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2018年高考全国2卷理科数学带答案解析-

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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．12i 12i43B．i
5534C．i
5534D．i
5543A．i
552．已知集合A{(x,y|x2y23,xZ,yZ}，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4
exex3．函数f(x的图象大致为
2x
4．已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab A．4 B．3 C．2 D．0

x2y25．双曲线221(a0,b0的离心率为3，则其渐近线方程为
abA．y2x
B．y3x
C．y2x
2D．y3x
26．在△ABC中，cosA．42
C5，BC1，AC5，则AB
25B．30 C．29 D．25
开始N0,T0i1是1ii100否111117．为计算S1L，设计了右侧的程23499100序框图，则在空白框中应填入 A．ii1 B．ii2 C．ii3 D．ii4
NNTTSNT输出S
结束
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．1
121i1B．1
14C．1
15D．1
189．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 1A．
5B．5
6C．5
5D．2
210．若f(xcosxsinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是 A．π
4B．π
2C．3π
4D．π
11．已知f(x是定义域为(,的奇函数，满足f(1xf(1x．若f(12， 则f(1f(2f(3Lf(50

A．50 B．0 C．2 D．50
x2y212．已知F1，F2是椭圆C：221(ab0的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在ab过A且斜率为A．2
33的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为
6B．1 21C．
3D．1
4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y2ln(x1在点(0,0处的切线方程为__________．
x2y5≥0,14．若x,y满足约束条件x2y3≥0,则zxy的最大值为__________．
x5≤0,15．已知sinαcosβ1，cosαsinβ0，则sin(αβ__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7，SA与圆锥底面所成角为45°，8若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．


为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,17）建立模型①：ˆ30.413.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,7）建立模yˆ9917.5t． 型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由． 19．（12分）
设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0的直线l与C交于A，B两点，|AB|8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥PABC中，ABBC22， PAPBPCAC4，O为AC的中点．
P（1）证明：PO平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 21．（12分）
已知函数f(xexax2．
（1）若a1，证明：当x≥0时，f(x≥1； （2）若f(x在(0,只有一个零点，求a．
ABOMC
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
x2cosθ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方y4sinθ,x1tcosα,程为（t为参数）．
y2tsinα,（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x5|xa||x2|．
（1）当a1时，求不等式f(x≥0的解集； （2）若f(x≤1，求a的取值范围． 绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题 1．D 7．B

2．A 8．C

3．B 9．C

4．B
5．A
6．A 12．D
10．A 11．C
二、填空题 13．y2x 三、解答题 17．解：
14．9
15．1
216．402π

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a13d15． 由a17得d=2．
所以{an}的通项公式为an2n9．
22（2）由（1）得Snn8n(n416．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1(亿元．
y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5(亿元．
y（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地y30.413.5t上下．描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模y型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得F(1,0，l的方程为yk(x1(k0．

设A(x1,y1,B(x2,y2， 由yk(x1,2y4x得kx(2k4xk0．
22222k24． 16k160，故x1x22k24k24所以|AB||AF||BF|(x11(x21．
k24k248，解得k1（舍去）由题设知，k1．
2k因此l的方程为yx1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3，即yx5．
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0，则
y0x05,x03,x011,2解得或 (y0x012y6.y216.00(x012因此所求圆的方程为(x3(y216或(x11(y6144． 20．解：
（1）因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP23．
2222连结OB．因为ABBC且OBAC，OB2AC，所以△ABC为等腰直角三角形，
21AC2．
2222由OPOBPB知POOB．
由OPOB,OPAC知PO平面ABC．
uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．
uuur由已知得O(0,0,0,B(2,0,0,A(0,2,0,C(0,2,0,P(0,0,23,AP(0,2,23,取
uuur平面PAC的法向量OB(2,0,0．
uuur设M(a,2a,0(0a2，则AM(a,4a,0．
设平面PAM的法向量为n(x,y,z．
uuuruuur2y23z0由APn0,AMn0得，可取ax(4ay0n(3(a4,3a,a，
uuur所以cosOB,nuuur3|cosOB,n|．
2所以23(a423(a43aa222．由已知得23|a4|23(a423a2a2=34．解得a4（舍去），a． 23uuuruuur834343,,．又PC(0,2,23，所以cosPC,n所以n(． 3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
3．
4

21．解：
2x（1）当a1时，f(x1等价于(x1e10．
设函数g(x(x1e2x1，则g'(x(x22x1ex(x12ex．
当x1时，g'(x0，所以g(x在(0,单调递减． 而g(00，故当x0时，g(x0，即f(x1． （2）设函数h(x1axe．
2xf(x在(0,只有一个零点当且仅当h(x在(0,只有一个零点．
（i）当a0时，h(x0，h(x没有零点； （ii）当a0时，h'(xax(x2ex．
当x(0,2时，h'(x0；当x(2,时，h'(x0． 所以h(x在(0,2单调递减，在(2,单调递增． 故h(214a是h(x在[0,的最小值． 2e
e2①若h(20，即a，h(x在(0,没有零点；
4e2②若h(20，即a，h(x在(0,只有一个零点；
4e2③若h(20，即a，由于h(01，所以h(x在(0,2有一个零点，
4由（1）知，当x0时，exx2，所以16a316a316a31h(4a14a12a2110．
e(e(2a4a故h(x在(2,4a有一个零点，因此h(x在(0,有两个零点．
e2综上，f(x在(0,只有一个零点时，a．
422．．解：
x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为1．
416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan， 当cos0时，l的直角坐标方程为x1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(13cos2t24(2cossint80．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．
又由①得t1t24(2cossin，故2cossin0，于是直线l的斜率13cos2ktan2．
23．解：
2x4,x1,（1）当a1时，f(x2,1x2,
2x6,x2.
可得f(x0的解集为{x|2x3}． （2）f(x1等价于|xa||x2|4．
而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x1等价于|a2|4． 由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6]U[2,．

21（12分）
已知函数f(xexax2．
（1）若a1，证明：当x0时，f(x1； （2）若f(x在(0,只有一个零点，求a． 解：
（1）f(xex2x，f(xex2．
当xln2时，f(x0，当xln2时，f(x0，所以f(x在(,ln2单调递减，在(ln2,单调递增，故f(xf(ln222ln20，f(x在(,单调递增．
因为x0，所以f(xf(01．
ex（2）当x0时，设g(x2a，则f(xx2g(x，f(x在(0,只有一个零点x等价于g(x在(0,只有一个零点．
ex(x2g(x，当0x2时，当x2时，所以g(x在(0,2g(x0，g(x0，x3e2单调递减，在(2,单调递增，故g(xg(2a．
4e2若a，则g(x0，g(x在(0,没有零点．
4e2若a，则g(x0，g(x在(0,有唯一零点x2．
4ex1e2x2ex1，g(x2a21a，若a，因为g(20，由（1）知当x0时，xx4
故存在x1(0,1(0,2，使g(x10． a1e4ae4ag(4aaa 2216a16aexx2，



本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cfde6fb71b5f312b3169a45177232f60dccce775.html

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