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微分中值定理与导数的应用总结

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1基础知识详解
先回顾一下第一章的几个重要定理
1、limf(xAf(xA，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系
xxx0
2、:=+o(，这是两个等价无穷小之间的关系
3、零点定理：
条件：闭区间[a,b]上连续、f(af(b0(两个端点值异号
结论：在开区间(a,b上存在，使得f(0
4、介值定理：
条件：闭区间[a,b]上连续、[f(aA][Bf(b]
结论：对于任意min(A,BCmax(A,B，一定在开区间(a,b上存在，使得f(C。
5、介值定理的推论：
闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M和最小值m之间的一切值。
第三章微分中值定理和导数的应用
1、罗尔定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b可导，f(a=f(b

结论：在开区间(a,b上存在，使得2、拉格朗日中值定理
f'(0
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b可导
结论：在开区间(a,b上存在，使得3、柯西中值定理
f(bf(af'((ba
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b可导，g(x0,x(a,b
结论：在开区间(a,b上存在，使得
f(bf(af'(

g(bg(ag'(

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。
拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：
m2(xf(x1-f(x2m1(x；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用

拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是[x1,x2]。5、洛必达法则应用注意
正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种：
每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。
6、泰勒公式求极限。
如果极限是xx
0
limf(x那么就在x附近展开。如果极限是limf(x，那么就
0
x
limf(tlimf(t用迈克劳林展开式
变形成，再在t0附近展开。一般都是化成
tt0
t0
展开。
那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。
7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b可导，且导数f'(x0(0
结论1：f(x在闭区间[a,b]上单增（单减）
结论2：f'(x0或不存在则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点

8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点）
方法一：条件：区间连续。结论：
若f(
x1x2f(x1f(x2
，则该曲线在(x1,x2凹22x1x2f(x1f(x2
，则该曲线在(x1,x2凸22
若f(
方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b存在一阶和二阶导数
结论1：f''(x0在[a,b]凹；f''(x0在[a,b]凸；
结论2：f''(x0或不存在则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证
f''(x、f''-(x的符号。异号则一定为拐点。
9．函数在区间上的极值点，最值点。
定理1：极值点处的导数f'(x00定理2：
条件：f(x在x0点处连续，在x0附近的去心邻域内可导
结论：f'(x00,f'(x00则在x0点取得极大值。f'(x00,f'(x00则在x0点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。
定理3：

条件：f(x在x0点处的一阶导数f'(x00
结论：f''(x00，则在x0点取得极小值。f''(x00，则在x0点取得极小值。f''(x0=0,则该点可能是极值，也可能不是极值。
总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制f'(x00。最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。
10、曲率
曲率定义是：K
1d
，曲率半径用a表示，是曲率的导数，即a。所谓曲率半径，dsK
是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K。
如何推导曲率？
课本典型题：
2扩展
三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a=f(b,结论是导数为0。拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。

微分中值定理这部分看起来特别重要。因为它涉及到几个定理。

罗尔定理常用于以下几种题：
1
f'(x在（a，b）上是否存在零点？显然，只要找到f(af(b的a和b即可。找到了
还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知f(x(x1(x2(x3，说明
f'(x0有几个实根？范围是什么？等。
2证明f(x在（a，b）上是否存在零点？注意1是f'(x是否存在零点。故可以求出
F(xf(xdx，这样就成了求F'(x在(a,b上是否存在零点。和1一样的方法了。
3证明f(x的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x1。则由罗尔定理，f'(x肯定有三个不等的根，f''(x有两个不等的根，f(3(x有一个不等的根。但是算到f(3(x时，结果却是无根。故假设错误，根不超过3个。
拉格朗日中值定理常用于证明不等式：
1证明P(a,bF(a,bQ(a,b，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把F(a,b变成两个同函数相减的方式，f(bf(a的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。
柯西中值定理常用于证明不等式：
1证明P(xQ(x方法：把原式转换成
F(x
因为柯西中值定理实质是两1或1的形式。
G(x
个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成减的形式。然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了

证明函数恒等f(xg(x，x(a,b
证明原则：1f'(xg'(x，x(a,b【当然还有个条件就是f,g在(a,b存在导数】
2找到任意一点x0(a,b，使得f(x0g(x0如果x[a,b]还需要验证f(x,g(x在[a,b]连续
2洛必达法则应用有两个条件
①lim
f(x0
lim或者limg(x0
②lim
f'(x
A，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如g'(x
1
Alimsin(之类的没具体的玩意。但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体的
xx0
玩意，也不能证明该函数除法式无极限。只能证明洛必达法则此时适用性太小。
3洛必达法则应用
①求1的七种类型的未定式极限
②确定无穷小的阶是多少
K阶无穷小的定义：若lim

C0,k0，则称β是α的K阶无穷小。k
无穷小阶的运算法则：
设f(x是x的n阶无穷小，g(x是x的m阶无穷小，则有：

f(x+g(x是x的min(n,m阶无穷小
f(x*g(x是x的n+m阶无穷小
f(x/g(x是x的abs(n-m阶无穷小
这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。
泰勒中值定理的来源想象：
任何一个函数f(x，在0点附近都可以曲线化直的表示成
f(0f'(0f''(0f(n(0
,b1,b2...bn用导数一算，恰好有b00!1!2!n!
故在x0点处可得泰勒展开公式：
（前提：f(x在含x0的某个开区间（a,b）上具有（n+1）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项）
(n
f''(x0f(x0
f(xf(x0f'(x0(xx0(xx02...(xx0nRn(x当n=0
2!n!
时，f(xf(x0f'((xx0其中f'((xx0是n=0时的拉格朗日余项拉格朗日余项为：
换成表示为：x0(xx0,(0,1这样表示很常见（不要求精确时）可使用佩亚诺余项：

Rn(xo[(xx0n]（注意：不是拉格朗日余项的n+1次方）
最开始推导时，x在0处的仿f（x）多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。
f(n1(xn1
x,(0,1使用迈克劳林公式时，对应拉格朗日余项可以改为Rn(x(n1!
但是注意这仅是迈克劳林时用。故可以不记这个特殊形式的式子。只记基本的式子
佩亚诺余项x0=0即可。
※常用的麦克劳林公式（泰勒公式涉及大量运算，而却常考这几个式子的变形）
2n1
x3x5x
sinxx...(1n1R2n(x显然n从1开始
3!5!(2n1!
x2x4(1nx2n
cosx1...R2n1(x显然n从0开始
2!4!(2n!
nx2x3x4x
ln(1xx...(1n1Rn(x显然n从1开始
234n

（1x）1x
(1x2
2!

(1(2x3
3!
...



(1(2...(n1
n!
xnRn(x显然n从0开始
2n
xx
ex1x...Rn(x麦克劳林展开式比较容易，可以现用现推导
2!n!

大体记一下，然后根据推出的前两个值就能想到全部的结论。一般第二个值如果是负的，就说明会有（-1）^（k+1）次方等注意。
扩展：
本节课的“泰勒公式（及其扩展公式）”可以做什么？
1对
0
型的函数式，可以用泰勒公式求极限，还可以用来确定无穷小的阶。0
①设limf(xlimg(x0，并有泰勒公式：
xa
xa
f(xA(xano((xan，其中xa，A为非零常数
g(xB(xamo((xam，其中xa，B为非零常数
A
,nmB　　
f(x
，显然这个得零是因为f比g更快趋近于0而已0　　,nm　limxag(x　　,nm

求极限的情况一般都是两个无关的函数相减。如cosx-ln(1+x啊，cosx-e^x啊，很多式子还伴随的是除法形式，因为这样能将多余的无穷小系数给约为0.举例中的x是bx，x^t的变形式。
②若求得泰勒公式f(xA(xano((xan，则x→a时，f(x是x-a的n阶无穷小
2由泰勒公式求f(n(x0

Anxnf(n(x0xn
其实就是将f(x用泰勒公式展开后得到第n阶的通项公式，显然为,因此n!n!
f(n(x0显然值为An导出即可。注意的是，有时候并不能得出f(n(x0。而是其他形式，如
(1nx2nxn(1n(2n
An展开式n阶通项为，显然结果是f(0(2n!。得出的结果奇形怪n!n!n!
状的都有，有些n是从3,开始的，这时候就还得考虑f'(,f''(等。因此也要注意考虑n。
3由f(x含佩亚诺余项的泰勒公式可以得到f(bx，f(xm的含佩亚诺余项的泰勒公式，其中b为常数，m为自然数，只需令tbx,txm即可。
显然在佩亚诺余项上f(bx，f(xm可以随意换项。
4在求f(xg(x的三阶麦克劳林式时，显然分别展开3阶的结果为
f(xg(x=(A0+A1x+A2x2+A3x3+O[X3]*(B0+B1x+B2x2+B3x3+O[X3]
将其乘开时为取三阶麦克劳林式，只需加阶数3的式子即可
本节在泰勒公式的变形灵活运用上掌握的不好。本节涉及大量运算，但大部分都是前面给出的五个基本公式的变形。因此一定要熟练背诵使用
寻找拐点还是划分单调区间的点，都是找f’’(x或者f’(x等于0，或者不存在的点。定义要求是在（开区间）可导，闭区间连续，但是得到的范围就按连续的区间来，即[闭区间]
1根据定义，求极值总结的三种方法：
①基本定义f(xf(x0②f'(x0两端异号

③f'(x00,f''(x00
若f''(x00则f(x在x0处可能是最大最小值也可能没有极值。说不准。2可导函数求极值（或最值）的步骤：
①求出导数f'(x
②求出f'(x=0的驻点和不可导点。（如果是求最值还要求定义域端点）
③得出点后求极值要判断驻点不可导点两端导数是否异号。异号的话则该点为极值点。
（求最值还可以不看导数两旁异号，直接带进去求出所有值就比较出最大最小值了）
3若在（任意的一个）定义区间内只有一个驻点是极值点，那么它也一定是最值点。
本节计算实在不过关。对函数的大量运算掌握不精通。来源：显然，dsx2limy2
x0
参数方程表达式
普通表达式

来源：y''
d(y'tandds
...，而弧微分中已经求出ds...，故K。。就导出来。
dxdxd
了。这样计算曲率带入公式就很方便了

推导参数方程曲率的时候，注意y''
''''''
(分母是三次方）另外，注意结果是绝对
'3
值，我在运算时经常忘记变正，带着负号算，特别费力。
求解参数方程的曲率时运算量特别大，一定要一步一步及其谨慎。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fa95026b27fff705cc1755270722192e44365820.html

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