2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析
一、选择题:1
(1)设
(A) 若
(B) 若
(C) 若
(D) 若
【答案】(D)
【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.
数列
(2) 设函数
(A)
【答案】(C)
【解析】根据拐点的必要条件,拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点,根据拐点的定义,即凹凸性改变的点;二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知,拐点个数为2,故选C.
(3) 设
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(B)
【解析】根据图可得,在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
所以,
故选B.
(4) 下列级数中发散的是( )
(A)
(C)
【答案】(C)
【解析】A为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛;B为正项级数,因为,根据级数收敛准则,知收敛;C,,根据莱布尼茨判别法知收敛, 发散,所以根据级数收敛定义知,发散;D为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛,所以选C.
(5)设矩阵
(A)
(C)
【答案】(D)
【解析】
由
(6) 设二次型
(A)
(C)
【答案】(A)
【解析】由
且
又因为
故有
所以
(7) 若
(A)
(C)
【答案】(C)
【解析】由于
(8) 设总体
(A)
(C)
【答案】(B)
【解析】根据样本方差
二、填空题:9
(9)
【答案】
【解析】原极限
(10)设函数
【答案】
【解析】因为连续,所以可导,所以;
因为,所以
又因为,所以
故
(11)若函数
【答案】
【解析】当,时带入,得.
对求微分,得
把,,代入上式,得
所以
(12)设函数
【答案】
【解析】的特征方程为,特征根为,,所以该齐次微分方程的通解为,因为可导,所以为驻点,即
,,所以,,故
(13)设3阶矩阵
【答案】
【解析】
所以
(14)设二维随机变量
【答案】
【解析】由题设知,
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10 分)
设函数
【答案】
【解析】法一:
因为,,
则有,,
可得:,所以,.
法二:
由已知可得得
由分母,得分子,求得c;
于是
由分母,得分子
,求得;
进一步,b值代入原式
,求得
(16)(本题满分10 分)
计算二重积分
【答案】
【解析】
(17)(本题满分10分)
为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设
(I) 证明定价模型为
(II) 若该商品的成本函数为
【答案】(I)略(II) .
【解析】(I)由于利润函数,两边对求导,得
.
当且仅当时,利润最大,又由于,所以,
故当时,利润最大.
(II)由于,则代入(I)中的定价模型,得,从而解得.
(18)(本题满分10 分)
设函数
【答案】
【解析】曲线的切线方程为,切线与轴的交点为
故面积为:.
故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,
解得,又由于,带入可得,从而
(19)(本题满分 10分)
(I)设函数
(II)设函数
【答案】
【解析】(I)
(II)由题意得
(20) (本题满分 11分)
设矩阵
(I) 求
(II)若矩阵
【答案】
【解析】(I)
(II)由题意知
(21) (本题满分11 分)
设矩阵
(I) 求
(II)求可逆矩阵
【答案】
【解析】(1)
A的特征值
令
(22) (本题满分11 分)
设随机变量
(I)求
(II)求
【答案】(I)
(II)
【解析】(I) 记
从而
(II) 法一:分解法:
将随机变量
则
所以
法二:直接计算
所以
从而
(23) (本题满分11 分)
设总体
(I)求
(II)求
【答案】(I)
(II)
【解析】(I)
令
(II)似然函数
当
从而
所以
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