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植树问题和方阵问题

发布时间：2015-09-29 09:30:37 来源：文档文库

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植树问题

（四种情况：线路两端都植树、两端都不植树、只有一端植树；环状植树）

一、非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1＝总长/间隔＋1。

常见题型如：一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？ 420/3 +1=141

二、非封闭线只有一端有“点”时，“点数”＝“段数”。

常见题型如：财院东门至文劳路的小路，长700米。要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？

三、非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”－1。

常见题型如：两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，需要种多少棵树？

四、封闭线上，“点数”＝“段数”。

常见题型如：一个圆形水池的周长60米。如果在此水池边沿每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？

例1：在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种一棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？（）

A．700 B．800 C．900 D．600

【答案：C】解析：线型植树问题，公路两边都要种树。故总棵数＝每边棵数×2。假设公路的长度为x米，则由题意可列方程：

(X/3 +1)*2+5=(X/2.5 +1)*2-115，解得x＝900，故选C。

例2：一个四边形广场，它的四边长分别是60米、72米、84米和96米，现在要在四边上植树，四角需种树，而且每两棵树的间隔相等，那么至少要种多少棵树？

A. 22 B. 25 C. 26 D. 30

【答案：C】解析此题的关键点是“四角需种树”，欲使四个角都要种树，即是要求出60、72、84和96的最大公约数，为12，然后就是环形植树问题了，套用上面的第四种情况，所求棵数为：（60＋72＋84＋96）/12＝26。

例3：为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（）。

A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵

【答案：D】解析：设两条路共长x米，共有树苗y棵，则x÷4＋4＝y＋2754，x÷5＋4＝y－396，解出y＝13000（棵）。这里需要注意的是题目要求是在两条路上植树，每条路有两个边，故总棵数＝段数＋4。

例4：—人上楼，边走边数台阶。从一楼走到四楼，共走了54级台阶。如果每层楼之间的台阶数相同，他一直要走到八楼，问他从一楼到八楼一共要走多少级台阶？（）

A．126 B．120 C．114 D．108

【答案：A】解析：这是一道植树类问题的变形。需要注意的是从一楼到四楼实际上走的是三个楼层，每个楼层有台阶数54÷3＝18（个），那么从一楼到八楼的台阶数就是：18×7＝126（个）。

例 5：若1米远栽1棵树，问在345米的道路上栽多少棵树？

A.343 B.344 C.345 D.346

答案为D。本题要考虑到起点和终点两处都要栽树，所以答案为346。

例6. 在一段路边每隔50米埋设一根广告牌，包括这段路两端埋设的广告牌，共埋设了10根。这段路长多少米？

解：“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×（10－1）＝450（米）。

例7. 小王要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

解：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷（5－1）＝25（秒）。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需25×6＝150（秒）。

例8. 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？

解：车队间隔共有30－1＝29（个），每个间隔5米，所以，间隔的总长为（30－1）×5＝145（米），

而车身的总长为30×4＝120（米），故这列车队的总长为：（30－1）×5+30×4＝265（米）。

由于车队要行265＋535＝800（米），且每秒行2米，

所以，车队通过检阅场地需要（265＋535）÷2＝400（秒）＝6分40秒。

例9. 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？

解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数（每个长6毫米）。根据植树问题的第（3）种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5－1＝4（个），所以重叠部分的长为6×（5－1）＝24（毫米），又4厘米＝40毫米，所以五个铁环连在一起长：40×5－6×（5－1）＝176（毫米）。同理，十个铁环连在一起的长度为：40×10－6×（10－1）＝346（毫米）。

例10. 甲乙两人一起攀登一个有300个台阶的山坡，甲每步上3个台阶，乙每步上2个台阶。从起点处开始，甲乙走完这段路共踏了多少个台阶？（重复踏的台阶只算一个）。

解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，乙踏过的台阶数为300÷2＝150（个），甲踏过的台阶数为300÷3＝100（个）。由于2×3＝6，所以甲乙两人每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷6＝50（个）。所以甲乙两人共踏了台阶150＋100－50＝200（个）。

核心要点提示：①总路线长；②间距(棵距)长；③棵数。只要知道三个要素中的任意两个要素，就可以求出第三个。

　　【例题1】李大爷在马路边散步，路边均匀的栽着一行树，李大爷从第一棵数走到第15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树是共用了30分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？

　　A.第31棵 B.第32棵 C.第33棵 D.第34棵

　　解析：李大爷从第一棵数走到第15棵树共用了7分钟，也即走14个棵距用了7分钟，所以走每个棵距用0.5分钟。当他回到第5棵树时，共用了30分钟，计共走了30÷0.5=60个棵距，所以答案为C。第一棵到第33棵共32个棵距，第33可回到第5棵共28个棵距，32+28=60个棵距。

　　【例题2】为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：（）

　　 A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵

　　解析：设两条路共有树苗ⅹ棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可根据路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因为2条路共栽4排，所以要减4) 解得ⅹ=13000，即选择D。

例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？

　　分析:要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。

　　解：以10米为一段，公路全长可以分成900÷10＝90（段）　　共需电线杆根数：90+1=91（根）

例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树,张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

　　分析:张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.

　　解：5分钟汽车共走了：9×（501-1）=4500（米），

　　汽车每分钟走：4500÷5=900（米），

　　汽车每小时走：900×60=54000（米）=54（千米）

例3 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花,问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？

　　分析:①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。

　　解：共栽芍药花：180÷6＝30（棵）

　共种月季花：2×30＝60（棵）

　　两种花共：30+60=90（棵）

　　两棵花之间距离：180÷90=2（米）

　　相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。

例4 一个街心花园如右图所示,它由四个大小相等的等边三角形组成,已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

　　分析:①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍,又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为9×2-1=17（棵）。②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花(17-1）×3=48（棵）。③再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上，在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵）

　　解：大三角形三条边上共栽花：（9×2-1-1）×3=48（棵）

　　中间画斜线小三角形三条边上共栽花：（9-2）×3=21（棵）

　　整个花坛共栽花：48+21=69（棵）

例5一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？ 150/3=50

例6有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？17+16+16+15=（17-1）×4=64

例7在一条路上按相等的距离植树,甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发,当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树,已知乙每分钟走36米。问：甲每分钟走多少米？

解：甲走到第22棵树时走过了22-1＝21（个）棵距,同样乙走过了10-1＝9（个）棵距。乙走到第10棵树，所时（9×棵距÷36），这个时间也是甲走过21个棵距的时间，甲的速度为：21×棵距÷（9×棵距÷36）=84米/分。

例8在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点，从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？

1 根据已知条件，从左至右每隔6厘米点一红点，不难算出共有17个点（包括起点，终点）并余4厘米。②100厘米长的棒从右到左共点21个点，可分为20段，而最后一点与端点重合，相当于从左到右以5厘米的间距画点。③在5与6的公倍数30中，不难看出有2个4厘米的小段；同样在第二个和第三个30厘米中也各有2个，剩下的10厘米只有一个4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7（段）4厘米长的间距.

例9水池的四周栽了一些树，小贾和小范一前一后朝同一个方向走，他们都边走边数树的棵数，小贾数的第21棵在小范那里是第6棵；小贾数的第8棵在小范那里是第95棵。则水池四周栽了多少棵树？

　　 A.142　　　B.137　　　C.102　　　D.100

贾 21 20 19 18 17 16 …… 8

范 6 5 4 3 2 1 95

8到16中间共7棵，所以95+7=102

方阵问题

假设方阵最外层一边人数为N,空心方阵的层数为n

1．实心方阵总人数=N^2

空心方阵总人数=(N-n) ×n×4

2．最外层人数=（N－1）×4

方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1

3．每向里一层，每边上的人数就少2

方阵外一层总人数比内一层总人数多8

4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？最外层每边的人数96/4+1＝25，共有学生25*25=625

例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?最外层有(15-1)*4=56个，则最里层为56-8*2=40，共用棋子（15－3）*3*4＝144

例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

A．256人 B．250人 C．225人 D．196人

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。所以，正确答案为A。

例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17

方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）

1. 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：

A．1元 B．2元 C．3元 D．4元

2. 某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少？ 500人

例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

　　解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）

　　整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）

例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

　　分析方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4

　　解1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）

　　第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）

　　第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.

　　摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）

　　解2：（14-3）×3×4=132（个）

例5.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?

解:方阵最外层每边的人数:20÷4+1=6(人)

　整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)

例6.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?

分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。

解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)

　　(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)

　　(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)

例7.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)

解:假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)

　丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)

　空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人)

答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。

例8.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?

分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。

　　当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。

解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)

　　(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:

　　　　杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)

　　　　柳树:7×7-25=24(棵)

　　(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树

　　　　柳树(7×7+1)÷2=25(棵)

　　　　杨树7×7-25=24(棵)

答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。