新人教版九年级数学下册导学案全册

二次函数导学案

26.1 二次函数及其图像

26.1.1 二次函数

九年级下册 编号01

【学习目标】

1. 了解二次函数的有关概念．

2. 会确定二次函数关系式中各项系数。

3. 确定实际问题中二次函数关系式。

【学法指导】

类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。

【学习过程】

一、知识链接：

1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。

2. 形如函数是一次函数，当时，它是 函数；形如 的函数是反比例函数。

二、自主学习：

1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为米，则宽为 米，如果将面积记为平方米，那么与之间的函数关系式为= ，整理为= .

2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．

3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是 。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

。

5.归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中是自变量，是__________，b是___________，c是_____________．

三、合作交流：

（1）二次项系数为什么不等于0？

答： 。

（2）一次项系数和常数项可以为0吗？

答： .

四、跟踪练习

1．观察：①；②；③y＝200x2＋400x＋200；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有 。（只填序号）

2. 是二次函数，则m的值为______________．

3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

4.二次函数．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为 ．

5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

26.1.2二次函数的图象

九年级下册 编号02

【学习目标】

1．知道二次函数的图象是一条抛物线；

2．会画二次函数y＝ax2的图象；

3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）

【学法指导】

数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.

【学习过程】

一、知识链接：

1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .

二、自主学习

（一）画二次函数y＝x2的图象．

列表：

在图（3）中描点，并连线

1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？

答：

2.归纳：

① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；

②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ；

③的图象开口_______；

④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；

它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.

⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 。

（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．

解：列表：

归纳：抛物线，，的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．

归纳：抛物线，，的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．

例2 请在图（4）中画出函数，，的图象．

列表：

三、合作交流：

归纳：

抛物线的性质

2.当＞0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。

3．在前面图（4）中，关于轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？

答： 。由此可知和抛物线关于轴对称的抛物线是 。

4．当＞0时，越大，抛物线的开口越___________；当＜0时， 越大，抛物线的开口越_________；因此，越大，抛物线的开口越________。

四、课堂训练

1．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．

2. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．

3. 二次函数的图象开口向下，则m___________．

4. 二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．

5. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．

6．若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________．

7．如图，抛物线①② ③④ 开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。

8．点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。

9．如图，A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。

10. 当m= 时，抛物线开口向下．

11.二次函数与直线交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．

26.1.3 二次函数的图象（一）

九年级下册 编号03

【学习目标】

1．知道二次函数与的联系．

2.掌握二次函数的性质，并会应用；

【学法指导】

类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。

【学习过程】

一、知识链接：直线可以看做是由直线 得到的。

练：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。

解：

由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？

猜想： 。

二、自主学习

（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，，的图象．

2．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.

3．抛物线，，的形状_____________．开口大小相同。

三、知识梳理：（一）抛物线特点：

1.当时，开口向 ；当时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；

3. 对称轴是 。

（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由

平移得到的。（填上下或左右）

二次函数图象的平移规律：上 下 。

（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。

三、跟踪练习：

1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；

抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

2．抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当= 时，有最 值是 。

3．由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

5. 抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

6.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.

⑴求该函数的表达式；

⑵若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值。

26.1.3 二次函数的图象（二）

九年级下册 编号04

【学习目标】

1．会画二次函数的图象；

2.知道二次函数与的联系．

3.掌握二次函数的性质，并会应用；

【学习过程】

一、知识链接：

1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。

2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。

二、自主学习

画出二次函数，的图象；先列表：

归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。

图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；

在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。

可以看作由向 平移 个单位形成的。

（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；

在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。

可以看作由向 平移 个单位形成的。

三、知识梳理

（一）抛物线特点：

1.当时，开口向 ；当时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）

结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。

四、课堂训练

1．抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。

2. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。

3. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；

4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．

5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．

6．将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．

7．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．

8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_______________．

26.1.3二次函数的图象（三）

九年级下册 编号05

【学习目标】1．会画二次函数的顶点式的图象；

2．掌握二次函数的性质；

【学习过程】

一、知识链接：

1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。

2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。

二、自主学习

在右图中做出的图象：

观察：1. 抛物线开口向 ；

顶点坐标是 ；对称轴是直线 。

2. 抛物线和的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”）

3. 抛物线是由如何平移得到的？答：

。

三、合作交流

平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？

答： 。

四、知识梳理

结合上图和课本第9页例3归纳：

（一）抛物线的特点：

1.当时，开口向 ；当时，开口 ；

2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。

（二）抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。

二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。

（三）平移前后的两条抛物线值 。

五、跟踪训练

1.二次函数的图象可由的图象（ ）

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

2.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。

3.填表：

4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。

5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。

6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ）

A． B．

C． D．

7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.

26.1.3二次函数的图象（四）

九年级下册 编号06

【学习目标】

会用二次函数的性质解决问题；

【学习过程】

一、知识链接：

1.抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.

2. 抛物线是由如何平移得到的？答：

。

二、自主学习

1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？

分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。

2.仔细阅读课本第10页例4：

分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。

由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。

求水管的长就是通过求点 的 坐标。

二、跟踪练习：

如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；

(2) 求出这条抛物线的函数解析式；

三、能力拓展

1.知识准备

如图抛物线与轴交于A,B两点，交轴于点D，抛物线的顶点为点C

（1） 求△ABD的面积。

（2） 求△ABC的面积。

（3） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。

（4） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。

（5） 点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26.1.4二次函数的图象

九年级下册 编号07

【学习目标】

1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．熟记二次函数的顶点坐标公式；

3．会画二次函数一般式的图象．

【学习过程】

一、知识链接：

1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。

2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。

二、自主学习：

（一）、问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？

（2）你有办法解决问题（1）吗？

解：

的顶点坐标是 ，对称轴是 .

（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.

（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：

① ② ③

（5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ，

（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。

用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。

① ② ③

（二）、用描点法画出的图像.

（1）顶点坐标为 ；

（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）

（3）描点，并连线：

（4）观察：①图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；

② 时，随的增大而增大； 时随的增大而减小。

③该抛物线与轴交于点 。

④该抛物线与轴有 个交点.

三、合作交流

求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。

26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式

九年级下册 编号08

【学习目标】

1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；

2.会用待定系数法求二次函数的解析式。

【学习过程】

一、知识链接：

已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.

解：

二、自主学习

1.一次函数经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。

分析：要求出函数解析式，需求出的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于的二元一次方程组即可。

解：

2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。

分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。

解：

三、知识梳理

用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。

1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；

2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。

四、跟踪练习：

1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．

2.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为________________．

3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。

4. 已知双曲线与抛物线交于A(2,3)、B(,2)、c(－3, )三点.

(1)求双曲线与抛物线的解析式;

(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,

5.如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A,B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0），

（1）求该抛物线的解析式；

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

26.2用函数观点看一元二次方程（一）

九年级下册 编号09

【学习目标】

1、 体会二次函数与方程之间的联系。

2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，

【学习过程】

一、知识链接：

1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。

2.一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；

二、自主学习

1.解下列方程

（1） （2） （3）

2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：

3.对比第1题各方程的解，你发现什么？

三、知识梳理：

⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）

⑶二次函数与轴交点坐标是 .

四、跟踪练习

1. 二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．

2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；

3.二次函数，当＝________时，＝3．

4.如图，一元二次方程的解为 。

5.如图，一元二次方程的解为 。

6. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．

7．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．

26.2用函数观点看一元二次方程（二）

九年级下册 编号10

【学习目标】

1. 能根据图象判断二次函数的符号；

2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。

【学习过程】

一、知识链接：

根据的图象和性质填表：（的实数根记为）

（1）抛物线与轴有两个交点 0；

（2）抛物线与轴有一个交点 0；

（3）抛物线与轴没有交点 0.

二、自主学习：

1.抛物线和抛物线与轴交点坐标分别是

和 。

抛物线与轴交点坐标分别是 .

2.

抛物线

1 开口向上，所以可以判断 。

2 对称轴是直线= ，由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即 >0，已知 0，所以可以判定 0.

3 因抛物线与轴交于正半轴，所以 0.

4 抛物线与轴有两个交点，所以 0；

三、知识梳理：

⑴的符号由 决定：

①开口向 0；②开口向 0.

⑵的符号由 决定：

① 在轴的左侧 ；

② 在轴的右侧 ；

③ 是轴 0.

⑶的符号由 决定：

①点（0，）在轴正半轴 0；

②点（0，）在原点 0；

③点（0，）在轴负半轴 0.

⑷的符号由 决定：

①抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；

②抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；

③抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根；

④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.

四、典型例题：

抛物线如图所示：看图填空：

（1）_____0；（2） 0；（3） 0;

（4） 0 ;(5)______0；

（6）；（7）；

（8）；（9）

五、跟踪练习：

1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

（1）方程的根为___________；

（2）方程的根为__________；

（3）方程的根为__________；

（4）不等式的解集为________；

（5）不等式的解集为_____ ___；

2.根据图象填空：（1）_____0；（2） 0；（3） 0;

（4） 0 ;(5)______0；

（6）；（7）；

相似导学案

27.1图形的相似（第1课时）

【学习目标】

1. 经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．

2. 掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．

3．能根据相似比进行有关计算．

【自学指导】第一节

1．相似三角形的定义及记法

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

注意：其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，

B与E，C与F相对应．AB∶DE等于相似比．

2．想一想

如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？

3．议一议

（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？

（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？

归纳：

【典例分析】

例1：有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度．（14m）

例2：如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求（1）∠AED和∠ADE的度数；（2）DE的长．

5．想一想：在例2的条件下，图中有哪些线段成比例？

练习：等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A´B´C´相似，相似比为3∶1，已知斜边AB＝5cm，求△A´B´C´斜边A´B´上的高．

（第2课时）

【自学指导】第二节

1、 相似多边形的定义：

两个多边形大小不等，但各角 ，各边 这样的两个相似多边形叫做相似多边形。

注意：与相似三角形的定义的不同点。

2、 叫做相似比。

3、判断：

（1）各角都对应相等的两个多边形是相似多边形。（ ）

（2）各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。（ ）

思考：要判断两个相似多边形相似需要满足的条件 。

4、观察下列图形，它们之间是否相似？

【尝试练习】

5、判断：

（1）所有的正三角形都相似。 ( )

（2）所有正方形都相似。 ( )

（3）所有正五边形都相似。 ( )

（4）所有正多边形都相似。 ( )

思考：所有的正n边形都相似吗？

【巩固训练】

1、 已知菱形ABCD与菱形A′B′C′D′,若使菱形ABCD∽菱形A′B′C′D′,可添加一个条件

2、 如图，一个长3米，宽1.5米的矩形黑板，其外围的木质边匡宽75厘米。边框内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

3、 四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A′=75°，∠B=85°，∠D′=118°,AD=18, A′D′=8, A′B′=12.求∠C′的度数和AB的长度。

【达标测试】

如上图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A=70°，∠B′=60°，

∠D=125° ,AD=7, A′D′=4.2,BC=8,求∠C的度数和B′C′的长度。

【开拓思维 】

在相似多边形中，对应对角线的比与相似比有何关系？怎样证明？

27.2相似三角形（第3课时）

【学习目标】

1、掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，

2、能对三角形的性质与判定进行简单的运用

【自学指导】判定

1、相似三角形的判定方法

⑴、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

⑵、三边对应成比例，两三角形相似.

⑶、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

⑷、两角对应相等，两三角形相似。　　

【尝试练习】

⑴、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE。

求证：△ABC∽△ADE。

⑵、如图ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE=CF，BE延长线交DF于G。求证：△BGF∽△DGE。

⑶、如图已知点D为斜边BA上的点，点E为AC的中点，分别延长ED和CB交于F。

求证：△CDF∽△DBF。

⑷、如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，

求证：△BDO∽△BOC∽△OEC。

⑸、如图AD为△ABC的∠A的平分线，由D向∠C的外角平分线作垂线与AC的延长线交于F点，由D作∠B的平分线的垂线与AB交于E，

求证：△ADE∽△AFD。

反思：两个直角三角形要相似，除了一个直角外，还需要那些条件就可以。

【思维拓展】：

要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？

（第4课时）

【自学指导】性质

1、两个三角形已知相似，可推出：

⑴、相似三角形对应边、对应中线，对应高线、对应角平分线的比等于相似比

⑵、相似三角形周长的比等于相似比

⑶、相似三角形面积的比等于相似比的平方

【尝试练习】

1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.

解：在和中，

，

　　　　

　　　　又

∽，相似比为.

　　的周长为，的面积是.

建议：记住上面的解题格式，规范你的步骤。

2、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.

（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长.

（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

（3）在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.

归纳：相似三角形的常见图形及其变换：

【巩固练习】

1．如图 ：AD⊥BC，∠BAC=90°，那么△ABC∽ ∽

2．下列条件中,判断△ABC与△A´B´C´是否相似？并说明理由.

⑴∠C=∠C´=90°,∠B=∠B´=50°.( )理由 .

⑵AB=AC,A´B´=A´C´,∠B=∠B´. ( )理由 .

⑶∠B=∠B´,. ( )理由 .

⑷∠A=∠A´,. ( )理由 .

3．如图，要使△AEF∽△ACB，已具备的条件是 ，

还需补充的条件是 或 或 .

4．点P是△ABC边AB上一点，且AB垂直AC,过点P作直线截△ABC，使截得三角形与△ABC相似，满足这样条件得直线有（ ）条。

A、1 B、2 C、3 D、4

5．如图：已知△ABC与△ADE的边BC、AD相交于点O，且∠1=∠2=∠3。

求证：（1）△ABO∽△CDO；（2）△ABC∽△ADE

6．如图,AD、BC交于点O,BA、DC的延长线交于点P, PA·PB=PC·PD.

试说明：①△PBC∽△PDA; ②△AOB∽△COD.

7、 △ABC的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF的最长边是24cm,那么它的周长是 。

8、如右图，∠ABD=∠C，AB=5，AD=3.5，则AC=（ ）

A B C D

9、如图,B、C在△ADE的边AD、AE上，且AC=6,AB=5,EC=4,DB=7,则BC:DE= .

10、如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长的

比是( )，高之比是（ ），面积比是（ ）

A、 B、 C、 D、

11、在△ABC中，∠C＝900，CD是高。

（1）、写出图中所有与△ABC相似的三角形。 （2）、试证明：

12、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。

27.3 位似（第5课时）

【学习目标】

1、了解位似图形的定义，知道位似图形的性质，并能判断哪些图形是位似图形；

2、能利用坐标变换作位似图形，并利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。

【自学指导】

1、请写出位似图形的定义

2、位似图形的性质

① 位似图形的对应点和位似中心在一条直线上；

② 位似图形的任意一对对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比；

③ 位似一定相似，相似不一定位似；

④ 位似图形的对应线段平行或在一条直线上。

【典例分析】

例1：如图，D，E分别AB，AC上的点.

（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？

（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？

归纳：具备什么条件就能判断两个图形位似。

①、相似；②、各对应顶点的连线所在的直线交于一点；③、对应线段平行或在同一条直线上。

3、如何做位似图形

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心。即选点

第二步：将位似中心与各关键点连线。即连线

第三步：在连线所在的直线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例。做对应点

第四步：顺次连接截取点。即连线，最后，下结论。

例2：将△ABC作下列变化，请画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化。

（1）向上平移4个单位；

（2）关于y轴对称（画图后写出每一个对应点的坐标）；

（3）以A点为位似中心，相似比为2。

【尝试练习】

1.一般室外放映的电影胶片上每一个图片的规格是3.5cm3.5cm ，放映的荧屏为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm，问荧屏应该拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

自测一（第6课时）

一、填空题

1．如图1，点是四边形与的位似中心，则________＝________＝________； ________， ________．

2．如图2，，则与的位似比是________．

3．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．

4．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．

5．位似图形的相似比也叫做________．

6．位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比．

二、解答题

7．画出下列图形的位似中心．

8．将四边形放大2倍．

要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部．

（2）对称中心在两个图形的同侧．

（3）对称中心在两个图形的内部．

9．如图3，四边形和四边形′位似，位似比，四边形和四边形位似，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？位似比是多少？

10．请把如图4所示的图形放大2倍．

11．请把如图5所示的图形缩小2倍．

单元自我检测（第7课时）

一.填空题(每3分,共30分)

1.已知,则

2、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处？（结果精确到0.1）

3.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .

4.如图,⊿ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC),当 或 或 时,⊿ADE与⊿ABC相似.

（第4题图） （第5题图） （第6题图）

5、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ= .

6、如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，ΔAED与N，M，C为顶点的三角形相似.

7.已知三个数1、2、，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是 。

8、如图，ΔABC中，BC=a.

(1)若AD1=AB，AE1=AC，则D1E1= ；

(2)若D1D2=D1B，E1E2=E1C，则D2E2= ；……

(4)若Dn-1Dn=Dn-1B，En-1En=En-1C，则DnEn= .

二．选择题(每小题3分,共30分)

9.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是( )

A.1250km B.125km C.12.5km D.1.25km

10.已知,则的值为( )

A. B. C.2 D.

11.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,则梯子的长为( )

A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m

12.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于( )

A. B. C. D.

(第5题图)

（第4题图）

13.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )

A.一种 B.两种 C.三种 D.四种

14、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）

① ② ③ ④

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④

15.如图，ΔADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得ΔABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）

(A)AE⊥AF (B)EF∶AF=∶1 (C)AF2=FH•FE (D)FB∶FC=HB∶EC

16、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）

A.0.36πm2 B.0.81πm2 C.2πm2 D.3.24πm2

17、如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（ ）

A.4对 B.1对 C.2对 D.3对

(第7题图) (第8题图) (第9题图) (第10题图)

18、平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）

A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似

D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似

三．计算题（每题6分，共24分）

19、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.

20.如图，DE∥BC，SΔDOE∶SΔCOB=4∶9，求AD∶BD.

21.小颖测得2m高的标杆在太阳下的影长为1.2m,同时又测得一棵树的影长为3.6m,请你帮助小颖计算出这棵树的高度.

22.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.

(1)ΔABD与ΔDCB相似吗？请说明理由.

(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.

四.探索题（每题8分，共16分）

23、已知：如图，ΔABC中，∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法，将ΔABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由).

分法一 分法二 分法三

分法一：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .

分法二：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .

分法三：分割后所得的四个三角形中，Δ ≌Δ ，RtΔ ∽RtΔ .

24.如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.

(1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长.

(2)如图(2)，三角形内有并排两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.

(3)如图(3)，三角形内有并排三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.

(4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成矩形内接于ΔABC，请写出正方形的边长

课题：28．1锐角三角函数（1）

目标导航：

【学习目标】

⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

⑵: 能根据正弦概念正确进行计算

【学习重点】

理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．

【学习难点】

当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

【导学过程】

一、自学提纲：

1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB

2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC

二、合作交流：

问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；

结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值

思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边

的比值是一个定值吗？如果是，是多少？

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值

三、教师点拨：

从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，

∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？

结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比

正弦函数概念：

规定：在Rt△BC中，∠C=90，

∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．

在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

记作sinA，即sinA= =． sinA＝

例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．

四、学生展示：

例1 如图，在Rt△ABC中，

∠C=90°，求sinA和sinB的值．

随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．

随堂练习 （2）：

1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚

A． B． C． D．

2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）

A． 　B． C． 　D．

3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )

A． B．3 C． D．

4．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）

A． B． C．

五、课堂小结：

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ．

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，

六、作业设置：

课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）

七、自我反思：

本节课我的收获: 。

课题：28．1锐角三角函数（2）

【学习目标】

⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。

⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

重点：难点：

【学习重点】

理解余弦、正切的概念。

【学习难点】

熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。

【导学过程】

一、自学提纲：

1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。

已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）

A． B． C． D．

3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，

且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，

∠A的对边与斜边的比是 ，

现在我们要问：

∠A的邻边与斜边的比呢？

∠A的对边与邻边的比呢？

为什么？

二、合作交流：

探究：

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，

那么与有什么关系？

三、教师点拨：

类似于正弦的情况，

如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．

例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；

当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．

（教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．

例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．

四、学生展示：

练习一：完成课本P81 练习1、2、3

练习二：

1. 在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（ ）

A． B． C． D．

2. 在中，∠C＝90°，如果cos A=那么的值为（ ）

A． B． C． D．

3、如图：P是∠的边OA上一点，且P

点的坐标为（3，4），

则cosα＝_____________.

五、课堂小结：

在Rt△BC中，∠C=90°，我们把

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

记作sinA，即sinA= =． sinA＝

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，

记作 ，即

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，

记作 ，即

六、作业设置：

课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）

七、自我反思：

本节课我的收获: 。

课题：28．1锐角三角函数（3）

⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

【学习重点】

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

【学习难点】

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程

【导学过程】

一、自学提纲：

一个直角三角形中，

一个锐角正弦是怎么定义的？

一个锐角余弦是怎么定义的？

一个锐角正切是怎么定义的？

二、合作交流：