1.1命题及其关系

1.1命题及其关系

1．1.1　命　题　　　

[提出问题]

观察下列语句：

(1)三角形的三个内角的和等于360°.

(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？

(3)这是一棵大树呀！

(4)实数的平方是正数．

(5)能被4整除的数一定能被2整除．

问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？ 提示：(1)(4)(5)．

问题2：你能判断它们的真假吗？ 提示：能，(5)真，(1)(4)为假．

[导入新知]

命题

[注意]

1．判断一个语句是命题的两个要素：

(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

(2)可以判断真假．

2．命题真假的判定方法

命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

注意：(1)并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。

(2)一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

如：①三角函数是周期函数吗？

②指数函数的图像真漂亮！

③但愿每一个三次方程都有三个实根。

(3)在数学或其它科学技术中，还有一类陈述句也经常出现，

如：①每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。（哥德巴赫猜想）

②在2020年将有人登上火星。

虽然目前不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定他们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题。

(4)一个命题要么是真，要么是假，不能同时既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假。

(5)通常我们把含有变量的语句叫做开语句。（又称条件语句）

如：等。

开语句由于在没有给定变量值之前，其真假不能判断，故开语句不是命题。但若附加一定条件，则可为命题。

3、命题的结构形式

(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．

(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．

[例1]　判断下列语句是不是命题，并说明理由．

(1)是有理数； (2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x2－x＋7＞0.

[解]　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)因为x2－x＋7＝2＋＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题．

[活学活用]

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；

(2)任何集合都是它自己的子集；

(3)对顶角相等吗？

(4)x＞3.

解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，能判断真假，是命题．

(3)不是陈述句，不是命题．

(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.

[例2]　判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1＜0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

[解]　　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.

(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．

[活学活用]

下列命题中真命题有(　　)

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

A．1个　　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个

解析：选A　①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．

[例3]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

[解]　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．

(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．

[活学活用]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形；

(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．

(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．

(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．

[典例]　将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有＞”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．

[解]　　根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则＞.

其中条件p：a＞b，结论q：＞.

[易错防范]

1．把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．

2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．

[成功破障]

把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有log2a＞log2b”写成“若p，则q”的形式．

解：“若p，则q”的形式：

已知a，b为正数，

若a＞b，则log2a＞log2b.

1．1.2 & 1.1.3　四种命题　

四种命题间的相互关系　　　

[提出问题]

观察下列四个命题：

(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；

(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；

(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；

(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．

问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；

对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

[导入新知]

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题；

如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题；

如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题；

把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．四种命题结构

[注意]

1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p，q的否定．

2．四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.

3、“否命题”与“命题的否定”有何不同？

“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若非p，则非q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．

[提出问题]

问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题．

[导入新知]

1．四种命题之间的关系

2．四种命题的真假性之间的关系

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系．

(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真．

例如，原命题：若a＝0，则ab＝0是真命题，而它的逆命题若ab＝0，则a＝0是假命题．

(2)原命题为真，它的否命题不一定为真．

例如，原命题：若a＝0，则ab＝0，是真命题，它的否命题：若a≠0，则ab≠0是假命题．

(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．

仍以上面的原命题为例，它的逆否命题：若ab≠0，则a≠0，这是真命题．

根据以上分析可知：原命题与它的逆否命题是等价的．

总结：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

(3)互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.

[例1]　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.

[解]　(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；

逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

[类题通法]

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

[活学活用]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：

(1)正数a的平方根不等于0；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行．

解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命题．

逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．是假命题．

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题．

逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．

(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．

否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.

[例2]　有下列四个命题：

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是(　　)

A．0　　　B．1 C．2 D．3

[解]　选B　(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；

(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；

(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；

(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．

[活学活用]

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)在△ABC中，若BC＞AC，则A＞B；

(2)相等的两个角的正弦值相等．

解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题．

否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题．

逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题．

(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题．

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题．

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题.

[例3]　证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

[解]　证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．

若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

[类题通法]

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

[活学活用]

证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n＞2，则m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2，所以m2＋n2≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

[典例]　将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．

[解]　“若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数．

否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．

[易错防范]

1．“a＞0”的否定易误为“a＜0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误．

2．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a＞0，a＝0，a＜0，从而a＞0的否定是a≤0.

[成功破障]

(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)

A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝

解析：选C　否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/da6d667853ea551810a6f524ccbff121dd36c5b8.html