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2020年高一下学期黑龙江鸡西市中学2.4等比数列的2个课时试题含答案-

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2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列． (11,3,32,33，…，3n-1，…； (2－1,1,2,4,8，…； (3a1，a2，a3，…，an，…. 跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是(

①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x，x2，x3，x4；④a1，a2，a3，a4. A．①② C．①②④
B．①②③ D．①②③④
－－－－命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列 例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1证明：数列{an＋1}是等比数列； (2求数列{an}的通项公式．

跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…． (1求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2求数列{an}的通项公式．

题型二 等比数列基本量的计算 例3 在等比数列{an}中．
1(1已知a2＝4，a5＝－，求an；
2
1(2已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 2

跟踪训练3 在等比数列{an}中： (1已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2已知a3＝20，a6＝160，求an.


方程的思想在等比数列中的应用
典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？

【课堂练习】
1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( A．4 B．8 C．6 D．32 2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( A．64 B．81 C．128 D．243 3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( A．607.5 B．608 C．607 D．159 4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(

A．－24 B．0 C．12 D．24 5．45和80的等比中项为________．
6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．


1．等比数列的判断或证明
an＋1(1利用定义：＝q(与n无关的常数．
an(2利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋，且数列各项均不为零．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab，而不是一个(ab，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn个量. 【巩固提升】 一、选择题
1．2＋3和2－3的等比中项是(

A．1 B．－1 C．±1 D．2 2．有下列四个说法：
①等比数列中的某一项可以为0；
②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞；
③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1； ④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列． 其中正确说法的个数为(

A．0 B．1 C．2 D．3 3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5等于( A．1 B．2 C.4 D．8 4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( A．16 B．27 C．36 D．81 5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( A．b＝3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 B．b＝－3，ac＝9 D．b＝－3，ac＝－9 －1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四6．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c，则ad等于( A．3 B．2 C．1 D．－2
8．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋，则a53的值为(
1411， 24333，，48161155A. B. C. D. 168164二、填空题
9．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________. 10．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________．
11．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 12．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 三、解答题
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

14．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1an－2an＋1＝0. (1求a2，a3； (2求{an}的通项公式．

815．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝. 27(1求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
16(2试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
81
2.4.1 答案
例1 解 (1记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3，….
n-1an3n-1∵＝＝3(n≥2，n∈N＋， an－13n-2∴数列为等比数列，且公比为3. (2记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．
(3当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a，a，a，a，…，a，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 跟踪训练1 答案
C 解析 ①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；
1234a2a1a3a2na不能为0，④符合等比数列定义，故④是．
例2 (1证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
∴an＋1＋1＝2(n∈N＋． an＋1∴数列{an＋1}是等比数列．
(2解 由(1知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2·2n－1＝2.即an＝2－1. nn跟踪训练2 解 (1a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15. an＋1－n＋13an－2n＋1＋3－n＋13an－3n＝＝＝3(n＝1,2,3，…．
an－nan－nan－n又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2由(1知an－n＝－2·3，∴an＝n－2·3. 例3 解 (1设等比数列的公比为q，
n-1n-1a1q＝4，则41a1q＝－.2
a1＝－8，解得1q＝－.2


1n-11n-4n-1∴an＝a1q＝(－8－＝－. 22(2设等比数列{an}的公比为q. 181∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6q，∴q＝＝. 362∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q＝18. 31n-4n-4∴a4＝16，an＝a4·q＝16·. 21n-41由16·＝，得n－4＝5，∴n＝9. 22跟踪训练3 解 (1由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2＝－96. (2设等比数列的公比为q，
a1q＝20，那么5a1q＝160，n-126-1
q＝2，解得a1＝5.n-1

所以an＝a1q＝5×2，n∈N＋. a＋d典例1 解 方法一 设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
2aa＋da－d＋＝16，a由条件得a＋a＋d＝12.2
a＝4，解得d＝4
a＝9，或d＝－6.

所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二
设这四个数依次为2aa－a，，a，aq(q≠0，
qq2aq－a＋aq＝16，由条件得aq＋a＝12，
a＝8，解得q＝2
a＝3，或1q＝.3

当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
1当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 3故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
典例2 解 设这四个数依次为，a，aq，aq(q≠0，
a·q＝2，根据题意得a＋aq＝4，4210aq2
1解得q＝－2或－，
2当q＝－2时，a＝－4，
所求四个数依次为2，－4，8，－16. 1当q＝－时，a＝8，
2所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2. 课后练习 1．答案
C 解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2，2＝32，所以n＝6.2．答案
A 解析 ∵{an}为等比数列，∴n-1n-1
a2＋a3＝q＝2. a1＋a26又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·2＝64. 3．答案
C 解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1×3， 5×243－15∴1＋2a6＝5×3，∴a6＝＝607. 24．答案
A 解析 由题意知(3x＋3＝x(6x＋6，即x＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24. 5．答案 －60或60 解析 设45和80的等比中项为G， 则G＝45×80，∴G＝±60.
6．解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q＝12， ①3a1q＝18， ②2222n-1

3②÷①，得q＝，
2
316将q＝代入①，得a1＝. 23163因此，a2＝a1q＝×＝8. 3216综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8. 3巩固提升 一、选择题 1．答案
C 解析 设2＋3和2－3的等比中项为G，则G＝(2＋3(2－3＝1，∴G＝±1. 2． 答案 B 解析 只有③正确． 3．答案
A 解析 ∵a2a12＝a1q·a1q＝a1·q＝a1·2＝16， ∴a1＝2，又an＞0，∴a1＝2， ∴a5＝a1q＝2·2＝1. 4．答案
B 解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q＝9. ∴q＝3(q＝－3舍去，∴a4＋a5＝(a3＋a4q＝27. 5．答案
B 解析 ∵b＝(－1×(－9＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b＝9. 6．答案
C 解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝a1q＝q.∵am＝a1q＝q，∴m－1＝10，∴m＝11. 7．答案
B 解析 ∵y＝(x－1＋2，∴b＝1，c＝2. 又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2. 8答案
C 11115解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1×＝.又因为从第三444442510102224-442-8-4112122122m-1m-1
51行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等425125比数列，所以a53＝×＝. 42169．答案
2 解析 a3＝a1q＝3，a10＝a1q＝384，两式相除得，q＝128，所以q＝2. 10．答案
80,40,20,10 1155解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q，∴q＝，∴q＝. 322∴这4个数依次为80,40,20,10. 11．答案
1 解析 设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3＝(a1＋1(a1＋4d＋5，解得d＝－1， ∴q＝2297a3＋3a1－2＋3＝＝1. a1＋1a1＋1112．答案

228解析 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，
q∴281＋28＋28q＝98，∴q＝2或. q21又0＜q＜1，∴q＝. 213．解 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1－(2an＋1＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， 又由an＋1＝2an知an≠0，
∴an＋1＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列． ann－1∴an＝－1×2＝－2n－1. 1114． 解 (1由题意可得a2＝，a3＝. 24(2由an－(2an＋1－1an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1＝an(an＋1．
2
因为{an}的各项都为正数，所以an＋11＝. an21故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
21因此an＝n-1，n∈N＋. 215． 解 (1∵2an＝3an＋1，∴an＋12＝. an3又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，
2∴数列{an}是以为公比的等比数列．
32n-1n-1∴an＝a1·q＝a1·，
322-12∴a2＝a1·＝a1，
33a5＝a1·5-1＝a1，
32168又∵a2·a5＝a1·a1＝，
38127932∴a1＝.又∵a1<0，∴a1＝－. 422168132n-12n-2∴an＝－×＝－(n∈N＋．
233162n-2(2令an＝－＝－，
813则n－2＝4，n＝6∈N＋，
16∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．
81


2.4第2课时 等比数列的性质
题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{an}中． (1若a4＝2，a7＝8，求an；
(2若{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2＝5an＋1，求通项公式an.

跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( A．21 B．42 C．63 D．84 题型二 等比数列的性质及其应用 例2 已知{an}为等比数列．
(1若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9等于( A．38 B．39 C．9 D．7 题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( A．42 B．6 C．7 D．52 跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为( A．32 B．64 C．128 D．256

等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1用一个式子表示n(n∈N＋年后这辆车的价值．
(2如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

【课堂练习】
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( A．2 B．3 C．4 D．8 2．等比数列{an}中，若a2a6＋a24＝π，则a3a5等于( πππ4πA. B. C. D. 43233．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(
3A. B.2 C．2 D．22 24．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 5．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？

【巩固提升】 一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a2019＝8a2016，则公比q的值为( A．2 B．3 C．4 D．8 2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13＝6，则a1·a15的值为(

A．100 C．10000 B．－100 D．－10000 53．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(

2A．2 B．4 C.2 D．22 4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a8等于( A．64 B．128 C．256 D．512 5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(

11A. B．3 C．± D．±3 336．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( A．8 B．9 C．10 D．11 7．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( A．12 B．13 C．14 D．15 8．已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1，记bn＝am(n－1＋1＋am(n－1＋2＋…＋am(n－1＋m，cn＝am(n－1＋1·am(n－1＋2·…·am(n－1＋m(m，n∈N＋，则以下结论一定正确的是(

A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为qm D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm 二、填空题
9．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________. 10．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________. 11．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________. 12．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________. 三、解答题
2
13．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．

14．在等比数列{an}(n∈N＋中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1求证：数列{bn}是等差数列；
(2求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an； (3试比较an与Sn的大小．

15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2.4第2课时 等比数列的性质答案
a77-48例1 解 (1∵＝q＝，
a42即q＝4，∴q＝4， ∴ana4q233n42(410-53n42(223n4225n33(n∈N＋．
(2由a5＝a10＝a5·q54，且a5≠0，
得a5＝q，即a1q＝q， 又q≠0，∴a1＝q. 由2(an＋an＋2＝5an＋1得，2an(1＋q＝5qan， ∵an≠0，∴2(1＋q＝5q，
225
1解得q＝或q＝2. 2a1＝2，∵a1＝q，且{an}为递增数列，∴q＝2.

∴an＝2·2＝2(n∈N＋． 跟踪训练1 答案
B 解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q＋q＝21， 解得q＝－3(舍去或q＝2，于是a3＋a5＋a7＝q(a1＋a3＋a5＝2×21＝42，故选B. 例2 解 (1a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a3＋2a3a5＋a5 ＝(a3＋a5＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (2根据等比数列的性质，得
22222224n-1na5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10 ＝log39＝10. 跟踪训练2 答案
C 解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3， ∴log3(a1a2…a9＝log3a5＝log33＝9. 例3 答案
D 解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列， ∴(a4a5a6＝(a1a2a3(a7a8a9 ＝5×10，
又{an}各项均为正数， ∴a4a5a6＝52. 跟踪训练3 答案
B 299555
解析 由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且故a36＝4×2＝64. 4a18＝2， a12典例 解 (1n年后车的价值(万元依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5(1－10%，a2＝13.5(1－10%，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， ∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9万元． (2由(1得a4＝a1·q＝13.5×0.9≈8.9(万元， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 课堂练习
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( A．2B．3C．4D．8 答案
A 解析 由a5＝a2q，得q＝8，所以q＝2. 2．等比数列{an}中，若a2a6＋a4＝π，则a3a5等于(
A.πππ4πB.C.D. 4323233442n答案
C π2解析 a2a6＝a4＝a3a5，∴a3a5＝. 23．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(
3A.B.2C．2D．22 2答案
C 解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝32，则q＝2，故选C. 4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案
8 解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2. a2a4a6a8a105＝qa1a3a5a7a9
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7 ＝(a2a7·(a3a6·(a4a5 ＝(a1a8＝2＝8. 5．已知an＝2＋3，判断数列{an}是不是等比数列？ 解 不是等比数列．
∵a1＝2＋3＝5，a2＝2＋3＝13，a3＝2＋3＝35， ∴a1a3≠a2，∴数列{an}不是等比数列． 巩固提升 一、选择题
1．在等比数列{an}中，若a2019＝8a2016，则公比q的值为( A．2B．3C．4D．8 答案
A 解析 ∵a2019＝8a2016＝a2016·q，∴q＝8，∴q＝2. 2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13＝6，则a1·a15的值为( A．100 C．10000 答案
C 解析 ∵lg(a3a8a13＝lga8＝6，
∴a8＝10，∴a8＝10＝100.∴a1a15＝a8＝10000. 53．(2018·大连模拟在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(

2A．2B．4C.2D．22 答案
B 52解析 在等比数列{an}中，a2a4＝a3＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为单调递减数列，所以a2＝2，21a411a2a4＝，所以q2＝＝，所以q＝(舍负，a1＝＝4. 2a242q4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a8等于( A．64B．128C．256D．512 3622333211223333nnB．－100 D．－10000
答案
B 解析 a2＋a3＝q(a1＋a2＝3q＝6， ∴q＝2，∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3a1＝3， ∴a1＝1.∴a8＝2＝128. 5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(

11A.B．3C．±D．±3 33答案
B 解析 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0. 则a3＝a2·a6，∴(a1＋2d＝(a1＋d(a1＋5d， 化简得d＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3. 6．(2018·长春模拟公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(

A．8B．9C．10D．11 答案
C 解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10，故选C. 7．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( A．12B．13C．14D．15 答案
C 解析 设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a1q与a4a5a6＝12＝a1q，可得q＝3，an－1anan＋13331292227a3a2＝a1q33n-3＝324，因此q3n－6＝81＝3＝q，所以n＝14，故选C. 4368．已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1，记bn＝am(n－1＋1＋am(n－1＋2＋…＋am(n－1＋m，cn＝am(n－1＋1·am(n－1＋2·…·am(n－1＋m(m，n∈N＋，则以下结论一定正确的是(

mA．数列{bn}为等差数列，公差为q B．数列{bn}为等比数列，公比为q
2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm D．数列{cn}为等比数列，公比为qm 答案
C 解析 bn＝am(n－1＋1·(1＋q＋q＋…＋q，由q≠－1易知bn≠0，{bn}为等比数列，公比为q，选项A，B均错误；
m22mm-1bn＋1amn＋1m＝＝q，故数列bnamn－1＋1cn＝ammn－1＋1·q1＋2＋…＋(m-1cn＋1ammn＋1amn＋1m＝(qmm＝m2，故数列{c}为等比数列，公，＝m＝nqcnamn－1＋1amn－1＋1比为qm，D错误．故选C. 二、填空题
9．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________. 答案
18 13a5解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3. 22a4132∴a6＋a7＝(a4＋a5q＝＋×3＝18. 2222210．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________. 答案 －6 解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6. ∵a1，a3，a4成等比数列，∴a3＝a1a4， ∴(a1＋4＝(a1＋6a1， 解得a1＝－8，∴a2＝－6. 11．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________. 答案
8 解析 由等比数列的性质，得a3a11＝a7，∴a7＝4a7. ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4. 再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8. 12．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________. 2222
答案
1024 解析 设等比数列{an}的公比为q，
6a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q＝1，
①
54a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q＝8， ②
②÷①得q＝8，q＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q·a1q·a1q·a1q＝a1·q＝a1·q·q＝(a1·q(q＝2＝1024. 三、解答题
13．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值． 解 ∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，＝q＝4，此时a11＝a3q＝4×4＝64. 40414243416646160461610104816a7a3482a741128②当a3＝16，a7＝4时，＝q＝，此时a11＝a3q＝16×＝1. a34414．在等比数列{an}(n∈N＋中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1求证：数列{bn}是等差数列；
(2求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an； (3试比较an与Sn的大小． (1证明 因为bn＝log2an， 所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2an＋1＝log2q(q＞0为常数， an所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2. 又因为a1＞1， 所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
b3＝2，即b5＝0，
b1＋2d＝2，即b1＋4d＝0，
b1＝4，解得d＝－1，


因此Sn＝4n＋nn－129n－n·(－1＝. 22又因为d＝log2q＝－1，
1所以q＝，b1＝log2a1＝4，
2即a1＝16， 所以an＝25－n(n∈N＋．
5－n(3解 由(2知，an＝2当n≥9时，Sn＝2＞0，
n9－n≤0，
所以当n≥9时，an＞Sn. 1又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，
2a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，
所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an<Sn； 当n＝1,2或n≥9，n∈N＋时，an＞Sn. 15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，1418akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
解 由题意得a2＝a1a4，即(a1＋d＝a1(a1＋3d， 得d(d－a1＝0， 又d≠0，∴a1＝d. 又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
22a33d∴该数列的公比q＝＝＝3，
a1d∴akn＝a1·3. 又akn＝a1＋(kn－1d＝kna1，
∴数列{kn}的通项公式为kn＝3(n∈N＋．
n+1n+1



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