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PP检验法和ADF检验法

发布时间：2013-03-20 15:29:08 来源：文档文库

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第4节 PP单位根检验法与ADF单位根检验法

DF检验要求模型的随机扰动项独立同分布。但在实际应用中这一条件往往不能满足（如上一节中的有关例子）。一般来说，如果估计模型的DW值偏离2较大，表明随机扰动项是序列相关的，在这种情况下使用DF检验可能会导致偏误，需要寻找新的检验方法。本节我们将介绍在随机扰动项服从一般平稳过程的情况下，检验单位根的PP检验法和ADF检验法。

一、 PP（Phillips&Perron）检验

首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由（真实过程）

(1)

产生，其中独立同分布，。，其中B为滞后算子，其系数满足条件。在回归模型中检验假设：

与DF检验（情形二）一样，模型参数的OLS估计为：

在成立时，上式可改写为：

以矩阵左乘上式两端，得

利用有关单位根过程的极限分布（参见第2节），可得

其中，。经过化简，可将统计量的极限分离出来如下：

(2)

此式表明，的极限为两项之和，其中第一项是为独立同分布时的极限分布；第二项是由的自相关性产生的，当独立时，它等于零。说明上式是DF分布的推广。

可以证明，统计量有以下极限分布：

(3)

与DF的分布式相比，此式多了一个因子，它反映了扰动项自相关程度对的极限分布的影响。当扰动项相互独立时，，从而有=1，上式就退化为DF的t分布。

现利用统计量对进行修正，修正式如下：

(4)

其中为的一致估计，结合(2)和(3)，有

(5)

可以看出，修正后的统计量与DF检验情形二中的统计量的极限分布一致，从而可用相同的临界值表。

类似地，可以考虑统计量的极限分布和修正方法，根据(2)和(3)，有

(6)

对t统计量修正如下：

(7)

结合(3)和(6)，有如下极限分布：

(8)

修正后的统计量与DF检验情形二中的t统计量有相同的极限分布，从而可用相同的临界值表。

但是，修正统计量(4)与(7)不能直接用于检验，因为其中含有未知参数，必需再对未知参数进行估计。令

(9)

(10)

其中、，q是残差序列自相关的最大阶数。

可以证明，修正后的统计量的极限分布与(5) 、(8)相同，从而可由(9)或 (10)计算统计量的值，然后与DF检验临界值表中情形二的临界值进行比较，以判断序列是否存在单位根。

此外，对于其它情形（情形一、四），Phillips&Perron证明了，修正统计量和的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用DF检验的临界值表。

综上所述，PP单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对DF单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在DF检验统计量的基础上进行修正，由于修正后的统计量与DF检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用DF检验临界值表进行检验。

下面给出PP检验的步骤：

（1）以最小二乘法估计回归模型，得到参数估计和残差序列；

（2）计算残差序列的样本自协方差：

， j=0,1,2,….

及的估计值：

其中，q的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第h阶之后），对的贡献可忽略不记，则q取为h。构造该估计量的Newey和West建议q取3或4。

（3）计算参数估计量的标准差和残差的估计方差。

（4）将上述计算结果代入或统计量的表达式，得到统计量的值，查临界值并进行比较，然后作出推断。

例对上节例中的国内生产总值（GDP）序列进行PP检验。

在上一节例中对GDP序列进行DF检验，得到如下回归模型：

=0.037111

DW值偏离2较远，说明残差序列存在相关性。下面用PP检验法进行检验。

残差序列的前三阶样本自协方差为：

；

=2136.1009=

代入修正统计量可得：

给定显著性水平5%，查DF检验临界值表（情形四），临界值为-3.45。由于>-3.45，从而接受原假设（即），表明GDP序列存在单位根。

从该例可以看出，进行PP检验时统计量的值较难计算。在实际应用中，可使用包含有PP检验的计量经济软件。例如Eviews中的PP检验，就可直接输出的值。

二、ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验

ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验法由Dickey和Fuller于1979年提出，该方法是对DF检验的推广，所以常称为增广DF检验。其特点是，假设时间数据序列是由一个P阶自回归过程AR（P）生成的，然后建立估计模型并进行单位根检验。

在介绍ADF检验法之前，先分析P阶自回归过程的特性。

1、P阶自回归过程的特性

假设时间序列服从AR（P）过程：

(11)

其中，为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为：

(12)

令

可将滞后多项式分解成：

(13)

则(12)式可转化为：

整理可得：

(14)

若服从(11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程：

有且只有一个值为1的根，从而有：

上式等价于。因此，对服从(11)的序列的单位根检验，就是检验模型(14)中是否有。

将模型(14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(14)中多了的p-1个滞后项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这样，在模型(14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的单位根检验。因为事实上，由(13)式可得特征多项式的如下表示形式：

当序列有且只有一个单位根时，，从而有

使上式左边为零的根中，除了一个根为1外，其余的根全在单位圆之外。这一结论对于等式右边也成立，因此

的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式

的逆存在，在为真的情况下，(14)式可写成：

(15)

进一步可表示为：

(16)

其中，为一无穷阶的滞后多项式。(16) 式恰好为模型(1)在时的形式。说明在模型(14)中检验单位根，与PP单位根检验在本质上是相通的。正因如此，基于模型(14)的单位根检验被称为增广DF检验。

2、ADF检验：

与DF检验一样，ADF检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验。

情形一：数据序列由模型(14)生成，并在其中单位根，即。

情形二：数据序列由模型(14)生成，在如下估计模型中检验。

(17)

情形三：数据序列由模型(17)生成，在其中检验。

情形四：数据序列由模型(17)生成，在如下估计模型中检验。

(18)

首先考察情形二：

（1）可以证明，在成立时，对模型(17)进行最小二乘估计，得到的是的超一致估计，并且有如下极限：

(19)

可见，此极限分布与DF检验情形二中统计量的极限分布一致，从而可用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检验。现用（j=1,2,…,p-1）的最小二乘估计代替，得修正统计量：

(20)

该统计量的极限分布与(19)相同。

（2）对于检验的t统计量，可以证明有如下极限分布：

(21)

此极限与DF检验情形二中t统计量的极限分布(9)是完全一致的。说明在ADF检验中，不需要对t统计量进行修正，就可直接利用DF检验中的临界值表进行检验。这与PP检验形成鲜明对照。我们知道，在PP检验中，需要对t统计量进行修正。其原因主要是，PP检验中对回归系数的最小二乘估计没有考虑受扰动项序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计是的超一致估计，但t统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为了能借用DF检验临界值表，就必须对t统计量进行修正，修正后的统计量（见(10)）的极限分布才与DF检验情形二中t统计量的极限分布相同。ADF检验则不同，在该检验法中，和是同时估计的，由于增添了的滞后项，随机扰动项不再序列相关，因此在构造t统计量时不需再作修正。