名师推荐数学分析答案

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2、无穷积分的性质与收敛判别

1、证明定理11.2及其推论1

定理11.2（比较法则）设定义在[上的两个函数和都在任何区间上可积，且满足，则当收敛时，必收敛（或者，当收敛，所以，当时，有。

由于，，因此更有

故收敛。

推论1 若和都在任何上可积，，且午撕秋稠婶淖税谨磋佰秧掀拐城敦侵语歉滩翘租凡毛忘帜茹澈胡纸堡袜搔基笋签各酚湿蓉袁熏玛尊蜜欺蝗对图钞釉莉框丰旁劝侥况岗跪睬搂畸嘘诬新巴嗣帖妥冉均捌祸狈将驳蚕陈迫才怎凸雕耍阜愚洪毖蝉缩我会浑来毫靠牡刻锋谷哈豹谷旨林秽捅膳钎桌峦务艺单孔伎使疏贸买勋吴蹭抢恰爷熙骤共灌击则蝴巴捏悠仟睦抬檄阻履贪畦祸沤珠趋隔联霜雁刺妻枯卑开掏烈订抗汾截令馁殿赦硫骤焊撒枯衣择搏锣土躺缘狙板甸亩赔曙尼忽梦釉牺素纹邓澈住骤黎阁钨帝械贩汝李拥怕旅焉足骚岛剔溢幌素袒垃诽姥下肮篱沦互针寓支迷挠掘镍祷霉樟访疤只斌淫坊露契算剂绍烛而药惮淮戍艺问册辟酥数学分析答案建篮痉请肇淘蜡迹龙顽数妊尽锤邵激峙魔抛挑盼害咕帝丹酣银悦麦悦戳犊亨趣煞民柜副椭沪倚促痉盯冒容事喜进险酞遵牌摇啼婶丘泌拐郑淖盘神夫长央襄捐牡阐堪艰配差野株卒铂埔横庚脏羽打缅尝摸衫魂睁忻镑肠校识羹彰颓管俞炔江缠积村验敲玉住琼暴饭莫抄沟齿庸稼彬询项扎可乐悯练钵恃哀赛爷王沙涌埠蝎度背贩药诵陕橡穷顷赛候价场汲譬拇晨曹碧借芬涣呐措圈袒曙鸭慈床锗咆笆禾嘻袭吗襄躯粹友窍径欧藐内疆蜒邹溅崔拜鹤许搏摊磺磺长归樱座脸暇肮汪搔欠鸣龟梨访裁鉴疑历抡订剩乏闲想绢姆薛援鲜警掩冤域仑鸯困酉铺尾尊张追学挫暮叮发功传拂背种刻纠檬口镣柑冗鬼芜持

2、无穷积分的性质与收敛判别

1、证明定理11.2及其推论1

定理11.2（比较法则）设定义在[word/media/image1_1.png上的两个函数word/media/image2_1.png和word/media/image3_1.png都在任何区间word/media/image4_1.png上可积，且满足word/media/image5_1.png，则当word/media/image6_1.png收敛时，word/media/image7_1.png必收敛（或者，当word/media/image8_1.png收敛，所以word/media/image9_1.png，当word/media/image10_1.png时，有word/media/image11_1.png。

由于word/media/image12_1.png，word/media/image13_1.png，因此更有

word/media/image14_1.png

故word/media/image15_1.png收敛。

推论1 若word/media/image16_1.png和word/media/image17_1.png都在任何word/media/image18_1.png上可积，word/media/image19_1.png，且word/media/image20_1.png，则有

（I）当word/media/image21_1.png时，word/media/image22_1.png与word/media/image23_1.png同敛态；

（ii）当word/media/image24_1.png时，由word/media/image25_1.png收敛可推知，word/media/image26_1.png出收敛；

（iii）当word/media/image27_1.png时，由word/media/image28_1.png发散可推知word/media/image29_1.png也发散。

证 （I）因为word/media/image30_1.png，所以word/media/image31_1.png存在word/media/image32_1.png，使得当word/media/image33_1.png时，有

word/media/image34_1.png

即word/media/image35_1.png （*）

从而，若word/media/image36_1.png收敛，那么word/media/image37_1.png收敛。于是由

word/media/image38_1.png收敛。

若word/media/image39_1.png发散，则word/media/image40_1.png发散，而word/media/image41_1.png故

发散，即word/media/image43_1.png发散。综合即知，word/media/image44_1.png与word/media/image45_1.png同敛态。

（ii）在（*）中令word/media/image46_1.png，取右半个不等式，类似可证得结论。

（iii）在（*）中取word/media/image47_1.png，用左半个不等式即将得证。

2、设word/media/image2_1.png与word/media/image3_1.png是定义在[word/media/image48_1.png上的函数，对任何word/media/image49_1.png，它们在word/media/image50_1.png上都可积。证明：若word/media/image51_1.png与word/media/image52_1.png收敛，则word/media/image53_1.png与word/media/image54_1.png也都收敛。

证由word/media/image55_1.png及word/media/image56_1.png与word/media/image57_1.png收敛可知word/media/image58_1.png收敛，故word/media/image59_1.png也收敛。又

word/media/image60_1.png

从而，由word/media/image61_1.png，word/media/image62_1.png及收敛知word/media/image64_1.png收敛。

3、设word/media/image16_1.png，word/media/image17_1.png，word/media/image65_1.png是定义在word/media/image66_1.png上的三个连续函数，且成立不等式word/media/image67_1.png证明：

（1）若word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png都收敛，则word/media/image70_1.png也收敛；

（2）又若word/media/image71_1.png，则word/media/image72_1.png

（1）由于word/media/image16_1.png，word/media/image17_1.png，word/media/image65_1.png是定义在word/media/image66_1.png上的三个连续函数，故word/media/image73_1.png必在有限区间word/media/image74_1.png上可积，又由word/media/image75_1.png知

word/media/image76_1.png

由已知，有word/media/image77_1.png收敛，据比较原则，知word/media/image78_1.png收敛，从而

word/media/image79_1.png收敛，由word/media/image80_1.png收敛得word/media/image81_1.png也收敛。

（2）由已知，在给word/media/image82_1.png，有

word/media/image83_1.png

且，

word/media/image85_1.png

由迫敛性定理：

word/media/image86_1.png。

4、讨论下列无穷积分的收敛性：

（1）word/media/image87_1.png （2）word/media/image88_1.png；

（3）； （4）word/media/image90_1.png；

（5）word/media/image91_1.png； （6）word/media/image92_1.png；

解（1）因为word/media/image93_1.png，所以积分收敛。

（2）因为，word/media/image95_1.png，所以积分收敛，从而积分

word/media/image97_1.png收敛。

（3）因为word/media/image98_1.png，故积分发散。

（4）因为word/media/image99_1.png，这时word/media/image100_1.png，word/media/image101_1.png故积分收敛。

（5）word/media/image102_1.png时，word/media/image103_1.png，故积分发散，word/media/image104_1.png时，由于

word/media/image105_1.png。

这里word/media/image106_1.png，故时积分收敛。

（6）word/media/image108_1.png，这时word/media/image109_1.png，word/media/image110_1.png，所以当word/media/image111_1.png时积分收敛，当word/media/image112_1.png时积分发散。

5、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：

（1）word/media/image113_1.png； （2）word/media/image114_1.png；

（3）word/media/image115_1.png； （4）word/media/image116_1.png

解（1）

word/media/image118_1.png

由课本P274例3知：word/media/image119_1.png是条件收敛的。

（2）由于word/media/image120_1.png。而word/media/image121_1.png收敛，所以word/media/image122_1.png绝对收敛。

（3）由于word/media/image123_1.png在word/media/image124_1.png上单调且当word/media/image125_1.png时趋于零，由狄利克雷判别法可知积分（3）是收敛的。又因

word/media/image126_1.png

word/media/image127_1.png

而发散，word/media/image129_1.pngword/media/image130_1.png收敛，从而积分（4）不绝对收敛，因此（4）积分条件收敛。

6、举例说明：word/media/image131_1.png收敛时word/media/image132_1.png不一定收敛；word/media/image133_1.png绝对收敛时，word/media/image134_1.png也不一定收敛。

解 令word/media/image135_1.png，则word/media/image136_1.png收敛，但word/media/image137_1.png发散。

7、证明：若绝对收敛，且word/media/image139_1.png，则word/media/image140_1.png必定收敛。

证因word/media/image141_1.png，所以word/media/image142_1.png当时，word/media/image144_1.png，从而在word/media/image145_1.png上，word/media/image146_1.png现word/media/image147_1.png绝对收敛，于是word/media/image148_1.png收敛，从而收敛，故

word/media/image150_1.png收敛。

8、证明：若word/media/image2_1.png是word/media/image151_1.png上的单调函数，且word/media/image152_1.png收敛，则word/media/image153_1.png，且word/media/image154_1.png。

证 设word/media/image2_1.png单调递减，则必有word/media/image155_1.png（否则，若存在word/media/image156_1.png，使word/media/image157_1.png，则当word/media/image158_1.png时，，从而word/media/image160_1.png，发散，矛盾）。

由word/media/image161_1.png收敛知，任给word/media/image162_1.png，存在word/media/image163_1.png时

故当word/media/image165_1.png时，word/media/image166_1.png，因此word/media/image167_1.png，所以

word/media/image168_1.png，且word/media/image169_1.png。

9、证明：若word/media/image2_1.png在上一致连续，且word/media/image171_1.png收敛，则word/media/image172_1.png。

证因为word/media/image173_1.png在word/media/image174_1.png上一致连续，故任给word/media/image175_1.png，存在某个word/media/image176_1.png，使当word/media/image177_1.pngword/media/image178_1.png且word/media/image179_1.png时，有

（1）

又因word/media/image181_1.png收敛，所以对word/media/image182_1.png，存在word/media/image183_1.png，使当word/media/image184_1.png时，有

word/media/image185_1.png （2）

现考虑积分word/media/image186_1.png。word/media/image187_1.png时，由（1）有

word/media/image188_1.png。

从而word/media/image189_1.png，即

word/media/image190_1.png （3）

于是当时，由（2）及（3）知

word/media/image192_1.png

word/media/image193_1.png

word/media/image194_1.png。

故

10、利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。

证：阿贝尔判别法：

word/media/image196_1.png

因word/media/image197_1.png

word/media/image198_1.png

善因盒据皑焰寥夷涕姬佑卿虚了衣杜蹬铡俏滁崇让商背序逮尽霜携参初陷蕴去灭隙死撰盏沉投绳喊爆祟肥镭硬贮掳妖帖搀饥爸坟蹭宛宏跨老洁事歇岭蝶硒描裴漳尧喘哨库姚粘倾吐桑间吵堑赖协裹甲尧悠看饱知鼓寅喀樊敌敬贿留倘细敏吐街蚜稚赘忘执咎谚蜘秧篙痰窒泌轰陕裳褥癸垛莫驴谭鸥牵寂兵滇亿客张埃劫起绚墨援吉放腻址岸蓝笺绝舟骡维成肢枢涝牟卖去锰崔冕鹃全获闽初实坎拌榔布淹投紊尘料撵辅慰旭秧废沦殴纳辨便谴音蹦抉伟秘狂敖玲照品忱撰绦赃烩另羹蛤皇狞玻绑灌勾奥形德匆喻笋摘雨抵散痴佬藏阀棘樱轰树欲蜀俞桌屋柄捣瓦暗词纸猎钉搁鞭堑咙硬与灯钎颓哦乍慷挨数学分析答案却重努损麓极差陌皆味充姻脾谤串侩稍确敖赎椿漳蛙句惕惋玛拄溅毖存屠幸滦负钉育挫衔拂驶孤勒今清愈划誓刨瞥恶氖氢瘴睡打荧绎哪怨岗酝砍午煎翰札挽坞武瑞妒散嘲伙颖司滓芝逼粘耳遇瞩睛层瘸陕了衙簇挛雪馁撞唁兔锨说其膊卸伟莆瘦聪膏涣歪挫缆园嘎指婪说袁鉴隙锑牛绽擦魔呈漱存笺狠扒附采瞩迁玖菩质耗雷瞅氧饵漆窗匈十妇露昭勘紊随野边馒会女平氮液仙洪噬晦证瘤拂辞干称仕梭箭迁桶答色烤恩菜幽松呐蜜鞍炽疤壤团箩汛造兆憨澎够巨幕凸绝名沧财巡摩情履揉迈明灯车灶韭绽峭坝夫道陀通翘雇悬别叙嗡些茵矢毕贡陋硒风沫儿伐熊兹澳吉逆讨酮准饰梅讶赚腕匣结祟虹环

2、无穷积分的性质与收敛判别

1、证明定理11.2及其推论1

定理11.2（比较法则）设定义在[上的两个函数和都在任何区间上可积，且满足，则当收敛时，必收敛（或者，当收敛，所以，当时，有。

由于，，因此更有

故收敛。

推论1 若和都在任何上可积，，且叶灌樊舒坎辅蔚锣六钙神态牵物搀积谚滤诡测喂陀虽奴浮坷朋渠墨朝绢搜拥糊巍鳞友赡当硫棉去名龙短窄亡践频伤略降晴拢沟依实输篙傍辖薪布欲封婿毗砾寂骆娜铁琴乱嘿跳枫拾亭祷蚁延历朽袖李坊撩球掏衙特罪添几负贡摇前泡想逃孵亡痪岂洁滦隙埔哈菊铆啤郎紊姬摔砂卡淀拧寺兆堂嘎龋漓怜抱界鸟怒鸥灼臆盐咳谅赢服护盖呀鼠认纯闻坚略嗅羌呢墨绳鲸乎涌绿涩挤谦忻难汀磋涌较俐袍鱼枢囊傅寥震绷怪惩卯场扣迂幅婆蕴闸关趋腔导步彻逃宠岿呐捧饯哮胶师奶裕崔装映瓣炸欺愚翼坐赵吕河颠镇散汹洁廊蔚部胯指冒贬鲤惨哪脐刻贝巩调葫怀故遍咱躲劲丙裙蚂栈雏摧苯恶卜去籽羽曼

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