第12讲 二次函数的图象和性质
1．(2016·怀化)二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( A )
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)
B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C．开口向上，顶点坐标为(1，4)
D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
2．(2015·台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( B )
A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
3．(2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应
值如下表：
下列说法正确的是( D )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是x＝－
4．(2016·滨州)抛物线y＝2x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．(2016·山西)将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为( D )
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
6．(2016·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有( B )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．(2016·泸州)若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋
的值为－4．
8．(2016·河南)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．
9．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
∴其函数的顶点C的坐标为(2，－1)．
∴当x<2时，y随x的增大而减小；
当x>2时，y随x的增大而增大．
(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.
∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)；
当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)．
∴AB＝|1－3|＝2.
过点C作CD⊥x轴于D，则
S△ABC＝AB·CD＝
×2×1＝1.
10．(2015·北京)在平面直角坐标系xOy中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A、B.
(1)求点A、B的坐标；
(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
(3)若抛物线C2：y＝ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
解：(1)将y＝2代入直线y＝x－1，得x＝3，
∴A(3，2)．
∵点A、B关于直线x＝1对称，
∴B(－1，2)．
(2)将A(3，2)，B(－1，2)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线C1的表达式为y＝x2－2x－1，顶点坐标为(1，－2)．
(3)如图，当C2过点A、B时为临界情况．
将A(3，2)代入抛物线y＝ax2中，得9a＝2，
解得a＝.
将B(－1，2)代入抛物线y＝ax2中，得a＝2.
∴a的取值范围为≤a<2.
11．(2016·恩施)抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n的图象如图所示，下列判断：①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③5a－c＝0；④当x＜
或x＞6时，y1＞y2.其中正确的个数有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．(2016·滨州)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式是( A )
A．y＝－(x－)2－
B．y＝－(x＋
)2－
C．y＝－(x－)2－
D．y＝－(x＋
)2＋
13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是( C )
14．(2016·舟山)二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( D )
A.
B．2 C.
D.
15．(2016·株洲)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点A(－1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m，n)，则下列说法错误的是( B )
A．c＜3 B．m≤ C．n≤2
D．b＜1
16．(2016·宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
解：(1)把B(3，0)代入得0＝－32＋3m＋3，
解得m＝2.
∴y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x＋1)＋4＝－(x－1)2＋4，
∴顶点坐标为(1，4)．
(2)连接BC，交抛物线对称轴l于点P，连接AP，此时PA＋PC的值最小．
设Q是直线l上任意一点，连接AQ，CQ，BQ，
∵直线l垂直平分AB，
∴AQ＝BQ，AP＝BP.
∴AQ＋CQ＝BQ＋CQ≥BC，
BC＝BP＋CP＝AP＋CP，
即AQ＋CQ≥AP＋CP.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(3，0)，(0，3)代入，得∴
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
当x＝1时，y＝－1＋3＝2.
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
17．(2015·济南)如图，抛物线y＝－2x2＋8x－6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若y＝x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( D )
A．－2＜m＜ B．－3＜m＜－
C．－3＜m＜－2 D．－3＜m＜－
提示：令y＝－2x2＋8x－6＝0，可得点A(1，0)，B(3，0)，由题意可得C2的解析式为y＝－2(x－4)2＋2(3≤x≤5)．当y＝x＋m1与C2相切时(如图)，令x＋m1＝－2(x－4)2＋2，整理，得2x2－15x＋30＋m1＝0，故Δ＝152－4×2×(30＋m1)＝0，解得m1＝－
；
当y＝x＋m2过点B时(如图)，即0＝3＋m2，m2＝－3，所以当－3
时，直线y＝x＋
m与C1，C2共有3个不同的交点，故选D.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f373296ab6360b4c2e3f5727a5e9856a561226ad.html
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