连结交于。
（）求证：；
（）连结，试判断的形状，并说明理由。
、如图，
中，
，，为中线。现将一直角三角板顶点放在点上并绕点旋转，若三角板的两直角边分别交，的延长线于点，。
（）试写出图中除，外其他所有相等的线段。
（）请你选一组你写出的相等线段给予证明。
、是等腰直角
内一点，是斜边，如果将
绕点按逆时针方向旋转到
的位置，则
的度数是 。
、已知，如图，在平行四边形中，，对角线，交于点，将
直线绕点顺时针旋转，分别交，于点，。
（）证明：当旋转角为°时，四边形是平行四边形。
（）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时
绕点顺时针旋转的度数 。
、如图，在平行四边形中，为边上一点，且。
求证：（）；
（）若平分的度数。
、已知，如图（），在平行四边形中，为对角线的中点，过的直线交直线于点，交直线于点，过的一条直线交直线于点，交于点，连结，。
（）试证明与
全等；
（）若点为直线上任意一点，其他条件不变，则与
又有怎样的关系？试就点在图（）的位置，画出图形，证明你的猜想。
（）
（）
、如图，已知正方形的对角线和相交于，点，分别在，上，且。
探究：线段和之间的数量关系，写出结论并给出证明。
、如图，在四个动点，，，，分别从正方形的四个顶点出发，沿着，，，以同样的速度向，，，各点移动。
（）判定四边形的形状；
（）是否总是经过某一个定点，并说明理由；
（）四边形 的顶点位于何处时，其面积最大，最小？各是多少？
、已知，在
的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与重合，它的两条直角边分别与，（或它们的反向延长线）相交于点，。
当三角板绕点旋转到与垂直时（如图（），易证：。
（）
（）
（）
当三角形绕点旋转到与不垂直时，在如图（），图（）这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，之间又怎样的数量关系？写出你的猜想，并写出理由。
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