化归思想在高中数学中的运用

化归思想在高中数学中的运用

福建省光泽一中 胡长才

内容摘要：解决数学问题的过程就是将问题不断转化的过程，将复杂的问题转化为简单的问题，将较难的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，化归思想是数学的灵魂，它在培养学生的数学素质和解题能力方面起到了很重要的作用。每年的高考和竞赛中都有许多别具创意、新颖独特的数学问题，旨在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用，学生总觉得难以入手。本文着重介绍如何用化归思想来研究和解决数学问题，培养学生思维的灵活性、敏捷性，提高学生的思维能力和解题速度。

关键词：化归思想 高中数学 运用

解决数学问题的思维过程，实质上是将数学问题中的信息情景，经过加工、调节，使之回归到初始状态或符合最基本的数学模型，从而使问题还原到已知的知识领域，获得解决，这种思想方法叫化归思想。

近年来高考数学试题和全国数学竞赛试题，更加注重数学思想方法的运用，加大了数学能力考查的力度，这就要求教师在平时数学教学中加强对基础知识、基本技能的教学，注意各种思想方法的渗透。而化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段，将问题通过变换使之转化归结为在已有知识范围内可以解决的一种方法，一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将较难的问题通过交换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题，可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式。常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化，等等。因此，能否搞好化归思想渗透的教学，是学生解题能力能否迅速提高的关键。以下就化归思想的运用进行一番探究。

一、 复杂问题简单化

许多结构复杂、思路繁杂的问题，可转化为一个或几个比较简单、易于解决的问题，各个击破后，再综合得解。

例1(1995年全国高考题)已知415290769594460e2e485922904f345d.png=a59fd127dcaaca5778e2d53fc069fcda.png在[0，1]上是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的减函数，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是( )

(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(0，2) (D) [2，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png)

分析：题中函数415290769594460e2e485922904f345d.png=a59fd127dcaaca5778e2d53fc069fcda.png在[0，1]上是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的减函数，这个条件难以直接运用。

[解] 可将函数415290769594460e2e485922904f345d.png=a59fd127dcaaca5778e2d53fc069fcda.png转化为两个简单函数①415290769594460e2e485922904f345d.png=a481407d3580524da308f7a6b6cf7752.png与②e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png=902451f2aa77c5306097e7e747ca0fb2.png，

9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png[0，1]来考虑，由于0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png＞0，故e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png=902451f2aa77c5306097e7e747ca0fb2.png，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png[0，1]为减函数，由复合函数的单调性知，415290769594460e2e485922904f345d.png=a481407d3580524da308f7a6b6cf7752.png必为增函数，故0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png＞1；又e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png=902451f2aa77c5306097e7e747ca0fb2.png，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png[0，1]为减函数，且902451f2aa77c5306097e7e747ca0fb2.png＞0，故9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png=1时，2-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png＞0，因此0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png＜2。综上所述，1＜0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png＜2，故选B。

二、未知问题已知化

许多陌生、未知的问题，可通过分解、转化为已知的、熟悉的问题，利用已知的解法或模式来解决问题。

例2(1997年全国高考题)甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米／小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米／小时)的平方成正比，比例系数为92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，固定部分为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png元，(1) 把全程运输成本415290769594460e2e485922904f345d.png(元)表示为速度v (千米／小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

[解]（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为3430a8bad3570bbb00ab5c80dd4b8953.png，全程运输成本为bc04d8cd124b98f6f8e1c133147349fe.png 故所求函数及其定义域为b6f4c815ce2e230b58e2e40ba4d11dfe.png

(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有b796267fd2a5c001727f800bd112824c.png

当且仅当c88d008f32a410e659a64a86f9127043.png．即0047290ac4e8aa6a4772b6da07fd573f.png时上式中等号成立

若c6e3eef7e4acf6b5e718b5e6c161d73a.png，则当0047290ac4e8aa6a4772b6da07fd573f.png时，全程运输成本y最小，

若7335529fc059b6914daf6c2967265d4f.png，则当89a0d2c19c6b4d5f91c27fa2326af564.png时，有

0cf31f1e171119ce8a32c0044ec5b2c6.png068dd947bcca59703ee5d143de91b600.png=a68b4c7122bf78045301b1da90f81366.png

因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，

所以c7ae240134f910de2831e9f2b594536b.png，且仅当v=c时等号成立，

也即当v=c时，全程运输成本y最小．

综上知，为使全程运输成本y最小，当51f1d953de9631317254466e2ae336db.png时行驶速度应为d85336974189deb5bab7e4fb4381819c.png；当2517e4a4e5fa2543255a2d9226fe2ac9.png时行驶速度应为v=c．

三、抽象问题直观化

许多抽象、难以入手的问题，可通过各种途径转化为直观、形象的问题，用很简捷的方法便可以解决。

例3(1994年全国高考题) 如果复数z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是 ( )

(A) 1 (B) d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png (C) 2 (D) aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png

分析：复数方程抽象、难懂，而用代数方法求z对应点的方程，运算又很繁杂。

[解]方程│z+i│+│z－i│=2表示z对应点的轨迹是以点A(0，1)、B(0，-1)为端点的线段AB，│z+i+1│表示点P(-1，-1)与线段AB上点的距离，故它的最小值是点P(-1，-1)与点B(0，-1)的距离，即为1，故选A。

例4(2009年山东高考题)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

word/media/image30.gifA.47a89bcba38863db05b8ce29be05e21e.png B. de7b7491db9a33fbbbe45f64626f8edc.png C. a08891ac8fd5c3ebc795705e1ef8ee66.png D. 4fe376a263b7ab20a36604c074e3d0c9.png

分析：三视图是平面图形，不够直观，须得知

该几何体的形状，方可求其体积。

[解] 由三视图知，该空间几何体为一圆柱和

一四棱锥组成的圆柱的底面半径为1,高为2,体积

为a1c836d0e4b0212c512b016cba67a88b.png；四棱锥的底面边长为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，高为91a24814efa2661939c57367281c819c.png，

所以体积为a103172a24f3f0e907ef33ab07552567.png。

所以该几何体的体积为a08891ac8fd5c3ebc795705e1ef8ee66.png， 故选C。

四、一般问题特殊化

许多难以解决的一般化问题，退回到特例后，由于个性中拥有共性，通过特殊情况往往可以提示一般规律，从而得出一般结论。

例5(1991年全国高考题)如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－3]上是 ( )

(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5

(C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5

分析：由于高考数学选择题中四个选项仅有一个是正确的，由于该题设条件具有一定任意性而结论是确定的，故可构造特殊函数来解。

[解]构造特殊函数f(x)=f6d23caeb60c7a847469d5167dd3ebc3.png，则函数f(x)满足题设条件，而f(x)=f6d23caeb60c7a847469d5167dd3ebc3.png 在区间[－7，－3]上仍为增函数且最大值为－5，而这个结论对满足题设条件的任意函数f(x)同样成立，故选B。

例6 (2009年浙江高考题)若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png=46c55097f2de801aa983cc514cfe975b.png，则下列结论正确的是（ ）

A．599897a58eba4dcd0de87ae317c1c59a.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上是增函数 B．599897a58eba4dcd0de87ae317c1c59a.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上是减函数

C．d5af8d64f08e2a3875c262e212dcd7cc.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是偶函数 D．d5af8d64f08e2a3875c262e212dcd7cc.png，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是奇函数

分析：由于高考数学选择题中四个选项仅有一个是正确的，由于该题设条件具有一定任意性而结论是确定的，故可通过对0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png取特殊值，构造特殊函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png来解。

[解]对于0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png=0时，有50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png=c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png是一个偶函数，故选C。

五、特殊问题一般化

一些比较复杂的特殊问题，可先推广到一般情况，揭示出一般规律，再还原为特殊，从而从更高角度解决特殊问题，这也遵循了认知规律。

例7、若9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pnga5b931282bf5c37a34c695d34375a986.png，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngR，且满足方程1434222adc0f5fa54239c87444498e99.png①和

7dcfc91598c4f1255cbf713a9e0ca3c1.png②，求1f141abfb260b11b18ca7ace446d349f.png(7065dc82281455614d3c101a8faa71a6.png)的值。

[解]虽然不能直接两个方程中求出9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png，但两个方程形式上有不少共同特征，它们

的根之间有一定联系。方程②可化为：515ddd65d9fa32c80c5d4e0dddbdd7c4.png③，比较方程①和③可知9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png与－2415290769594460e2e485922904f345d.png都是方程0c927f9c9d0ca8ef12762567e17bdcfc.png的根，而8cdc563a3b4e4ebc84bddb8795eb0eda.png在3e4016a8cc8c3aceffcd7f9ebe880e1e.png上为增函数，由于406aa66069bee700e2907c3d47bcae50.png，故6225a132a93ad4474594cd020c469f72.png，即7065dc82281455614d3c101a8faa71a6.png＝0，从而1f141abfb260b11b18ca7ace446d349f.png(7065dc82281455614d3c101a8faa71a6.png)=1。

六、直接问题间接化

许多问题从正面入手较难时，可从问题的反面入手，运用逆向思维方式进行分析，常

常能使问题简单化。

例8、正方体ABCD-Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngBa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngCa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngDa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png的棱长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，求三棱锥Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png-B Ca7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngD的体积。

分析：直接求三棱锥Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png-B Ca7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngD的体积，无论选取哪个底面，高都不易求出，故可考

虑用间接法。

[解]用正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png-ABD、Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png- Ca7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngDa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngD、Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png-B Ba7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngCa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png、Ca7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png-BCD的体积，可得三棱锥Aa7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.png-B Ca7c8a0268d128c936c8c1405973bfb63.pngD的体积=0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png26a99f9b2f21ca3ba6f222efa40c7958.png-4×(7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png×82ead5b1a7e087f3108b0176506854de.png×0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png26a99f9b2f21ca3ba6f222efa40c7958.png。

七、局部问题整体化

当问题局部求解有难度时，可调整视角，从整体入手，探索解题途径，得出结论后，再回到局部，使局部问题得以解决。

例9、设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png分别为方程c4cbf7f821e7cce2db3b2f6bc63b8d89.png+9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png+2=0与f99f610b15f6133a47ea65d7f002a3c4.png+9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png+2=0的根，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png+92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值。

分析：从两个方程分别求出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值是不现实的。

[解]从整体考虑，由于两个方程可化为c4cbf7f821e7cce2db3b2f6bc63b8d89.png=-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png-2，f99f610b15f6133a47ea65d7f002a3c4.png=-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png-2，故0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png可看成直线415290769594460e2e485922904f345d.png=-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png-2与两个函数415290769594460e2e485922904f345d.png=c4cbf7f821e7cce2db3b2f6bc63b8d89.png，415290769594460e2e485922904f345d.png=f99f610b15f6133a47ea65d7f002a3c4.png的图像的交点A、B的横坐标，由于415290769594460e2e485922904f345d.png=c4cbf7f821e7cce2db3b2f6bc63b8d89.png与415290769594460e2e485922904f345d.png=f99f610b15f6133a47ea65d7f002a3c4.png互为反函数，它们的图像关于直线415290769594460e2e485922904f345d.png=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png对称，而直线415290769594460e2e485922904f345d.png=-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png-2与直线415290769594460e2e485922904f345d.png=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png垂直相交，交点为C(-1，-1)，故A、B两点关于直线415290769594460e2e485922904f345d.png=9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png对称，线段AB的中点为C(-1，-1)，故0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png+92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png=2×(-1)=-2。

八、整体问题局部化

整体求解较困难时，可考虑分散难度，先求出每一个局部所满足的性质，对局部求解，再综合起来，得出整体的解。

例10(1991年全国高考题)5fcdbe496947d5e152576f12ad0b3805.png+ 20079744e41b6ac5cbd250333ff92049.png的值是 。

分析：整体求5fcdbe496947d5e152576f12ad0b3805.png+ 20079744e41b6ac5cbd250333ff92049.png的值较困难，故可从局部考虑。

[解]设5fcdbe496947d5e152576f12ad0b3805.png=ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，20079744e41b6ac5cbd250333ff92049.png=dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，则ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png(0，6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png)，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png(0，6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png)，且ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，4ab3974f9e91e99dfcef77412669e723.png=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，故9f8eef5dbbb905efc73da4f5ba7a9d55.png=2360a56ddc53591f285ce0682c8678f4.png=42847003038723e4d708259e2399be7d.png=1，由于ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png+dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png(0，31bf0b12546409e15021243132fc7574.png)，故ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png+dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png=cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，即5fcdbe496947d5e152576f12ad0b3805.png+ 20079744e41b6ac5cbd250333ff92049.png=cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png。

综上所述，化归思想的运用极为广泛，在在高考及数学竞赛中，会遇到各种各样的难题，只要能做到将复杂问题简单化、未知问题已知化、抽象问题直观化、一般问题特殊化、特殊问题一般化、直接问题间接化、局部问题整体化、整体问题局部化，等等，灵活运用化归思想，就能高瞻远瞩，化难为易，加快解题速度，提高数学成绩。化归思想是解决一切问题的基本思想方法，因此，在平时的数学教学中必须注意化归思想的渗透。

主要参考文献：

1、《中学数学思想方法》钱珮玲 北京师范大学出版社 (2005-08出版)

2、《怎样解题》第三次修订版 薛金星主编 北京教育出版社

3、《怎样解题》第四次修订版 薛金星主编 北京教育出版社

4、2004年-2010年福建省《普通高等学校招生统一考试大纲》

5、2004年-2010年福建省《普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》

个人简历：

胡长才，1966年8月生，中学数学高级教师，毕业于福建师范大学数学系，现在福建省光泽第一中学任教，曾被评为“南平市优秀共产党员”和“享受南平市政府特殊津贴优秀教师”。

胡长才工作单位：福建省光泽一中，联系地址：福建省光泽一中办公室，邮编：354100联系电话：189********，电子邮箱：hcc6608@163.com

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