高三期末数学试卷（文科）

高三期末数学试卷（文科）

一、选择题

1、已知i为虚数单位，若（1+i）z=2i，则复数z=（  ）

A、1﹣i

B、1+i

C、2﹣2i

D、2+2i

2、已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B=﹛5，6﹜，C=﹛（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈B﹜，则C中所含元素的个数为（  ）

A、5

B、6

C、11

D、12

3、若将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移ϕ个单位长度，可以使f（x）成为奇函数，则ϕ的最小值为（  ）

A、

B、

C、

D、

4、若等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且7S5+5S7=70，则a2+a5=（  ）

A、1

B、2

C、3

D、4

5、已知平面向量 =（2，1）， =（1，﹣1），若向量 满足（ ﹣ ）∥ ，（ + ）⊥ ，则向量 =（  ）

A、（2，1）

B、（1，2）

C、（3，0）

D、（0，3）

6、执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（  ）

A、4

B、3

C、2

D、5

7、设z=x+y，其中x，y满足 当z的最大值为6时，k的值为（  ）

A、3

B、4

C、5

D、6

8、已知样本x1 ， x2 ， …xm的平均数为 ，样本y1 ， y2 ， …yn的平均数 ，若样本x1 ， x2 ， …xm ， y1 ， y2 ， …yn的平均数 =α +（1﹣α） ，其中0＜α≤ ，则m，n的大小关系为（  ）

A、m＜n

B、m＞n

C、m≤n

D、m≥n

9、已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ）

A、

B、

C、

D、40

10、已知0为坐标原点，抛物线y2=8x，直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），满足 ，则△A0B的面积为（  ）

A、

B、

C、

D、

11、已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则 的最小值等于（  ）

A、2

B、

C、2+

D、2

12、已知函数f（x）= ，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（  ）

A、[ ，1]

B、[0，1]

C、[1，2]

D、[ ，2]

二、填空题

13、已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为________．

14、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在球O的表面上，且侧棱垂直于底面ABC，若AC=4，∠ABC=30°，AA1=6，则球O的体积为________．

15、已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a为正实数，若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．

16、数列{an}的首项为a1=1，数列{bn}为等比数列，且bn= ，若b10b11=201 ，则a21=________．

三、解答题

17、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA．

(1)求角C的大小；

(2)若sinA+sinB=2 sinAsinB，c=3，求△ABC的面积．

18、随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入不断增多，民众对旅游的需求也不断提高，安庆某社区居委会统计了2011至2015年每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计资料如表：

(1)从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭至少有1年多于20个的概率；

(2)利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程 ，并判断它们之间是正相关还是负相关；

(3)利用（2）中所求出的回归直线方程估计该社区2016年在春节期间外出旅游的家庭数．

参考公式： ， ．

19、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．

(1)求证：平面PAD⊥平面PNB；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．

20、已知椭圆C： =1（a＞b＞0），e= ，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为 ，且 =λ （其中λ＞1）．

(1)求椭圆C的标准方程； 

(2)求实数λ的值．

21、已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)若对任意的a∈（1， ），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，求实数m的取值范围．

22、已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上 上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．

(1)求证：AD延长线DF平分∠CDE；

(2)若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+ ，求△ABC外接圆的面积．

23、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程 （α为参数）

(1)已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标 ，判断点P与直线l的位置关系；

(2)设点Q为曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24、已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，

(1)当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

(2)若a＞﹣1，且当x∈[﹣a，1]时，不等式f（x）≤g（x）有解，求实数a的取值范围．

答案解析部分

一、选择题

1、【答案】B

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】解：由（1+i） z=2i，得 ，

故选：B．

【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

2、【答案】C

【考点】集合的表示法

【解析】【解答】解：集合A={0，1，2，3，4，5}，B=﹛5，6﹜，

x=0时，y=5，

x=1时，y=4，5，

x=2时，y=3，4，

x=3时，y=2，3，

x=4时，y=1，2，

x=5时，y=0，1，

则C中所含元素的个数为：11个，

故选：C．

【分析】由集合C中的元素所满足的条件，用列举法写出集合C中的所有元素，则答案可求．

3、【答案】A

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移ϕ个单位长度，

所得函数的图象对应的解析式为y=sin[2（x﹣ϕ）+ ]=sin（2x+ ﹣2ϕ），

根据y=sin（2x+ ﹣2ϕ）为奇函数，则 ﹣2ϕ=kπ，k∈Z，

故ϕ的最小值为 ，

故选：A．

【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，得出结论．

4、【答案】B

【考点】等差数列的通项公式

【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵7S5+5S7=70，

∴7 +5 =70，

化为：2a1+5d=2．

则a2+a5=2a1+5d=2．

故选：B．

【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式即可得出．

5、【答案】D

【考点】平面向量的坐标运算

【解析】【解答】解：设 =（x，y），

﹣ =（2﹣x，1﹣y），

=（3，0），

∵（ ﹣ ）∥ ，（ + ）⊥ ，

∴1﹣y+2﹣x=0，3x=0，

解得x=0，y=3．

则向量 =（0，3），

故选：D．

【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．

6、【答案】B

【考点】程序框图

【解析】【解答】解：当判断框中的条件是a≤3时，

∵第一次循环结果为b=2，a=2，

第二次循环结果为b=4，a=3，

d第三次循环结果为b=16，a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，

故选B．

【分析】结合判断框的流程，写出几次循环的结果，当判断框中的条件是3时，符和题意．

7、【答案】A

【考点】简单线性规划

【解析】【解答】解：作出可行域如图，

直线x+y=6过x﹣y=0，y=k，的交点A（k，k）时，z=x+y取最大，2k=6，∴k=3，故答案为3，

故选A．



【分析】先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值．

8、【答案】C

【考点】众数、中位数、平均数

【解析】【解答】解：由题意知，

x1+x2+…+xm=m ，y1+y2+…+yn=n ，

故 = = + ，

故0＜ ≤ ，

故m≤n，

故选：C．

【分析】易知x1+x2+…+xm=m ，y1+y2+…+yn=n ，从而可得 = + ，从而解得．

9、【答案】B

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，

其直观图如下图所示：



原三棱柱的体积V= ×4×4×4=32，

切去的三棱锥的体积V= ×（ ）×4= ，

故组合体的体积V=32﹣ = ，

故选：B

【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，进而可得答案．

10、【答案】C

【考点】抛物线的简单性质

【解析】【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），

设直线l为x=my+2，代入抛物线方程可得y2﹣8my﹣16=0，

设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），

则y1+y2=8m，y1y2=﹣16，

由 ，可得y1=﹣3y2 ，

由代入法，可得m2= ，

又△AOB的面积为S= |OF|•|y1﹣y2|= 2× = ．

故选C

【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+2，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

11、【答案】A

【考点】对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】解：∵f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），

则lga=﹣lgb，则a= ，即ab=1（a＞b＞0）

= =（a﹣b）+ ≥2

故 的最小值等于2

故选A

【分析】根据对数的运算性质，可得ab=1（a＞b＞0），进而可将 =（a﹣b）+ ，进而根据基本不等式，可得答案．

12、【答案】D

【考点】函数单调性的性质

【解析】【解答】解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，

∵函数f（x）= = =1+ ，

∴当m≥1时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；

故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜m，∴m≤2 ①．

当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；

故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，

∴2m≥1，m≥  ②．

由①②可得 ≤m≤2，

故选：D．

【分析】由题意可得则f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围．

二、填空题

13、【答案】

【考点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线为

y=± x，即为bx±ay=0，

由渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，可得

=1，

化为a2=3b2 ，

由c2=a2+b2= a2 ，

可得e= = ．

故答案为： ．

【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为（2，0），半径为1，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简整理可得a2=3b2 ， 运用a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值．

14、【答案】

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：设底面ABC所在球截面的圆心为M，则∠AMC=2∠ABC=60°，

∵MB=MC，∴△AMC是等边三角形，∴MA=MC=AC=4，

∵AA1=6，∴OM= =3，∴球的半径OC= =5．

∴球的体积V= = ．

故答案为： ．

【分析】根据圆的性质和球的对称性可求出底面所在圆的半径和球的半径．

15、【答案】[1，e]

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【解答】解：∵f（x）=ax﹣lnx，（x＞0），

f′（x）=a﹣ = ，

若f（x）在（1，+∞）上无最小值，

则f（x）在（1，+∞）单调，

∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，

或f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥ ，或a≤ ，而函数y= 在（1，+∞）上单调减，

∴x=1时，函数y取得最大值1，

∴a≥1或a≤0，而a为正实数，

故a≥1①，

又∵g（x）=ex﹣ax，

∴g′（x）=ex﹣a，

∵函数g（x）=ex﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，

∴函数g′（x）=ex﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，

∴a≤[ex]min在区间（1，+∞）上成立．

而ex＞e，

∴a≤e②；

综合①②，a∈[1，e]，

故答案为：[1，e]．

【分析】求出f（x）的导数，问题转化为f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数，求出a的最小值；求出g（x）的导数，问题转化为a≤[ex]min在区间（1，+∞）上成立，求出a的范围，取交集即可．

16、【答案】2016

【考点】数列递推式

【解析】【解答】解：由bn= ，且a1=1，得b1= ．

b2= ，a3=a2b2=b1b2 ．

b3= ，a4=a3b3=b1b2b3 ．

…

an=b1b2…bn﹣1 ．

∴a21=b1b2…b20 ．

∵数列{bn}为等比数列，

∴ = ．

故答案为：2016．

【分析】由已知结合bn= ，得到a21=b1b2…b20 ， 结合b10b11=201 ，及等比数列的性质求得a21 ．

三、解答题

17、【答案】（1）解：由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，

即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，

因为sinB≠0，所以cosC= ，

因为0＜C＜π，所以C=

（2）解：设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R= =2 ，

由sinA+sinB=2 sinAsinB得，2R（a+b）=2 ab，即a+b= ab，①

由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0，②

将①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=3或ab=﹣ （舍去），

所以S△ABC= absinC=

【考点】正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC= ，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（2）设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R= =2 ，由sinA+sinB=2 sinAsinB得a+b= ab，由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．

18、【答案】（1）解：从这5年中任意抽取2年，所有的事件有：

（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），

（2012，2013），（2012，2014）．（2012，2015），

（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10种，

外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的事件有

（2011，2014），（2011，2015），（2012，2014），（2012，2015），

（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7种；

故概率为P=0.7；

（2）解：由已知数据计算得 =2013， =16，

=（﹣2）（﹣10）+（﹣1）（﹣6）+1×6+2×10=52，

=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10，

所以 = = =5.2，

=16﹣5.2×2013=﹣10451.6，

所以回归直线方程为y=5.2x﹣10451.6，

因为 =5.2＞0，所以外出旅游的家庭数与年份之间是正相关；

（3）解：2016年该社区在春节期间外出旅游的家庭数的估计值为

y=5.2×2016﹣10451.6≈32，

答：估计该社区2016年在春节期间外出旅游的家庭数为32

【考点】线性回归方程

【解析】【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率值；（2）由题目中的公式计算 、 ，求出回归系数 、 ，写出回归直线方程，由此判断是正相关还是负相关；（3）由回归方程计算x=2016时y的值即可．

19、【答案】（1）证明：∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，

∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴PA=AB，AN=AN，∠PAN=∠BAN，

∴△PNA≌△BNA，则BN⊥AD，

∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，

又AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PNB

（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴PN=NB= ，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，

∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥BN，

∴S△PNB= × × = ，

∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，

∵PM=2MC，∴VP﹣NBM=VM﹣PNB= VC﹣PNB= × × ×2= ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）由题意证明△PNA≌△BNA，得到BN⊥AD，再由线面垂直的判定证得AD⊥平面PNB，最后由面面垂直的判定得答案；（2）由面面垂直的性质得到PN⊥平面ABCD，进一步得到PN⊥BN，再由等积法把三棱锥P﹣NBM的体积转化为棱锥C﹣PNB的体积求解．

20、【答案】（1）解：由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，

椭圆的标准方程是 ．

（2）解：由 ，可知A，B，F三点共线，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．

当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．

由 ，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①

由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．

因为 ，

所以 = ，所以 ．

将 代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，

解得x= ．

又因为 =（1﹣x1 ， ﹣y1）， =（x2﹣1，y2）， ，

，解得

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由 ，可知A，B，F三点共线，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．

21、【答案】（1）解：函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）

f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，

①当a≤0时，f′（x）＞0成立，

若f′（x）≥0，则2x2﹣2ax+10≥0，△=4a2﹣8，

当﹣ 时，f′（x）≥0恒成立，

所以当a 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

②当a 时，

∵2x2﹣2ax+10≥0，x 或0

2x2﹣2ax+10＜0， ，

∴f（x）在（0， ），（ ）上单调递增，

在（ ， ）单调递减

（2）∵a∈（1， ）， +2x﹣2a＞0，

∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，

f（x）max=f（1）=2﹣2a，

存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，

即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），

∵任意的a∈（1， ），

∴a﹣a2＜0，

即m＞ 恒成立，

令g（a）= ，

∵m＞ 恒成立  最后化简为g′（a）= =

∵任意的a∈（1， ），

＞0，

∴g（a）= ，a∈（1， ）是增函数．

∴g（x）＜g（ ）= + =

∴实数m的取值范围m≥

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【分析】（1）求解f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，判断2x2﹣2ax+10的符号，分类得出①当a≤0时，f′（x）＞0成立，当﹣ 时，f′（x）≥0恒成立，

即可得出当a 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a 时，求解不等式2x2﹣2ax+10≥0，2x2﹣2ax+10＜0，得出f（x）在（0， ），（ ）上单调递增，在（ ， ）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2﹣2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），m＞ 恒成立，构造函数g（a）= ，利用导数求解即可转化为最值即可判断．

22、【答案】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，

即AD的延长线DF平分∠CDE



（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，

由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，

设圆半径为r，则r+ r=2+ ，得r=2，外接圆的面积为4π．

【考点】与圆有关的比例线段

【解析】【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+ r=2+ ，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．

23、【答案】（1）解：把极坐标系下的点 化为直角坐标，得P（﹣2，2）

因为点P的直角坐标（﹣2，2）满足直线l的方程x﹣y+4=0，

所以点P在直线l上．）

（2）解：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为 ，

从而点Q到直线l的距离为 =

= ，

由此得，当 时，d取得最小值

【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程

【解析】【分析】（1）首先把点的极坐标转化成直角坐标，进一步利用点和方程的关系求出结果．（2）进一步利用点到直线的距离，利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步求出最值．

24、【答案】（1）解：当a=﹣2时，

f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|= ，

∴f（x）＜g（x）等价于 或 或 ，

解得0＜x＜1或1≤x≤2或2＜x＜4，即0＜x＜4．

∴不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|0＜x＜4}

（2）解：∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1﹣x+x+a=a+1，

不等式f（x）=a+1≤g（x）max=（ ）max ，

∴﹣1＜a≤ ，

∴实数a的取值范围是（﹣1， ]

【考点】其他不等式的解法

【解析】【分析】（1）当a=﹣2时，f（x）＜g（x）等价于 或 或 ，由此能求出不等式f（x）＜g（x）的解集．（2）推导出f（x）=a+1，不等式f（x）≤a+1≤（ ）max ， 由此能求出实数a的取值范围．

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