[人教版]2017年秋九上数学：第23章《旋转》全章教案

第二十三章　旋转

23．1　图形的旋转

1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．

2．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．

3．旋转的基本性质．

重点

旋转及对应点的有关概念及其应用．

难点

旋转的基本性质．

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下面各题．

1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．

2．如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′.

3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？

(口述)老师点评并总结：

(1)平移的有关概念及性质．

(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质．

(3)什么叫轴对称图形？

二、探索新知

我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．

1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋转围绕什么点呢？从现在到下课时针转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心．从现在到下课时针转了________度，分针转了________度，秒针转了________度．

2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？(老师点评略)

3．第1，2两题有什么共同特点呢？

共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．

像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．

下面我们来运用这些概念来解决一些问题．

例1　如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？

(2)经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？

解：(1)旋转中心是O，∠AOE，∠BOF等都是旋转角．

(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．

自主探究：

请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．

(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)

1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？

2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？

3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？

老师点评：1.OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心的距离相等．

2．∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．

3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．

综合以上的实验操作得出：

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前、后的图形全等．

例2　如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．

分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置，如图所示．

解：(1)连接CD；

(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；

(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；

(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．

三、课堂小结

(学生总结，老师点评)

本节课应掌握：

1．对应点到旋转中心的距离相等；

2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．

四、作业布置

教材第62～63页　习题4，5，6.

23．2　中心对称

23．2.1　中心对称

1．正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点．

2．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．

重点

中心对称的概念及性质．

难点

中心对称性质的推导及理解．

复习引入

问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问题：

1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？

2．各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？

老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°后都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．

像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

探索新知

(老师)在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形：

(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；

(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形．

第一步，画出△ABC.

第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图(1)和图(2)所示．

从图(1)中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；

分别连接对称点AA′，BB′，CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．

下面，我们就以图(2)为例来证明这两个结论．

证明：(1)在△ABC和△A′B′C′中，OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′，∴AB＝A′B′，同理可证：AC＝A′C′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′；

(2)点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．

同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的中点．

因此，我们就得到

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

2．关于中心对称的两个图形是全等图形．

例题精讲

例1　如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．

分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO，BO，CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．

解：(1)连接AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．

(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.

(3)顺次连接DE，EF，FD，则△DEF即为所求的三角形．

例2　(学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法)．

课堂小结(学生总结，老师点评)

本节课应掌握：

中心对称的两条基本性质：

1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．

作业布置

教材第66页　练习

23.2.2　中心对称图形

了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．

复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用．

重点

中心对称图形的有关概念及其它们的运用．

难点

区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．

一、复习引入

1．(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？

(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

关于中心对称的两个图形是全等图形．

2．(学生活动)作图题．

(1)作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．

(2)作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．

延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连接CD，则△COD即为所求，如图所示．

二、探索新知

从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合．

上面的(2)题，连接AD，BC，则刚才的关于中心O对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示．

∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD

∴△AOB≌△COD

∴AB＝CD

也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．

因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

(学生活动)例1　从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．

老师点评：老师边提问学生边解答的特点．

(学生活动)例2　请说出中心对称图形具有什么特点？

老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点．

例3　求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形．

分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．

证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC，BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．

三、课堂小结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1．中心对称图形的有关概念；

2．应用中心对称图形解决有关问题．

四、作业布置

教材第70页　习题8，9，10.

23.2.3　关于原点对称的点的坐标

理解点P与点P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)的运用．

复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

重点

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)及其运用．

难点

运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下面三题．

1．已知点A和直线l，如图，请画出点A关于l对称的点A′.

2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．

3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．

老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．(略)

二、探索新知

(学生活动)如图，在直角坐标系中，已知A(－3，1)，B(－4，0)，C(0，3)，D(2，2)，E(3，－3)，F(－2，－2)，作出A，B，C，D，E，F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO；

(2)在射线AO上截取OA′＝OA；

(3)过A作AD′⊥x轴于点D′，过A′作A′D″⊥x轴于点D″.

∵△AD′O与△A′D″O全等，

∴AD′＝A′D″，OA＝OA′，

∴A′(3，－1)，

同理可得B，C，D，E，F这些点关于原点的中心对称点的坐标．

(学生活动)分组讨论(每四人一组)：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？

提问几个同学口述上面的问题．

老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，

即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．

例1　如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．

分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′，B′即可．

解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此，线段AB的两个端点A(0，1)，B(3，0)关于原点的对称点分别为A′(0，－1)，B(－3，0)．

连接A′B′.

则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.

(学生活动)例2　已知△ABC，A(1，2)，B(－1，3)，C(－2，4)，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．

老师点评分析：先在直角坐标系中画出A，B，C三点并连接组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A，B，C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A′B′C′.

三、巩固练习

教材第69页　练习．

四、课堂小结

点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．

五、作业布置

教材第70页　习题3，4.

23．3　课题学习　图案设计

利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．

通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．

重点

设计图案．

难点

如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下面的各题．

1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答AB与CD有什么位置关系．

　　　　,第2题图)　　　　,第3题图)

2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴l的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？

3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关系？

老师点评：

1．AB与CD平行且相等；

2．过D点作DE⊥l，垂足为E并延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连接C′D′，则C′D′即为所求．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在l上并且CD＝C′D′.

3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D，垂足为D，并且CD＝C′D.

二、探索新知

请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计．

例1　(学生活动)学生亲自动手操作题．

按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．

(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)；

(2)把纸片任意撕成两部分(如图b，如图c)；

(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；

(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)(如图c保持不动)；

(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；

(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案．

老师必要时可以给予一定的指导．

三、课堂小结

本节课应掌握：

利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/09fe635df08583d049649b6648d7c1c709a10b44.html