奇妙的图形密铺

《苏教版小学数学教材中数学史的渗透的实践研究》

案例

案例一：

奇妙的图形密铺

教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。

教学目标：

1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。

2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密铺的特点，了解密铺的条件。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。

3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。

教学重点：掌握密铺的特点，知道哪些平面图形可以进行密铺。

教学难点：理解密铺的特点，了解密铺条件，能进行简单的密铺设计。

教学过程：

一、感受密铺——观察与理解

1.谈话导入：同学们，老师这有一幅图片，你能看出是从哪里拍来的吗？

课件出示：

生答：某一个墙面。

师：那你能告诉大家它是用什么形状的瓷砖铺成的吗？

生：长方形。

依次出示：

师：这些呢？

生：可能是地面或墙面，分别用正六边形和正方形瓷砖铺设而成。

师：我们常用这样的图形铺设墙面或地面，有什么好处呢？

生：美观，平整，无空隙等。

师：如果只用圆形地砖铺设地面，好不好？为什么？出示幻灯片

生：不好。会有空隙。（师板书：空隙）

师：那再铺一层不就行了？动态演示

生：这样也不行，会有重叠。（师板书：重叠）

师：也就是咱们如果只用圆形地砖铺设地面要么就有空隙，要么就会重叠。再回过头来看，刚刚的三幅图片，它们铺的时候有什么共同特点？

生：既无空隙，又不重叠。

（师补全板书：既无空隙，又不重叠，铺在平面上）

师小结：无论什么形状的图形，如果能既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这就是平面图形的密铺。

2、从刚出示的几幅图中，你知道哪些图形能够密铺吗？（正六边形、长方形、正方形）

3.继续出示图片：

课件出示：下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为什么？

生：第一幅图是密铺，因为每个三角形之间既没有空隙，也不重叠；第二、第三幅图都不是密铺，因为第二幅图图形之间有空隙，第三幅图图形之间是重叠的。

3.联系生活、揭示课题。

师：既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中也有很多咱们一起来欣赏。

观看课件：生活中的密铺现象。（水立方，拼图，地面，墙面）

师：的确，我们的生活离不开密铺，密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天，我们就一同走进图形密铺世界。（板书：图形密铺）

二、探究密铺——猜想与验证

(一)我们先来研究一种平面图形的密铺

1.课件出示：下面哪些图形也能密铺？

2.学生猜测。

3.动手操作、实践验证。

(1)师：那么这些猜测都对吗？怎样知道大家的猜测是否正确呢？就让我们一起来动手来操作验证吧。

学生动手操作交流。

4.汇报结果、展示交流。

师： 哪个小组说说你们的发现？

生汇报：能密铺的图形有平行四边形、正三角形、等腰梯形。不能密铺的有圆形与正五边形。

师课件展示部分作品验证。

5、归纳：通过刚才大家操作验证，我们知道正五边形、圆不能单独密铺平面，其他五种图形都能单独密铺一个平面。

小结：正五边形和圆不能够密铺。

6、延伸：

师：咱们知道正三角形能密铺，那一般的三角形呢？为什么？（同桌交流）

生：我觉得能。可以将两个完全一样的三角形通过旋转平移转化为平行四边形。之前验证了平行四边形能密铺。所以一般的三角形能密铺。

师：那大家还能想到两个完全一样的什么图形能组成平行四边形？（梯形）

（课件演示转化过程）

小结：形状、大小完全相同的三角形或梯形可以密铺。

7、猜一猜

怎样的图形能够密铺呢？？

学生说明猜想

老师给大家准备了正多边形的密铺阅读材料，看了也许能给大家启发哦。

学生自学 阅读材料1——正多边形的密铺

(1)学生汇报收获

(正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。正六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好是360度，正三角形的每个内角都是60度， 6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。)

(2)师：正五边形不能密铺，现在你能解释了吗？

生：360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角处不能保证没有空隙或重叠现象，所以正五边形不可以密铺。

出示：360÷108=3……36

（3）师：正八边形能密铺吗？解决这个问题，要知道什么条件呢？

生：只要知道正八边形的一个内角是多少度就行了。

师出示：（正八边形每个内角135°）现在你能判断了吗？

生：能。360÷135=2……90 ，正八边形不能密铺。（课件演示）

（4）现在你能再说说看怎样才能密铺吗？

小结：一周有360度，如果能正好把这360度铺严，（在公共顶点上几个角度数的和正好是360度 ）就可以进行密铺。

（5）师：平行四边形，长方形和梯形可以进行密铺，它们都是特殊的四边形，你想提出什么问题呢？

生：任意的四边形可以进行密铺吗？

通过动手拼一拼验证一下猜想。

四人小组，动手验证交流。汇报，演示。

师：通过动手去拼，发现任意的四边形可以进行密铺。那你能根据咱们刚刚总结的规律解释一下吗？

生：公共顶点处四个角正好是四边形四个内角，四边形内角和360°，所以任意的四边形可以密铺。

(二)两种平面图形的密铺

1、用同一种平面图形密铺图形会较为单调，看看下面的图形，与之前有何不同？（出示四幅组合密铺图形）

生：之前是一种图形单独密铺，这几幅图是由两种或以上的图形组合密铺。

师：你有什么感受？

生：很漂亮，美观，色彩鲜艳等。

小结：可以用同一种平面图形密铺,但生活中，常常为了使图案更加美观，可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。

2、用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?

课件演示：

小结：用同一种平面图形如果不能密铺,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。

3、七巧板

欣赏了这么多美妙的密铺图案，想不想自己动手试一试？

（1）出示七巧板，七巧板表面这个图形属于密铺吗？它是由哪几种图形密铺而成的？你能从七巧板中选出几种不同的图形密铺一个平面吗？

（2）操作要求:

①铺一铺：同桌合作，选几种不同的图形铺一铺，把你的作品保留在桌面上；

②品一品：小组成员相互欣赏和介绍各自的作品。

（3）学生作品欣赏与交流。

（4）小结延伸

通过刚才拼摆，你有什么发现？

小结：原来，不仅用一种平面图形密铺一个平面，用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。设计师正是将数学与艺术的结合，用密铺的方法为我们设计了许多赏心悦目的图案。

三、欣赏与了解

古往今来，许多艺术家、数学家对密铺都有浓厚的兴趣，咱们一起来了解密铺的历史吧。

（1）学生阅读材料2——密铺的历史

（2）生发表感受与收获

师：咱们刚刚都是用几何图形进行密铺，荷兰的艺术家埃舍尔用许多奇特的图形组成了密铺，像是人物、动物、甚至是一些凭空想象的事物，想不想一起来看看？

生：想。

出示埃舍尔人物图片及四幅作品展示。

师：你看出是由什么图形密铺而成的吗？

学生欣赏并说一说自己的发现（骑士和马、鸟、螃蟹、小丑）

四、回顾与总结

1、课后任务：自己设计一幅漂亮的密铺作品

2、谈话：同学们，今天我们一起研究了图形的密铺，你有什么收获？

师总结：是的，密铺就在我们的身边，无时无刻不在装点着我们的生活！希望大家学了今天的知识，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。同时，它还是一门学问，在美丽的密铺后，还有太多的数学奥秘等待我们去探索。

数学史料

密铺的历史

1619年——数学家奇柏（J.Kepler）第一个利用正多边形铺嵌平面。

1891年——苏联物理学家费德洛夫（E.S.Fedorov）发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。

1924年——数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigele）重新发现这个事实。

密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究。

最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔（M.C.Escher）与密铺。Escher于1898年生于荷兰。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕拉（Alhambra）的建筑物有很深的印象，这是一种十三世纪皇宫建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。Escher用数日的时间复制了这些图案，并得到了启发，创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案，这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生了另一种看法。

案例二：

有趣的七巧板

教学内容:

苏教版 二年级(上册) 第28-29页。

教学目标：

1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料，获取有用的知识，为利用七巧板拼摆图形，进一步丰富学生对图形的感性认识奠定基础。

2、  通过拼摆等操作活动，培养学生的观察、操作、想象和一定的创造能力，发展空间观念。

3、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法，并养成数学阅读的习惯，在阅读中增强民族自豪感。

教学重难点：

1、 通过阅读寻找出有关七巧板的资料，进一步丰富学生对图形的感性认识。

2、 通过这节课让学生掌握寻找资料的方法，并养成数学阅读的习惯，在阅读中增强民族自豪感。

教学准备：

课件、七巧板学具

教学过程：

一、创设情境，导入新课

同学们今天老师带来了一个谜语，想请同学们来猜谜，注意听：

一二三四五六七，

七个兄弟在一起，

齐心合力拼图形，

千变万化真神奇。

（七巧板）

是的，今天就让我们一起来认识这个新朋友，看看它有哪些本领。（板书：七巧板）

二、介绍七巧板

（1）集体阅读

在课前大家收集了许多关于七巧板的资料，谁来当小老师给大家说一说（指名说）

你是怎样收集到这些资料的？（上网、书店、图书馆）

还有谁想说？（同桌说）

（2）交流体会

小朋友真了不起，收集了这么多关于七巧板的资料，听了这些故事你有什么感受？（指名说）

（3）小结

七巧板是古时候我们中国人发明的一种非常有趣的玩具，利用它可以重新组合成几百种不同的图形呢!你们瞧(屏幕出示很多图)，变化多不多呀?外国朋友对我们中国的七巧板也很感兴趣，还给它取了个神奇的名字叫"东方魔板"。你们想不想来玩一玩这块"东方魔板？

三、初步感知，建立表象

1.认识七巧板。

谈话:老师也带来一副七巧板（点击课件）仔细观察：

（1）分一分:一副七巧板中有几种不同的图形呢?分别是？

（2）数一数:每一种图形有几个?

(3)比一比:哪些图形是完全一样的?(学生回答后电脑演示)

（4）小结：有几组完全一样的三角形？（2组）

四、动手操作，深入探索

1.用两块拼。

（1）谈话:我们先来简单一点的，拿出七巧板中的两块拼出一个我们认识的正方形。

你听懂了些什么？

（2）学生拼图。

(3)指名在实物投影仪上演示。

任意2块吗？（不是，要是）

(4)提问:你会再用这两块2块完全一样的三角形拼出其他图形吗？     

(5)学生拼图。

(6)在实物投影仪上演示。

(7)小结:用这两个完全一样的三角形，可以拼成正方形、三角形、平行四边形、菱形。

2.用三块拼。

（1）谈话:再请小朋友拿出七巧板中的三块拼出我们认识的图形。

你想拿出哪三块？

（2）学生拼图。

(3)在黑板上展示，并让学生说说拼成了什么图形。

小结:用这3块，可以拼成正方形、长方形、三角形、平行四边形、五边形、梯形。

3.用四、五、六块拼。

（1）谈话:这一次我们要来难一点的了，大家可以小组合作，共同完成。要求是用七巧板中的四块、五块、六块来排出我们认识的图形。

（2）小组合作拼图。

 介绍本组拼成了什么图形，是用哪些图形拼的。

4.用七块拼。

 （1）谈话:七巧板不仅能拼出我们学过的图形，而且能排出我们生活中看到的各种有趣的图形。(点击课件)你们看看，这些图形像什么?

（2）谈话:请小朋友拿出自己的七巧板，用里面的七块图形排出你喜欢的图形。     

(3)参观、评点作品(有自评、他评)。

（4）创新拼：你还想用七巧板拼出哪些图形？

全班展示、评点作品

五、全课总结，拓展延伸

1.谈话:看了黑板上同学们的作品，有什么感想?

数学史料

七巧板的来历

“七巧板”又称“智慧板”，是我国古代的一种拼板工具。七巧板中有长方形、平行四边形和三角形。它的数目不多，却能拼出很多种图形，如能拼出从0到9的十个数字，或汉语拼音字母，也能拼出几何图形、动物、建筑物等。那简简单单的七块板，竟能拼出千变万化的图形。谁能想到呢，这种玩具是由一种古代家具演变来的。

宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。

后来有人把它改进为7张桌组成的宴几，可以根据吃饭人数的不同，把桌子拼成不同的形状，比如3人拼成三角形，4人拼成四方形，6人拼成六方形……这样用餐时人人方便，气氛更好。

后来，有人把宴几缩小改变到只有七块板，用它拼图，演变成一种玩具。因为它十分巧妙好玩，所以人们叫它“七巧板”。

到了明末清初，皇宫中的人经常用它来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板呢！

18世纪，七巧板传到国外，立刻引起极大的兴趣，有些外国人通宵达旦地玩它，并叫它“唐图”，意思是“来自中国的拼图”。

案例三：

用字母表示数

教学目标：

1、使学生初步理解用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示简单的数量，数量关系和计算公式。

2、使学生完整地经历用含有字母的式子表示简单的数量，数量关系和计算公式的过程，进一步体会数学的抽象性和概括性，发展符号感。

3、培养学生用字母表示数的意识和兴趣，使学生进一步产生对数学学习的好奇心。

教学重难点：

1、让学生经历由具体到抽象的字母，由具体的乘法算式到含有字母的乘法式子的过程。

2、理解含有字母的式子表示的含义。

教学过程：

一、 唤起经验，主动建构

1． 利用四张扑克牌，算“24点”游戏。

课件呈现：6、7、A、10。

师：同学们，玩过24点吗？现在屏幕上给出4张牌，大家来算一算。

生1：6 ＋ 7 ＋ 1 ＋ 10 ＝ 24。

生2：（10 － 7 ＋ 1） × 6 ＝ 24。

师：你们算的很好，可这里没有1呀？

生：A就是1。

师：这里A表示特定的数1。

3． 出示数列：2、4、6、m、10……

师：我们来看这个有规律的数列，你们知道m表示多少呢？

生：m表示8。

师：在算“24点”游戏中，在有规律的数列中，字母表示的都是特定的数。字母还能表示哪些数呢？今天我们一起来学习“字母表示数”。（出示课题）

二、 层层递进，逐步建构

1． 经历用字母表示数的抽象概括过程。

（1） 课件演示用小棒摆三角形，学生用式子表示摆不同个数三角形所用小棒的根数。

师：摆1个三角形需要几根小棒？

生：3根

师：我们可以这样列式：1 × 3。板书（1 × 3）

如果摆2个这样的三角形需要几根小棒，怎样列式？

生：2 × 3。板书（1 × 3）

师：如果这样摆3个呢？会写吗？4个呢？……请把式子写在学习纸上的“书写天地”中。

学生书写、汇报，教师板书。

（2） 让学生在写式子的过程中，认识到用一个算式来表示摆三角形小棒根数的局限性，产生需要字母来表示的主观需求。

师：一个式子可以表示摆的一种情况。谁能用更多的式子表示摆不同个数三角形时所用小棒的根数。

生：学生继续写下去。

学生开始写式子，写着写着，相继停笔。

师：为什么不写啦？

生1：这样写下去，永远写不完。

生2：可以写许多式子，写不完。

（3） 寻求解决策略：用一个式子概括所有式子。

师：大家能不能想个办法，用一个式子概括所有的式子呢？

生1：a × 3，a表示三角形的个数。

师：你创造了用字母来概括的方法。还有其他想法吗？

生2：…… × 3，用“……”表示许多三角形的个数。

生3：我 × 3，用“我”表示三角形的个数。

生4：a × b，a表示三角形的个数，b表示3。

生5：b表示的一定是3，就应该直接写3，写成a × 3。

师：同学们想出了许多种表示三角形个数的办法，有用字母的，有用标点符号的，还有用汉字的，为了便于理解和应用，在数学中我们选择用字母来表示。

（4） 同一题中可以用不同字母来表示。

师：除了用a表示三角形的个数，还可以用其他字母吗？

生1：可以写成b × 3。

生2：也可以写成n × 3。

生3：写成x × 3。

师：可以用不同的字母表示三角形的个数。这时的字母可以表示几呢？

生1：可以表示5。

生2：可以表示1、2、3、4、5、6、7等等。

生3：可以表示自然数。

师：看来，这里的字母所表示的数不再是特定的数了，而是变化的数，我们不确定的数，也就是未知的数。（板书：未知的数）

师：刚才有同学说这个字母所表示的是自然数，那它不可以表示什么数？

生1：不可以表示小数，因为三角形的个数如果是小数，那就不完整，不是三角形了。

生2：同样那也不能表示分数。

师：所以我们字母表示数是有一定范围的。

2． 初步理解含有字母的式子既表示数量，也表示数量关系。

（1） 出示年龄的表格，体会规律。

师：请问同学自我介绍下。

生：我叫某某，我今年多少岁。

师：你想指导老师的年龄吗？我不告诉你。只告诉我比她大15岁。

课件演示：老师比同学大15岁。

师：你知道我多少岁嘛？能用式子表示吗？

生：10+15。

师：大家猜一下，她1岁时，老师可能是几岁呢？

生：1+15。

师：她7岁时，老师可能是几岁呢？

生：7+15。

师：随着她慢慢长大，当她到20岁时，陈老师几岁了？

生：20+15。

师：像这样我们还能继续写下去。你能用一个式子来表示这么多式子吗？

许多同学举手想说。

生1：用a表示同学的年龄。

生2：那么，a + 15表示的就是老师的年龄。

（2） 将字母作为数学对象，理解意义。

师：回答很好，你知道这里a和前面的a意义是否相同吗？

生：不一样，前面表示的是三角形的个数。这里表示年龄。

师：前面a可以取任意自然数，这里呢？我们可以取200,300,500吗？

生：不可以，人活不到这么长。

师：老师上网查询了，曾经的长寿冠军是122岁。所以啊，字母表示数在不同的题目中是有范围的。

师：a + 15这个式子告诉我们什么呢？

生：老师年龄和老师比她大15岁。

（4） 体会数学研究的是千变万化中不变的关系。

师：在这里我们不难发现，学生的年龄是变化的，老师的年龄也是变化的，然而“a + 15”所表示的数量关系却是不变的。正如开普勒所说，数学就是研究千变万化中不变的关系。（板书：表示数量关系）

3． 进一步去理解含有字母的式子既表示数量，也表示数量关系。

师：我们继续往下看。学校有美术组24人，书法组比美术组多6人，纳闷书法组多少人？你能用式子表示吗？

生：24+6

师：这里24+6我们能知道哪些信息？

生：表示书法组人数，和书法组比美术组多6人。

师：我们继续看，舞蹈组比美术组多9人，舞蹈组有多少人？

生：24+9

师：现在合唱组比美术组人数多，但我们不知道具体多的人数，这里我们可以用什么来表示？

生：字母

师：很好，我现在用x表示。问合唱组有多少人？

生：24+x

师：如果x=10呢？口算

生：34

师：如果x=14呢？

生：38

4． 用规定的字母表示计算公式。

（1） 关于正方形周长与面积的计算公式。

学生书写，板书交流。

师：这里的a表示的是什么？

生：正方形的边长。

师：那么，这里的a除了可以表示非零自然数外，还可以表示哪些数？

生1：可以表示小数。

生2：还可以表示分数。

师：刚才表示三角形的字母只能表示自然数，看来，在不同情况下，字母所表示的数的范围是不一样的。

（2） 关于含有字母的乘法式子的简写。

学生自学，汇报板书。

小结：在含有字母的乘法式子中，数与字母相乘，或是字母与字母相乘，乘号可以简写成“·”，也可以省略不写。数与字母相乘时，数要写在字母之前。

4. 练习。

（1）省略乘号，写出下面的式子。

①4×b可以写成4b。

②x×5可以写成5x。

③a×c可以写成a · c，也可以写ac。

④1×m可以写成m。

（2）口答

1×b＝ x×1＝ a×1＝ 1×k＝

（3）练习

1、填一填

x×x＝（ ）

＝（ ）×（ ）

2、直接写得数

= = = 2×4=

三、 拓展应用，完善建构

1．你是小导游。

出示某旅游平面图，图中标出南湖一小、莫愁湖公园、奥体中心、红山动物园等4个场所的位置及各场所之间的距离（有用字母表示的，有用数表示的）。

用含有字母的式子表示两地之间的距离：从南湖一小分别到莫愁湖公园、奥体中心、红山动物园需要多少路程？

（1） 莫愁湖公园。

结合莫愁湖门票a元，让学生在括号里填上含有字母的式子。

（2） 奥体中心。

一起朗读一篇数学日记，完成填空。使学生进一步感受用字母表示数的概括性和抽象性。

（3） 红山动物园。

红山动物园来了新的来宾：鸵鸟。别看他们在散步，他们跑起来可快了。学生根据以上题中信息填空。并整理路程和时间，速度的关系。

2．编儿歌：数青蛙。

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……

四、 总结反思，拓展延伸

1． 让学生说一说这节课的主要收获以及感觉遗憾的地方。

2． 课件播放短片，简单介绍用字母表示数的发展过程。

数学史料

乘号的来历

同学们你知道乘号的来历吗？

17世纪前，有人用过字母M表示乘法。M是拉丁文（mutiply）中的乘单词的第一个字母。显然，用字母参与乘法运算时相当繁琐的。

1631年，英国数学家奥特雷德发现乘法也是相加的意思，但是又和加法有所不同，怎样表示更合适呢？他想：能不能把“＋”旋转45度角，斜过来用“×”表示乘法呢？当奥特雷德的这种设想成为现实时，乘号“×”便问世了。 奥特雷德

但是数学家莱布尼兹认为乘号“×”和拉丁字母“x”很相似，容易引起混淆，所以他反对使用这个符号。他很赞成数学家哈里奥特首创的符号“• ”表示乘法。这个点乘号被整个欧洲大陆和拉美国家所普遍采用。但这个记号和小数点号相似，容易引起新的混淆。后来有人干脆用逗号“，”来代替原点，但这种方法迄今没有被人所接受。

莱布尼兹

实际上，“×”和“• ”这两个乘号同时被使用着，一直沿袭到今天。

代数之父———韦达

三百多年前的一位法国数学家———韦达首先使用了字母表示数，认为字母不只代表一个数，而且能代表很多数，甚至可以代表无穷多的数。按照这个办法，人们解决了许多问题。这种用字母代替数的思想就是代数思想，所以人们称韦达是代数之父。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e76ef0387ed5360cba1aa8114431b90d6d858948.html