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武汉市2014届高三二月调考数学(文科)

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武汉市2014届高三2月调考
数学（文科）
2014.2.20
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数为
A．3错误！未找到引用源。B．4错误！未找到引用源。C．7错误！未找到引用源。D．8错误！未找到引用源。2．设a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x＝ln(x2＋2的图象大致是

4．某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40，[40，60，[60，80，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是
A．45B．50C．55D．60
5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是
A．4B．7C．11D．16
6．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是
A．(－∞，1]错误！未找到引用源。B．(－∞，1错误！未找到引用源。
C．[1，＋∞错误！未找到引用源。D．(1，＋∞7．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°8．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织
数学（文科）试卷第1页（共8页）


布每天增加
416816A．尺B．尺C．尺D．尺
72915319．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，
A
G．设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝B1F．在长方1体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为
A
113137A．B．C．D．
164168
2
D1
ED
HC1G
B1
FB
C
x2
10．抛物线C1：错误！未找到引用源。x＝2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：错误！未找
3
到引用源。－y2＝1的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝A．
3323错误！未找到引用源。B．错误！未找到引用源。C．错误！1683
43
错误！未找到引用源。3
未找到引用源。D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位．．．．．．．
置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．下图是某公司10个销售店某月销售某品牌电脑数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[19，30内的频率为．
12．若复数z＝(m2－7m＋15＋(m2－5m＋3i（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点
位于直线y＝－x上，则m＝．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该66几何体的表面积为．
33

555
14．若点(x，y位于曲线y＝|x－2|与y＝1所围成的封闭区域内，则2x＋y的最小值为．正视图侧视图15．如下图①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样
的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小圆圈个数为f(n，则（Ⅰ）f(5＝；
（Ⅱ）f(2014的个位数字为．
俯视图


数学（文科）试卷第2页（共8页）


16．过点P(－10，0引直线l与曲线y＝－50－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB
的面积取最大值时，直线l的斜率等于．π
17．已知函数f(x＝3sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则
2
（Ⅰ）m＝；
（Ⅱ）当f(x在[a，b]上至少含有20个零点时，b－a的最小值为．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B＝cosC．（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a＝32，b＝10，求c．
19．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足0＜a1＜2，an＋1＝2－|an|，n∈N*．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；
（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA＝1，AD＝2，求三棱锥E-BCD的体积．
数学（文科）试卷第3页（共8页）


21．（本小题满分14分）
已知函数f(x＝ex－1－x．（Ⅰ）求f(x的最小值；（Ⅱ）设g(x＝ax2，a∈R．
1
（ⅰ）证明：当a＝时，y＝f(x的图象与y＝g(x的图象有唯一的公共点；
2（ⅱ）若当x＞0时，y＝f(x的图象恒在y＝g(x的图象的上方，求实数a的取值范
围．22．（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD中，|AB|＝22，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，→→→→分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知OR＝λOF，CR′＝λCF，其中0＜λ＜1．
x22
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y＝1上；
2
（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

数学（文科）试卷第4页（共8页）



武汉市2014届高三2月调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题
1．D2．A3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．D10．D二、填空题
11．0.612．313．33π14．315．（Ⅰ）21；（Ⅱ）3
16．－
328π
17．（Ⅰ）0；（Ⅱ）33
三、解答题
18．（本小题满分12分）
π解：（Ⅰ）由sin(A－B＝cosC，得sin(A－B＝sin(－C．
2
∵△ABC是锐角三角形，
ππ
∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，①
22又A＋B＋C＝π，②
π
由②－①，得B＝．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
4（Ⅱ）由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得
π
(102＝c2＋(322－2c×32cos，
4即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．
当c＝2时，b2＋c2－a2＝(102＋22－(322＝－4＜0，∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．
故c＝4．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0＜a1＜2，
∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|＝2－(2－a1＝a1．∵a1，a2，a3成等比数列，
22
∴a22＝a1a3，即(2－a1＝a1，解得a1＝1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则
由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1＝2a1，解得a1＝1．
从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；
因此，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．„„„„„„„„„„„12分
20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
数学（文科）试卷第5页（共8页）


∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD．又PA∩PC＝P，∴BD⊥平
PAC．„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分（Ⅱ）如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，由题设条件知，四边形ABCD为正方形．
由AD＝2，得AC＝BD＝22，OC＝2．
面
在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝12＋(222＝3．易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
OECEOCOECE224
∴＝＝，即＝＝，∴OE＝，CE＝．
PAACPC122333
1111248
∴VE-BCD＝S△CEO·BD＝·OE·CE·BD＝···22＝．„„„13分
33263327
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）求导数，得f′(x＝ex－1．
令f′(x＝0，解得x＝0．
当x＜0时，f′(x＜0，∴f(x在(－∞，0上是减函数；当x＞0时，f′(x＞0，∴f(x在(0，＋∞上是增函数．
故f(x在x＝0处取得最小值f(0＝0．„„„„„„„„„„„„„„„„„4分（Ⅱ）设h(x＝f(x－g(x＝ex－1－x－ax2，则h′(x＝ex－1－2ax．
1
（ⅰ）当a＝时，y＝ex－1－x的图象与y＝ax2的图象公共点的个数等于
2
1
h(x＝ex－1－x－x2零点的个数．
2
∵h(0＝1－1＝0，∴h(x存在零点x＝0．由（Ⅰ），知ex≥1＋x，∴h′(x＝ex－1－x≥0，
∴h(x在R上是增函数，∴h(x在R上有唯一的零点．
1
故当a＝时，y＝f(x的图象与y＝g(x的图象有唯一的公共点．„„„9分
2（ⅱ）当x＞0时，y＝f(x的图象恒在y＝g(x的图象的上方
⇔当x＞0时，f(x＞g(x，即h(x＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．由（Ⅰ），知ex≥1＋x（当且仅当x＝0时等号成立），故当x＞0时，ex＞1＋x．
h′(x＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2ax，
1
从而当1－2a≥0，即a≤时，h′(x≥0（x＞0），
2∴h(x在(0，＋∞上是增函数，又h(0＝0，于是当x＞0时，h(x＞0．
－
由ex＞1＋x（x≠0），可得ex＞1－x（x≠0），
1－－从而当a＞时，h′(x＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(ex－1＝ex(ex－1(ex－2a，
2故当x∈(0，ln2a时，h′(x＜0，
数学（文科）试卷第6页（共8页）


此时h(x在(0，ln2a上是减函数，又h(0＝0，于是当x∈(0，ln2a时，h(x＜0．
1
综上可知，实数a的取值范围为(－∞，]．„„„„„„„„„„„14分
2
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知，得F(2，0，C(2，1．
→→→→
由OR＝λOF，CR′＝λCF，得R(2λ，0，R′(2，1－λ．又E(0，－1，G(0，1，则
1
直线ER的方程为y＝x－1，①
2λ直线GR′的方程为y＝－
λ
x＋1．②2
2
22λ1－λ
由①②，得M(，．
1＋λ21＋λ2
22λ2(1＋λ21－λ224λ2＋(1－λ22(1＋λ22∵＋(＝＝＝1，
21＋λ2(1＋λ22(1＋λ22
x22
∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y＝1上．„„„„„„„„„„6分
2（Ⅱ）假设满足条件的点N(x0，y0存在，则
y0
直线NF1的方程为y＝k1(x＋1，其中k1＝，
x0＋1y0
直线NF2的方程为y＝k2(x－1，其中k2＝．
x0－1
y＝k(x＋1，21
222
由x消去y并化简，得(2k21＋1x＋4k1x＋2k1－2＝0．2
2＋y＝1．
2k24k21－21
设P(x1，y1，Q(x2，y2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝2．
2k1＋12k1＋1∵OP，OQ的斜率存在，
∴x1≠0，x2≠0，∴k21≠1．
x1＋x2y1y2k1(x1＋1k1(x2＋1∴kOP＋kOQ＝＋＝＋＝2k1＋k1·
x1x2x1x2x1x2
4k22k11
＝k1(2－2＝－2．
2k1－2k1－1
同理可得kOS＋kOT＝－
2k2
．2
k2－1

2
k1k2k1k22－k1＋k1k2－k2
∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(2＋2＝－2·2
k1－1k2－1(k21－1(k2－1
2(k1＋k2(k1k2－1＝－．2
(k21－1(k2－1
2(k1＋k2(k1k2－1
∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－＝0，即(k1＋k2(k1k2－1＝0．2
(k21－1(k2－1由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，
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y0y0
∴k1k2＝1，即·＝1．③
x0＋1x0－1又y0＝x0＋2，④53
解③④，得x0＝－，y0＝．
44
53
故满足条件的点N存在，其坐标为（－，）．„„„„„„„„„„„„14分
44
数学（文科）试卷第8页（共8页）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e6d6838a0c22590103029d1a.html

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