2015· 全国卷2（理数）

2015·全国卷Ⅱ(理科数学)

1．A1[2015·全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)

A．{－1，0} B．{0，1}

C．{－1，0，1} D．{0，1，2}

1．A　[解析] 因为B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A.

2．L4[2015·全国卷Ⅱ] 若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

2．B　[解析] 因为(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以4a＝0，且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.

3．I4[2015·全国卷Ⅱ] 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)

图1­1

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

3．D　[解析] 由图知，2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.

4．D3[2015·全国卷Ⅱ] 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)

A．21 B．42

C．63 D．84

4．B　[解析] 由a1＝3，得a1＋a3＋a5＝3(1＋q2＋q4)＝21，所以1＋q2＋q4＝7，即(q2＋3)(q2－2)＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42，故选B.

5．B7[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)

A．3 B．6

C．9 D．12

5．C　[解析] 因为f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2(log212－1)＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.

6．G2[2015·全国卷Ⅱ] 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1­2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)

图1­2

A. B.

C. D.

6．D　[解析] 几何体的直观图为正方体ABCD ­ A1B1C1D1截去了一个三棱锥A ­ A1B1D1，如图所示．易知V三棱锥A ­ A1B1D1＝V正方体，所以＝，故选D.

7．H3[2015·全国卷Ⅱ] 过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)

A．2 B．8

C．4 D．10

7．C　[解析] 方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝25，所以＝2＝4.

方法二：因为kAB＝－，kBC＝3，所以kABkBC＝－1，所以AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1，－2)，半径r＝＝5，所以＝2＝4.

方法三：由·＝0得AB⊥BC，下同方法二．

8．L1[2015·全国卷Ⅱ] 如图1­3所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)

图1­3

A．0 B．2

C．4 D．14

8．B　[解析] 逐一写出循环：a＝14，b＝18→a＝14，b＝4→a＝10，b＝4→a＝6，b＝4→a＝2，b＝4→a＝2，b＝2，结束循环．故选B.

9．G8[2015·全国卷Ⅱ] 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O ­ ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)

A．36π B．64π

C．144π D．256π

9．C　[解析] 如图所示，当OC⊥平面AOB时，三棱锥O ­ ABC的体积最大，此时V三棱锥O ­ ABC＝V三棱锥C ­ AOB＝S△AOB·R＝R3＝36，所以R＝6，所以S球＝4πR2＝144π，故选C.

10．B14[2015·全国卷Ⅱ] 如图1­4，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图像大致为(　　)

图1­4

图1­5

10．B　[解析] 当点P在BC上时，＝tan x，＝，＋＝tan x＋，即f(x)＝tan x＋，x∈，由正切函数的性质可知，函数f(x)在上单调递增，所以其最大值为1＋，且函数y＝f(x)的图像不可能是线段，排除选项A，C.

当点P在CD上运动时，我们取P为CD的中点，此时x＝，f＝2，由于2<1＋，即f<f，排除选项D.

综上可知，只有选项B中图像符合题意．

11．H6[2015·全国卷Ⅱ] 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A. B．2

C. D.

11．D　[解析] 由题意，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，

设M在第一象限，由题意知|AB|＝|BM|＝2a，∠ABM＝120°，所以在△ABM中，|AM|＝2a，所以M(2a， a)，代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝b2，所以e＝.故选D.

12．B12[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0，1)

B．(－1，0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1，0)

D．(0，1)∪(1，＋∞)

12．A　[解析] 设函数g(x)＝，则g′(x)＝.因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，所以函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.故当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0.

综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.

13．F1[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

13.　[解析] 因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以解得λ＝t＝.

14．E5[2015·全国卷Ⅱ] 若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

14.　[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数可化为y＝－x＋z，所以直线z＝x＋y过点B时，z取得最大值.

15．J3[2015·全国卷Ⅱ] (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

15．3　[解析] (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a，第二个因式取Cx及Cx3；另一部分来自第一个因式取x，第二个因式取Cx0，Cx2及Cx4.所以系数之和为aC＋aC＋C＋C＋C＝8a＋8＝32，所以a＝3.

16．D2[2015·全国卷Ⅱ] 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

16．－　[解析] 因为a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以S1＝－1，Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以＝－n，所以Sn＝－.

17．C5、C8[2015·全国卷Ⅱ] △ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；

(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

17．解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，

所以AB＝2AC.

由正弦定理可得

＝＝.

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.

由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.

18．I2[2015·全国卷Ⅱ] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53　76　78　86　95　66　97　78　88　82　76　89

B地区：73　83　62　51　91　46　53　73　64　82　93　48　65　81　74　56　54　76　65　79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

图1­6

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

18．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．

(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；

CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；

CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；

CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”．

则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2，

所以P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)

＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)

＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．

由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，

P(CB1)＝，P(CB2)＝，所以P(C)＝×＋×＝0.48.

19．G1、G11[2015·全国卷Ⅱ] 如图1­7，长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

图1­7

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．

19．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．

(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.

因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，

于是MH＝＝6，所以AH＝10.

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz，则

A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，所以＝(10，0，0)，＝(0，－6，8)．

设n＝(x，y，z)是平面α的一个法向量，则

即

所以可取n＝(0，4，3)．

又＝(－10，4，8)，

故|cos〈n，〉|＝＝.

所以AF与平面α所成角的正弦值为.

20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

20．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．

将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，

得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，

故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

即kOM·k＝－9.

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

(2)四边形OAPB能为平行四边形．

因为直线l过点，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.

由(1)得直线OM的方程为y＝－x.

设点P的横坐标为xP，

由得x＝，

即xP＝.

将点的坐标代入(1)中l的方程得b＝，因此xM＝.

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，

于是＝2×，

解得k1＝4－，k2＝4＋.

因为k>0，k≠3，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．

21．B14[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．

21．解：(1)证明：f′(x)＝m(emx－1)＋2x.

若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.

若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是

即　①

设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.

当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0.故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0.

故当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；

当m>1时，由g(t)的单调性，知g(m)>0，即em－m>e－1；

当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.

综上，m的取值范围是[－1，1]．

22．N1[2015·全国卷Ⅱ] 选修4­1：几何证明选讲

如图1­8，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．

(1)证明：EF∥BC；

(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．

图1­8

22．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.

(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．

连接OE，OM，则OE⊥AE.

由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．

因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.

因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.

所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.

23．N3[2015·全国卷Ⅱ] 选修4­4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

23．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.

因此A的极坐标为(2sin α，α)，

B的极坐标为(2cos α，α)，

所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4sin.

故当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

24．N4[2015·全国卷Ⅱ] 选修4­5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：

(1)若ab>cd，则＋>＋；

(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．

24．证明：(1)(＋)2＝a＋b＋2，

(＋)2＝c＋d＋2，

由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，

得(＋)2>(＋)2，

因此＋>＋.

(2)(i)若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即

(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

由(1)得＋>＋.

(ii)若＋>＋，

则(＋)2>(＋)2，

即a＋b＋2>c＋d＋2.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是

(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，

因此|a－b|<|c－d|.

综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e1f0e215657d27284b73f242336c1eb91a3733e7.html