弹性棒弹性弯曲的研究

同济大学

熊比德 叶子 张森

摘要

首先，对于弹性棒在轴向压力下的形变问题，本文通过查找资料得到微小弹性弯曲下弹性棒“临界力的表达式”。然后基于一些已有的材料力学结果，推导得到在更一般的弹性弯曲情况下，给定任意初始倾斜角条件的轴向压力与最大侧向挠度的表达式。

然后，根据图像的对称性，考虑弹性棒平衡状态挠曲线的上半部分，并根据轴向压力与最大侧向挠度关于初始倾斜角（即端点与轴向压力的夹角）的表达式，本文推导出在给定初始倾斜角平衡状态下挠曲线的微分方程。并利用微分方程的数值解法，使用软件编程，得到在任意初始倾斜角条件下，对应的挠曲线的图像。由于棒两端重合的充要条件是状态曲线的左右两端处于同一水平线上，因此本文采用最优化的搜索方法，令初始倾斜角在上每个很小的间隔取值，使用软件编程，分别求得状态曲线左右两端高度差的绝对值。当其达到最小值时，所对应的初始倾斜角即为棒两端重合时的初始倾斜角。

最终，确定棒两端重合下的初始倾斜角后，本文由轴向压力表达式得到“”；通过简单的数学计算得到“端点重合处的夹角”；由此时的状态曲线得到棒两端重合下的“宽度与棒长之比”以及“长度与棒长之比”。

具体相应结果如下：

本文的模型如下：

模型Ⅰ（微小弹性弯曲下的弹性棒弯曲模型）该模型基于欧拉-伯努利方程导出的细长压杆临界力的欧拉公式。简单推导即可得到临界力的表达式。

模型Ⅱ（一般弹性弯曲下的弹性棒弯曲模型）针对后四个问题建立比模型Ⅰ更一般的弹性棒弯曲模型。运用软件编程，得到棒端点重合时的初始倾斜角，以及端点重合时弹性棒的状态曲线，从而得到相应问题的结果。并且验证了实验结果的正确性。

本文通过合理的数学推导建立解决问题所需的模型，并使用软件对模型编程求解，同时运用适当的图表加以分析说明，使得文章准确并且易于理解；之后本文拓展提出了一些猜想和提高解模速度的方法，对问题尝试做更深入的研究；最后对模型的灵敏度分析，进一步说明了模型的稳定与科学。

关键词：弹性弯曲；弹性棒状态曲线；；龙格库塔方法；灵敏度分析

摘要 1

§1 问题提出 3

1.1．背景分析 3

1.2．提出问题 3

§2 问题分析 3

2.1 理论依据 3

2.2 对问题的具体分析和处理 4

§3 模型假设 4

§4 符号说明 4

§5 模型建立 5

5.1 微小弹性弯曲下的弹性棒弯曲模型（模型Ⅰ） 5

5.1.1 模型Ⅰ结果 5

5.1.2 推导过程 5

5.2 一般弹性弯曲下弹性棒弯曲模型（模型Ⅱ） 7

5.2.1 模型Ⅱ结果 7

5.2.2 推导过程 7

§6 模型求解 13

6.1 模型一的求解——临界力的表达式 13

6.2 模型二的求解 13

6.2.1 挠曲线几何特征的计算 13

6.2.2 确定弹性棒两端重合时的初始倾斜角 13

6.2.3 求解问题二——的精确的理论比值 14

6.2.4 求解问题三——宽度与棒长之比 15

6.2.5 求解问题四——高度与棒长之比 15

6.2.6 求解问题五——端点重合时的夹角 15

§7 模型验证 15

7.1 龙格库塔方法的合理性： 15

7.2 灵敏度分析： 16

§8 模型拓展 17

附录 19

1. 参考文献： 19

2. 主要源代码： 19

§1 问题提出

1.1．背景分析

对于受轴向压力的等直杆，当其较为短粗时，其失效形式为强度破坏，但对于细长杆，在强度破坏之前，可能会首先出现另一失效形式，即丧失平衡稳定性。细长杆在其承受的压力超过一定的数值后，很容易在外界扰动下，发生弯曲，从而使由之组成的机器丧失功能。因此我们要知道等直杆在什么条件下是稳定的，什么情形下是不稳定的，从而预防等直杆的不稳定造成的机器损失。对于稳定及不稳定有如下说明：

如果等直杆是稳定的，则在任意小的外力扰动下，杆将发生弯曲；而当扰动去除后，杆又能恢复到原来的直线平衡位置。如果杆是不稳定的，则当扰动去除后，杆不能恢复到原来的直线平衡位置，只保持弯曲平衡状态。

1.2．提出问题

对于某一均匀圆柱形细长弹性棒，在棒的两端施加方向相反大小相等的轴向压力。实验表明，当且仅当大于某力时，棒才会发生弯曲。而当时，棒的两端点重合。建立数学模型来验证试验的结果。并且完成以下任务：

(1) 临界力的表达方式；

(2) 的精确的理论比值；

(3) 宽度与棒长之比；

(4) 高度与棒长之比；

(5) 端点重合处的夹角。

§2 问题分析

2.1 理论依据

(1) 欧拉-伯努利方程：在小挠度的情况下，此方程表达了在横向力作用下梁的挠曲线微分方程。其中，是任意截面的弯矩，是弹性模量，是截面关于形心轴的惯性矩。在挠度不大的情况下，可以通过对此式积分，求出沿梁长挠度和坐标之间的代数关系式。

(2) 细长压杆临界力的欧拉公式：此公式由欧拉-伯努利方程导出，它给出了临界力的表达，其中是弹性模量，是截面关于形心轴的惯性矩，表示棒长。

(3) 任意截面内的弯矩与该截面任一点处的弯曲应力之间的关系式：应力，是任意截面的弯矩，是该点处挠度。

(4) 带有模数的第一类完全椭圆积分的计算。

(5) 龙格—库塔方法：简称R-K方法，是应用广泛的求解常微分方程数初值问题的单步法，在求解范围较大而精度要求较高时是比较好的方法，MATLAB中已把它编写成标准程序ode45可供调用。

2.2 对问题的具体分析和处理

问题一：对于问题一不妨设弹性棒发生极微小弯曲，在弹性棒挠度极小的情况下，利用细长压杆临界力的欧拉公式予以解决。针对该问题建立模型Ⅰ。

问题二、三、四、五：后四个问题是针对弹性棒处在更一般的情况下（弯曲程度较大），欧拉公式不再适用。但利用任意截面内弯矩与该截面任一点处的弯曲应力之间的关系式，以及其它一些力学基本公式，经过数学推导可以得到此时轴向力的表达式和一个挠曲线微分方程。通过表达式可以解决问题二，而通过对挠曲线微分方程进行数值分析就可以求出弹性棒在不同弯曲程度下的形状，于是就可以解决问题三、四、五。针对这些问题建立模型Ⅱ。

§3 模型假设

假设1 本文中的细长弹性棒为理想压杆，即材料绝对理想、轴线绝对直、压力绝对沿轴线作用；

假设 2 在临界力下弹性棒发生极微小弯曲；

假设 3 弹性棒的弯曲处于弹性范围内；

§4 符号说明

建立如上图所示的坐标系，其中曲线表示弹性棒。为简便，上图只给出了弯曲程度较大的情况，而实际上对于弯曲程度较小的情况，也可以建立类似的坐标系。

§5 模型建立

从对问题的分析和所作出的假设出发，可以建立两个模型。

模型Ⅰ 微小弹性弯曲下的弹性棒弯曲模型

该模型基于假设2和欧拉-伯努利方程导出细长压杆临界力的欧拉公式，从而得到了临界力的表达式。

模型Ⅱ 一般弹性弯曲下的弹性棒弯曲模型

该模型基于假设3和一些基本材料力学公式，导出了细杆在任意弯曲形状下的几何特征的表达式，如轴向力、最大挠度，以及此时挠曲线所满足的微分方程。

5.1 微小弹性弯曲下的弹性棒弯曲模型（模型Ⅰ）

5.1.1 模型Ⅰ结果

临界力,.w表达式：

（5.1）

其中表示棒的抗弯刚度，表示棒长

5.1.2 推导过程

先对弹性棒的稳定与不稳定进行定义。如果细长弹性棒是稳定的，则在任意小的外力扰动下，棒将发生弯曲；而当扰动去除后，棒又能恢复到原来的直线平衡位置。如果棒是不稳定的，则当扰动去除后，棒不能恢复到原来的直线平衡位置，只保持弯曲平衡状态。

若以表示弯曲后压杆的最大挠度，表示压杆承受的轴向压力，建立的关系（如图5-1所示）小于某个力时，最大挠度，此时棒是稳定的，不发生弯曲；当轴向压力大于某个力时，最大挠度，此时棒是不稳定的，发生弯曲。

（下述主要推导过程来源于【1】）

如图5-2，设棒在临界力下处于微小弯曲的状态，棒上距离坐标原点距离处的挠度为，利用欧拉-伯努利公式

（5.2）

其中为棒的抗弯刚度，弯矩（负号由弹性力学中的符号规则决定）。

于是，可得到小变形条件下的弯曲变形挠曲线的微分方程：

（5.3）

令

，

则微分方程的通解为：

，（为常数）

代入，得：

显然，时的轴向压力是保持微笑弯曲的最小压力，即临界力

5.2 一般弹性弯曲下弹性棒弯曲模型（模型Ⅱ）

5.2.1 模型Ⅱ结果

1) 轴向压力：

2) 最大侧向挠度：；

3) 任意给定初始倾斜角条件下，挠曲线满足的常微分方程初值问题：

，其中，

5.2.2 推导过程

A. 建模准备

要求得端点重合时弹性棒的受力、夹角等参数，但由于5.1中求临界力的欧拉方程只在小挠度条件下成立，为了得到更一般的方法。

图5-3表示的是弹性棒上极小的一段，现研究两个相邻截面限定的弧长元素，加载之前是彼此平行的，但是在杆发生挠曲之后，这些截面的情况如下图所示。在这个圆弧微段中两个截面的对弧角为。

由图5-4的几何关系可知，可以得到与中性层相距处的法应变

（5.4）

又弹性模量

（5.5）

其中是作用在棒上的纵向应力。

由（5.4）,（5.5）得：

（5.6）

由任意截面内的弯矩与该截面任一点处的弯曲应力之间的关系式：

（5.7）

其中，是应力，是任意截面的弯矩，是该点处挠度。

联立（5.6）,（5.7）以及得:

（ 5.8）

令

（5.9）

那么

（5.10）

B. 弯曲状态下弹性棒得几何特征

对（5.10）式进行一系列数学推导后可以得到下述一些表达式：

（具体推导过程见参考文献【2】P285至P286）

1) 轴向压力：

（5.11）

2) 最大侧向挠度：

（5.11）

3) 挠度关于的表达式：

（5.13）

注

（5.11）,（5.12）,（5.13）中，的表达式为：

（5.14）

且与之间满足关系式

（5.15）

C. 弯曲状态下挠曲线满足的微分方程

1) 求关于的表达式

曲线为弹性棒受压变形后形成的挠曲线。考虑弹性棒的左半部分（即的部分）

因为此时棒已经发生弯曲，故有，且从连续单调递减地变化到0，于是有：

（5.16）

结合（5.14）,（5.15）,（5.16）式，有：

（5.17）

由（5.17）式可以看出，如果，则（5.17）式确定了一个到的双射，而（5.13）式确定了到上的双射，于是存在与之间的双射。

下面求解这一双射：

把（5.13）式进行移项可得：

（5.18）

将（5.14）与（5.18）等式两边同时平方再求和可得：

（5.19）

由上面的讨论知，所以由（5.19）式可以解出关于的表达式：

（5.20）

此式给出了到的一个双射。

2) 求得

由于，（5.20）式可表达为：

即 （5.21）

此时，设曲线的方程为。则:

（5.22）

将变为坐标系

进行坐标变换，则图4-1所示的坐标系变为新的坐标系，如下图所示：

则（5.22）式变为：

（5.23）

因为，则

（5.24）

又因为固定时是一个常数，所以由（5.24）式知是一个常数，记

，则（5.23）可变为：

因而，求解棒弯曲所形成的挠曲线的问题，即求解曲线，实际上是解决一个常微分方程的初值问题：

（5.25）

其中，。

D. 确定棒两端重合时的取值

由前面的讨论，的变化区间是，当固定下来后，由和，就可以确定（5.25）中所示的初值问题的参数和。

(1) 确定

的横坐标可由式（5.12）表达：

然后再通过对（5.25）求解，就可以的纵坐标。

(2) 确定

在初值问题（5.25）中，求出导函数的零点，即，通过对（5.25）求解，就可以在的纵坐标，从而由可以得到。

(3) 求解原问题

当较小时，由于弹性棒的形变较小，；随着的增大，弹性棒形变逐渐增大，逐渐减小，由于单调连续变化，当增大到某一特定值时，。因为曲线是弹性棒的一半，说明了弹性棒两端点重合。通过数值模拟，时的取值可以被确定，从而解决了问题五。而通过5.2.2和5.2.3中的分析，由（5.11）可以解决问题二，由（5.12）可以解决问题三。再由所确定的就可以解决问题四。

§6 模型求解

6.1 模型一的求解——临界力的表达式

临界力由式（5.11）给出，于是问题一解决。

6.2 模型二的求解

6.2.1 挠曲线几何特征的计算

由5.2.3中对弯曲状态下弹性棒的几何特征的讨论

(1) ，

(2) ，

且，故上面两个值由唯一确定，求解它们的具体步骤为：

1) 选定，计算值。

2) 计算相应的积分

3) 通过上述两个公式，计算出与

以下具体选定三个,计算出结果如下：

6.2.2 确定弹性棒两端重合时的初始倾斜角

通过MATLAB实现，程序流程图如下：

算得

6.2.3 求解问题二——的精确的理论比值

由（5.11）式，求得。再根据的表达式，得：。验证了实验结果。

6.2.4 求解问题三——宽度与棒长之比

直接由（5.11）式求得，。

6.2.5 求解问题四——高度与棒长之比

用数值计算方法求出导函数的零点，得到。

然后求出挠曲线方程在处的值，计算公式为，右边的积分用龙格库塔方法数值积分求的。结果为：。

挠曲线的高度与棒长之比即为：

6.2.6 求解问题五——端点重合时的夹角

根据几何图形可得出的表达式.代入计算得：

§7 模型验证

7.1 龙格库塔方法的合理性：

求解曲线函数时用到了龙格库塔方法数值求解常微分方程，而龙格库塔方法的推导基于泰勒展开，因而它要求所求的解具有较好的光滑性和稳定性。

下面说明所求的微分方程具有上述性态：

首先，由于所求函数的导函数是由初等函数复合而成，具有很好的光滑性。

其次，通过作函数图像，观察得知函数具有较好的稳定性，不存在很大的波动。下面给出时的导函数的图像：

7.2 灵敏度分析：

通过对初始倾斜角进行细微的变动，观察所得结果的变化情况，考察模型对参数依赖情况，是否会随着参数微小的扰动而产生较大的波动，以此来衡量模型的稳定性。

首先取，并逐步改变其值，观察最大挠度、轴向压力以及状态曲线图像的变化情况（如下），发现它们都只在小范围内变化，从而验证了模型的稳定性。

§8 模型拓展

在确定弹性棒两端点重合时的初始倾斜角时，采取的最优化算法有搜索素的较慢的缺点，因此下面两个想法是对提高搜索速度进行的两方面的尝试。

8.1 猜想：端点重合时，应为最大

这是个很自然的猜想，如果成立的话，那么只需求出（5.11）式的极值点，即可很快得出所有结果。但在验证之后，发现这个猜想是不成立的。

为了验证这个猜想，画出随变化的图像：横坐标为，纵坐标为

因此，端点重合时（即），应为最大的猜想是错误的。

8.2 简化积分运算，提高搜索速度

推导出的简化公式为：

其中为参数为的第一类完全椭圆积分，，其中为参数为的第二类完全椭圆积分，，得到此公式后，只需采用数值计算方法，求的的零点，极为弹性棒两端点重合时的值，之后即可求出相应的初始倾斜角，以及之后的所有结果。

推导过程：由几何学，有

由【2】中至推导，有

结合上述两式，得

两边积分得到

8.3 任意给定初始倾斜角，运用本模型的方法得到挠曲线的图像

附录

1. 参考文献：

【1】，陈忠安 王静，材料力学，北京大学出版社，2009；

【2】，W. A. Nash，材料力学，麦格劳-希尔教育出版集团，2002；

【3】，同济大学计算数学教研室，现代数值数学和计算，同济大学出版社，2004；

2. 主要源代码：

1) 挠曲线所满足的常微分方程

function y=SolveX(t,x,k,w)

y=tan(2*asin(k*sqrt(1-(1/w)^2*(t).^2))-pi/2);

end

2) 搜索弹性棒端点重合时的初始倾斜角

deltamax=0;thetamax=0;kmax=0;imax=0;Ymax=0;

e=inf;

for i=1:18000

theta=pi/18000*i;

k=sin(theta/2);

deltai=k/ellipke(k^2);

[T,Y]=ode45(@(t,x) SolveX(t,x,k,deltai),[0 deltai],0);

if abs(ex)

e=abs(Y(end));

deltamax=deltai;

thetamax=theta;

kmax=k;

imax=i*100;

end

end

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/de8d9cd9a58da0116c1749a0.html