让数学之美激荡儿童思维
——“回文数”教学案例呈现
我国数学家徐利治先生指出:“数学教学之目的之一,应当让学生获得对数学美的审美能力,从而既有利于激发他们对数学科学的爱好,也有助于增长他们创造发明能力。”的确,通过彰显数学之美,让儿童在自由、自在、自主的遨“想”中发现数学美、感悟数学美、享受数学美,可以潜移默化地培养和提高学生的数学观念和思维品质,激发和外化学生的数学潜能,丰富和充实学生的数学精神天地。
“哪里有数,哪里就有美。”以“回文数”为载体,以“想”为线索,以“美”为追求,笔者设计了一节在五年级教学的课例“回文数”,通过创设激发学生审美意识、促进学生思维的一个个情境,引领、引导、引发学生不断地冥想,叩开学生数学思维的心扉,提高其推理能力、抽象能力、想像力和创造力。
课堂实录:
课前活动:
进行趣味想象力测试。多媒体出示右图,让学生找找有几张脸。
师生交流后,多媒体出示:想象力比知识更重要,因为知识是有限的,而想象力概括着世界的一切,推动着进步。——爱因斯坦
一、由文到理,引入回文数
师:同学们,今天我们来上一节与众不同的数学课,大家期待吗?
生齐:期待!
多媒体出示:
上海自来水来自海上。
歌唱家在家唱歌。
人过大佛寺,寺佛大过人。
师:这可是三句很有意思的话,仔细看一看,它们有意思在哪儿呢?
生:正着读和反着读都一样。
师:是这样吗?让我们一起读一读。(教师要求学生把三句话分别正着读和反着读)
师:真好,这位同学有一双会发现的眼睛!像这里三个句子一样,从左往右读和从右往左读,结果完全相同,这样的现象,文学上称为回文。
师:文学中的回文实际是一种特殊的文字排布结构,下面同学们可以随便写一句话,然后再按照回文结构续写一下。(列举学生写出来的二例,简约点评。)
师:想想看,在我们的生活里,有没有类似回文结构的东西?
生:在棋盘上,“将”在中间,它的左右两边依次是“士、象、马、車”。
生:有时数数,正着数,再倒着数回去,比如一二三,三二一,也应该是一种回文结构。
生:我想到一座拱桥的样子,从底部往上,到中间后再往下。
师:非常好!同学们由文学中的回文又联想到象棋盘、数数、拱桥形状等等。下面我让同学们看一幅图:(多媒体出示杨辉三角,如上图,教师作简要介绍)
师:这里呈现了一种数字排布的特殊结构,和文学中的那种回文结构一样吗?这种结构你看起来和感受它时,美吗?为什么美呢?
生:我觉得很美。之所以美,是因为它对称。
师:概括的真好!其实对称的结构给我们以和谐之感。在数学中就有许多对称的结构,所以我们说,数学是美的!
二、多思多想,畅聊回文数
师:下面请同学们根据文学中的回文结构,写一些具有这种结构的数字。
生:121;212;343。
师:(板书:121;212;343)从左向右读一读;从右向左读一读。
在自然数中,像这样从左往右读和从右往左读完全一样,那么这样的数就叫做回文数。谁也来说个回文数?
生:979,686。
师:这些都是三位数,再来说些不太一样的。
生:55,9889。
师:回文数说的完吗?(生齐:说不完)回文数的个数是无限的。现在我们来按要求写写回文数,好不好?(生齐:好)
(多媒体出示:1.写3个三位数的回文数。生写数,师巡视)
师:(投影一学生写的数)三位数的回文数有什么特点?
生:第一个和第三个数字一样,中间随便是哪个数字。
(多媒体出示:2.写3个四位数的回文数。生写数,师巡视)
师:(投影一学生写的数)谁来说一说,四位数的回文数,怎样写的又对又快?
(学生回答后让其上台现场演示两种不同写法)
师:看来,掌握了回文数的特点,写回文数就方便了。谁能用一个词概括它的特点?
生:对称。
师:让我们把掌声送给他。
(多媒体出示:3.今年是2010年,比2010小的回文数最大是多少?)
(题目出示没几秒,马上有学生说出答案“2002”。)
师:(板书:2002)的确是2002,能说说理由吗?
生:我先想,比2010小的数最大是2009,不符合要求,然后我就马上想到2002了。
(多媒体出示:比2010大的回文数最小是多少?现场一片寂静,教师要求学生同桌讨论)
生:是2112。
师:(板书:2112)为什么呢?
生:因为如果是四位数的回文数,中间两个数字就必须一样。现在中间的两个数字是0和1,既然是比2010大,所以只能把0变成1,最后一个数字就肯定是2了。
师:你说得很清楚,大家也把掌声送给他。(板书成:2002年 2112年)那么,紧接着2112年后面的回文数的年份是哪一年呢?
生:是2222年。
师:有了经验,这次想得就更快了。(板书2112年)2002年,2112年,2222年,你能发现什么?看看它们的大小?
生:都相差110。
师:你的眼睛真亮。那么,大家想想看,是不是每相邻两个回个数年份都相差110呢?
(要求学生先独立思考,后小组交流)
生:不是的,比如888和999年,它们相差111年。
生:比如707年和808年,它们相差101年。
生:比如22年和33年,它们相差11年。
(教师根据学生回答板书相应算式)
师:同学们讲得很好,用三位数、两位数的回文数的年份,这样一些反例进行了思考。其实,在四位数的年份中,每相邻两个回文数的年份也并不一定相差110年。让我们来思考一个有趣的问题:姚老师今年29年,你知道我从出生到现在遇到的回文数年份有哪两个吗?
(学生沉默了,教师提醒孩子可以先算算老师的出生年份。不到一分钟,正确答案1991年和2002年顺利推算出来,有的是先算出老师的出生年份然后往后推想,有的是从现在的年份2010年往前推算,教师板书:2002-1991=11,说明2002年和1991年只相差11年)
师:让我们继续来聊聊回文数。(板书36)它是回文数吗?(生齐:不是)动动脑,怎样做变化,使它成为回文数?
生:在36后面添上3。
生:在36后面添上6和3。
生:在36前面添上6,或者添上6和3。
师:大家都是在36前面或者后面添上1个或者几个数字。想想看,还有不同的方法吗?
生:还可以在36的中间添上数字。比如添上3和6。
生:还可以在中间添上许多个3和许多个6,只要个数一样。
师:还有不同的方法吗?
生:还可以用36减去3,等于33。
师:你的方法真特别,既然这样——
生:还可以用36加上60。
师:哈哈,如果这样去想,方法就更多了。同学们,数学家还想出了一个与众不同的方法,想看看吗?(生齐:想)
(多媒体出示:任意取一个自然数,把它与它的倒序数相加;如果和不是回文数,再把得到的和与和的倒序数相加,按照这样的方法操作下去,直到获得回文数为止。)
师:(学生看方法)能完全看懂吗?
生:“倒序数”是什么意思?
师:有谁知道的?
生:我猜就是把数倒过来的意思。比如36,它的倒序数就是63。
师:真好,你猜对了。遇到自己不懂的,“猜”是一种方法。当然,还可以通过询问别人或上网搜索找到问题的结果。(手指大屏幕)按照这个办法我们来试一试好不好?
(教师带领学生一起熟悉方法,板书36和64两个例子。)
师:怎么样,变来变去就变成回文数了,想不想自己也来试一试?
(学生尝试,教师巡视并选择3名学生3个不同数21、22、34的计算过程进行实物投影)
师:现在,大家对于这个变化的方法有什么看法?
生:我感到太神奇了,按照这个方法,我们都算到了回文数。
师:老师听出来了,大家是不是都认为,按照这样的方法计算,结果总能得到一个回文数?(多媒体出示的内容变为:任意取一个自然数,把它与它的倒序数相加;如果和不是回文数,再把得到的和与和的倒序数相加,按照这样的方法操作下去,总能得到一个回文数。)这句话对不对呢?
生:我觉得不对,因为自然数有很多个很多个。
生:自然数有无数个,我们不可能一个个算过去。
师:其他同学听懂了吗?(学生们若有所思地点点头,但有个学生举起了手)
生:刚才我们全班选了好多数,算到的明明都是回文数。可是按照他们的观点,再选其他的数又不一定能算到回文数,我现在还没有算,这句话到底是对是错呢?
师:真好,你勇敢地说出了自己的观点。像这种看起来对,但又不能肯定对,数学上称为“猜想”,史料上把它称为“回文数猜想”。(多媒体出示:回文数猜想)
师:让我们再来举些例子算一算,这次要求同桌两人合作,允许使用计算器,这一大组算195这个数,这一大组算197这个数。大家看看,能不能算到回文数,如果能,数数算了多少次?明白了吗?
(学生分组计算,结论:195能算到回文数,算了4次;197能算到回文数,算了7次。板书:195→4次 197→7次)
师:同学们,从195出发,只要四次变化,就能得到回文数;从197出发,要七次变化,能得到回文数。想想看,在它们中间的数196,(板书:196)能算到回文数吗?(生齐:能)大家的意见很一致,那么猜猜看,要算多少次呢?(板书:196→?次)
生:5次。总归要比4次多,比7次少。
生:我觉得还可能是6次。
生:我觉得次数可能不在4和7之间,黑板上的36算了1次,64算了两次。所以我猜可能是七八次。
生:我想永远也算不完,不知道要算多少次。
师:到底是多少次呢?怎么办?
(学生们都认为用“算”的方法,教师要求学生同桌合作,使用计算器进行计算,算了约4分钟后)
师:课堂时间有限,请大家先停停笔。英国数学家牛顿说:“没有大胆的猜测,就做不出伟大的发现。”在数学上,有些事情却往往出乎我们的意料。196这个数好象特别顽皮,我们算来算去总得不到一个回文数。(稍顿)你认为这样算下去,能算到回文数吗?
生:不能。我和同桌都算了18次了。数越算越大,太烦了。
生:我认为有可能行。说不定算到哪一次就变成回文数了呢!
师:这个想法也有道理。很多数学爱好者都对196这个数充满了兴趣。有的人借助计算机,对196这个数进行了成千上万次的变化,国外有个人就算了50000步,但还是没得到期待中的回文数。就目前来是说,196这个数能不能算到回文数还是一个谜,这也还只是个猜想。充满猜想的回文数就好象是一座迷宫,等待着人类包括我们去揭示其中的奥秘。
师:同学们,关于回文数,其实还有很多有趣有意思的内容。
多媒体出示:
1.1的“金字塔”
12=1
112=121
1112=12321
11112=1234321
……
等式右边的数都是回文数。
2.乘积回文数
例:3×51=153
6×21=126
4307×62=267034
把每个算式中的乘号“×”和等于号“=”去掉,剩下的是回文数。
3.回文数的加减
将两个位数相同的回文数相加减,其结果有可能仍是一个回文数。
例:454+313=767 5775-2222=3553
(反例:2222-2112=110 并非回文数啊!)
(尝试回答:所以在这句话的后半句中点明是“有可能”。)
(教师对出示的内容进行简要说明)
师:看似简单的回文数,热情的数学家和数学爱好者们却能找到这么多有意思的内容。大胆猜测,展开你丰富的联想和想象,关于回文数,你觉得可能还存在哪些有趣的内容?或者你能提出点什么问题?
生:两个回文数相乘或者相除,会不会得到一个回文数?
生:像乘积回文数一样,除法行不行呢?
生:老师,有没有像196那样,算来算去都算不到回文数的?
师:你提出的这个问题有些数学家也进行了研究。经过计算,在前十万个自然数中就有5996个数像196一样很难得到回文数。关于回文数,在课前,姚老师还整理了一份资料,下课后发给大家,相信大家从中还会有其他的收获。
三、由内而外,延伸回文数
师:同学们,今天我们一起认识了一位新的朋友“回文数”。你们知道吗?回文数它还只是我们数学中很多特殊的数中的一个,如果把数学比作大海,回文数只是其中的一朵小小浪花。数学,它实则是一个非常庞大的世界,说它庞大,不仅仅是内容的丰富,还在于它应用的广泛,更在于它所带给了我们得无穷无尽的思考。有句话说的非常好。
(多媒体出示:音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,而数学能给予以上的一切。——(德国数学家)克莱因)
师:这是德国数学家克莱因赞美数学的一句名言。课后,请同学们完成以下作业:
多媒体出示:
1.找一找。从公元1年到现在,一共经过了哪些回文数的年份?仔细看一看,这些回文数的年份有哪些特征呢?
2.写一写。写出今天上课的感受,体裁不限,字数不限。
同事评点:
姚老师执教的《回文数》,让学生体会到了数学的趣味性,感悟到了数学的文化魅力,发展了学生的数学思考力。——俞晓
《回文数》的课堂教学充满着浓浓的数学味,新颖有趣的结课充分调动了学生的积极性,给人以数学的思考,使课堂余情未了。——黄裕辉
这节课上,我们虽然找不到生活中的数学,但学生从始至终都沉浸在数学本身的理性之中,在思考的同时渐渐感悟着数学本身的魅力,在积极自我肯定和否定的同时感受着数学自身的美。——杨勤燕
“引入回文“激发了学生的学习兴趣,“说回文例子”训练了学生的发散思维,“写回文数”培养了孩子的思考力,“玩回文数猜想”激发了学生探究的欲望,“1的金字塔”“乘积回文数”“回文数的加减”等知识介绍无不展现了数学外在的趣味性和内在的文化性,使学生真真切切地感受到了数学的美。——陆李华
《回文数》一课的教学环节紧紧相扣,问题步步深入,从引入回文时的“它们有意思在哪儿呢”,到“三位数的回文数有什么特点”,再到回文数猜想时的“你有什么想法”“到196能算到回文数吗?猜猜看,要算多少次呢”,让学生经历猜想、推想、验证等活动,丰富了学生的想象能力,更多的促进了学生的思维能力,同时也使学生体会到人类数学史的博大精深。——卞月红
学生感受:
上了《回文数》这节课,我感到数学美丽又动人,它无比神奇,非常有趣,我爱数学。——陆金舰
回文数带给了我们无穷的想象力,无穷的智慧。只有坚持探索,才能把数学玩透,我要把数学记在自己的心海里。——胡思成
我想自己建立一个博客,在博客里,我要和伙伴们一起探索数学的奥秘,享受数学带给我们的快乐。——张馨宇
很高兴,姚老师给我们上了一节“Happy maths”。回文数太神奇了,特别是196这个数,我算了十几次也没有算到回文数。可我总有一种预感,196应该是能够算到回文数的。——魏玲玲
仅仅是一个回文数就让我们快乐无限!当老师说到有一个人把196算了50000次还没有算出来时,我就有一股冲动:我要当一名数学家,来解开这个奥秘,做一个像牛顿、陈景润一样的数学家。——纪雨男
生:数学是一盏路灯,引领我走进数学的花园,走向智慧的殿堂。今天,我们就亲身感受到了数学的力量。
又是一节数学课,与以往不同的是,这是一节开心课,内容是有趣的回文数。什么是回文数呢?就像“歌唱家在家唱歌”这句话一样,倒着念依然与原来顺着念一样,如88、454、7337、43534等都是回文数。课开始不久,姚老师就给了我们一个数“36”,让我们试试把36变成回文数。这有什么难?小菜一碟嘛!同学们纷纷出谋划策,有人说在6后面添个3,有人说在3前面添个6,有人说在36中间添上36,数学科代表更是说了个与众不同的答案——直接用36减去3,大家的答案多种多样。可老师提出的“回文数猜想”的方法却独树一帜,方法是:“任取一个回文数与它的倒序数相加,若其和不是回文数,就与其倒序数相加,一直到获得回文数为止。”这说法一出立刻激发了大家的兴趣,大家立刻算了起来。咦,几乎我们每一次都成功,这可让大家非常疑惑,是不是每个自然数都可以呢?这时,姚老师微笑着将一开始回文数猜想中的最后一句话“一直到获得回文数为止”改成了“总能得到回文数”。这一举动,引起大家的反对,大家普遍认为:“自然数有很多,不可能全部试过去。”可还是有少部分人坚持自己的观点,应该能算到回文数呀,刚才我们试的那么多数不都算到回文数了吗?有趣的还在后头,老师让我们分两大组算195和197两个数,我们发现:按照以上的方法算,195算4次就能算到回文数,195算7次也能算到回文数。“那195和197中间的数196能算到回文数吗?如果能,要算多少次呢?”老师的提问引发了大家的猜想,有人说“总归要比4次多,比7次少”,有人说“可能是6次”,还有人说“可能要超过10次”。答案却令我们大感意外,196这个数好象特别顽皮,我们算了5分多钟也没算到回文数。接下来,老师给我们介绍了回文数的其它有趣的内容。原来,很多数学爱好者都对196这个数充满了兴趣。有人借助计算机,对196这个数进行了成千上万次的变化,国外有个人就算了50000步,但还是没得到期待中的回文数。看来,充满猜想的回文数就好象是一座迷宫,等待着我们人类包括我们去揭示其中的奥秘啊!
这节课让我觉得数学真奇妙,一个看似如此简单的内容,实际上却是那样的丰富、有趣。——张嘉倚
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