2018成都七中高三数学零诊模拟试卷（附答案理科）
5 19题每小题12分，20题13分，21题14分）
16 已知函数 ．
（Ⅰ）求函数f (x)的定义域及最大值；
（Ⅱ）求使 ≥0成立的x的取值集合．
解（Ⅰ） csx≠0知 ，∈Z，
即函数f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠π，∈Z}．………………………3分
又∵
，
∴ ．……………………………………………………………8分
（II）由题意得 ≥0，即 ≤ ，
解得 ≤ ≤ ，∈Z，
整理得 ≤x≤ ，∈Z．
结合x≠π，∈Z知满足f(x)≥0的x的取值集合为
{x| ≤x≤ 且 ，∈Z}．………………………………………………12分
17 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条的志愿者中随机抽取100名按年龄分组第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率
解
(1)第3组的人数为03×100=30, 第4组的人数为02×100=20, 第5组的人数为01×100=10 …………3分
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,
每组抽取的人数分别为第3组 ×6=3; 第4组 ×6=2; 第5组 ×6=1
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人 …………6分
(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为c1则从6名志愿者中抽取2名志愿者有
(A1,A2),
(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,c1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,c1),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,c1),(B1,B2),(B1,c1),(B2,c1),共有15种 …………8分
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,c1), (B2,c1),共有9种,………10分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 …………12分
18在四棱锥 中， 平面 ， ,
(Ⅰ)求证 ；
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使 平面 ？说明理由
证明(Ⅰ)在四棱锥 中，因为 平面 ， 平面 ,
所以 因为 ， 所以
因为 , 所以 平面
因为 平面 ,所以 ………4分
(Ⅱ) 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 不妨设 ，则
则
所以 ，
设平面 的法向量
所以 即
令 ，则
所以 所以
所以 与平面 所成角的正弦值为 ………8分
所以 因为 平面 ， 所以
因为 , 所以 平面 所以 平面
即在线段 上存在点 ,使 平面
（法二）设在线段 上存在点 ,当 时， 平面
设 ，则 所以
即 所以
所以 由(Ⅱ)可知平面 的法向量
若 平面 ，则 即 解得
所以当 ，即 为 中点时， 平面 ………12分
19已知等差数列 为递增数列，且 是方程 的两根，数列 的前n项和
（1）求数列 的通项式；
（2）若 ，求数列 的前n项和
20．巳知椭圆 的长轴长为 ，且与椭圆
有相同的离心率
(I )求椭圆的方程；
(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点A、B，且 ？若存在，写出该圆的方程，并求 的取值范围，若不存在，说明理由
21（本小题满分12分）
已知函数 是奇函数， 的定义域为 ．当 时， ．这里，e为自然对数的底数．
(1)若函数 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)试判断 与 的大小关系，这里 ,并加以证明．
解x 0时， ………2分
（1）当x 0时，有
；
所以 在（0，1）上单调递增，在 上单调递减，函数 在 处取得唯一的极值．由题意 ，且 ，解得所求实数 的取值范围为 …4分
（2）当 时，
令 ，由题意， 在 上恒成立
令 ，则 ，当且仅当 时取等号．
所以 在 上单调递增， ．……6分
因此， 在 上单调递增， ．
所以 ．所求实数 的取值范围为 …………………8分
（3）(方法一)由（2），当 时，即 ，即 ．
从而 ．………10分
令 ，得
，
……
将以上不等式两端分别相加，得
………………………14分
（方法二） 时，
猜想 对一切 成立。
欲证 对一切 成立，
只需证明
而 ，
5
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/07883439ce84b9d528ea81c758f5f61fb6362852.html
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