北京市广渠门中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

北京市广渠门中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列标志是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）

A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）

4．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）．

A． B． C． D．

5．将边长为1的一个正方形和一个等边三角形按如图的方式摆放，则的面积为（ ）

A． B． C． D．

6．如图，将沿翻折，三个顶点均落在点处．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．

7．如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上． 若，，，则线段的长为

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

8．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是( ).

A． B． C． D．

9．如图，在中，，面积是，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）．

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）

A．5个 B．6个

C．7个 D．8个

二、填空题

11．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D点，则BD=_________．

12．若，则__________．

13．已知等腰三角形两边长分别为3cm和5cm，则等腰三角形的周长为_________．

14．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰直角△CAD，使得∠DAC=90°，连接BD，作CE⊥BD，若BE=10，则CD=______________．

15．如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一定点，D是射线OA上的一定点，E是OB上的某一点，满足PE=PD，则∠OEP与∠ODP的数量关系是_____．

16．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。这样做的依据是_______.

三、解答题

17．计算：

（1）；

（2）．

18．尺规作图：

（1）已知：如图，线段a、b、c．

求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图，AO、OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正在向洞口逃窜．若猫以与老鼠同样的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

19．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

求证：AD=BC．

21．如图，点在线段上，，，.求证：.

22．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴的对称图形是．

（1）请在图中的直角坐标系中画出；

（2）若关于直线的对称图形是，请继续在右边直角的坐标系中画出，并写出三个顶点的坐标．

23．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．

（1）求证：AM平分∠DAB．

（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．

24．从图所示的风筝中可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．

具体定义如下：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（）结合图，通过观察、测量、折纸，可以猜想“筝形”具有诸如“平分和”这样的性质，请结合图形，再写出两条“筝形”的性质．

①____________________________．

②____________________________．

（）从你写出的两条性质中，任选一条“筝形”的性质给出证明．

25．如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．

（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；

（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；

（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．

26．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点．

（1）求证：；

（2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．）

（3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由．

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两边的图形能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴.根据定义可得：B为轴对称图形.

2．D

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除法直接进行排除选项．

【详解】

A、，故错误；

B、，故错误；

C、，故错误；

D、，故正确；

故选D．

【点睛】

本题主要考查同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．

3．A

【解析】

试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．

解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1）．

故选A．

考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

4．C

【解析】

由三角形内角和为，

可求边长为的边所对的角为，

由全等三角形对应角相等可知，

故选C.

5．C

【解析】

【分析】

过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．

【详解】

解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，

∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，

∴四边形DBEC是矩形，

∴CE＝DB＝，

∴△ABC的面积＝AB•CE＝×1×＝，

故选：C．

【点睛】

此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．

6．D

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

根据三角形内角和定理可得

∵将沿翻折

∴

∴

∴

故答案为：D．

【点睛】

本题考查了折叠三角形的角度问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．

7．B

【解析】

【分析】

利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MR＝7cm，得出NQ的长．

【详解】

解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，

∴PM＝MQ，PN＝NR，

∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MR＝7cm，

∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，

即NQ＝MR−MQ-RN＝7-2.5-3＝1.5（cm）．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM＝MQ，PN＝NR是解题关键．

8．C

【解析】

【分析】

严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．

【详解】

易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．

故选C．

【点睛】

解答此题最好的办法是动手操作一下，即可以解决问题，又锻炼动手操作能力．

9．D

【解析】

【分析】

连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM＋MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM＋MD）＋CD＝AD＋BC＝10＋×4＝10＋2＝12．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

10．C

【解析】

【分析】

要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．

【详解】

解：如图：

①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；

②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；

③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，

∵A（0，3），B（4，3），

∴AB∥x轴，

∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．

综上所述：符合条件的点C的个数有7个．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．

11．3

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵AB＝AC，AD⊥BC于D，∴BD＝BC＝3

故答案为：3．

12．6

【解析】

【分析】

把等式左边各因数写成与右边相同的底数幂的形式，根据同底数幂乘法的运算法则可得指数的方程，解方程即可．

【详解】

∵，

则，

即，

∴，

解得．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．

13．11或13．

【解析】

【分析】

由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．

【详解】

当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时，3cm，3cm，5cm能够组成三角形，此时周长为3＋3＋5＝11cm；

当等腰三角形的腰为5，底为3cm时，3cm，5cm，5cm能够组成三角形，此时周长为5＋5＋3＝13cm．

则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．

故答案为11或13．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

14．20

【解析】

【分析】

由题意易得AB=AD，∠BAD=150°，则有∠ABD=∠ADB=15°，进而可得∠DBC=45°，∠EDC=30°，然后可得BE=EC=10，最后根据直角三角形的性质可求解．

【详解】

解：∵△ABC是等边三角形，△CAD是等腰直角三角形，∠DAC=90°，

∴AB=AC，AC=AD，∠BAC=∠ABC=60°，∠ADC=45°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=15°，

∴∠EBC=∠ABC-∠ABD=45°，∠EDC=∠ADC-∠ADB=30°，

∵CE⊥BD，BE=10，

∴△BEC为等腰直角三角形，

∴BE=EC=10，

在Rt△DEC中，

CD=2EC=20；

故答案为20．

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

15．相等或互补

【解析】

∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由如下：

以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，如图所示：

∵在△E2OP和△DOP中， ，

∴△E2OP≌△DOP(SAS)，

∴E2P=PD，

即此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；

以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，

则此点E1也符合条件PD=PE1，

∵PE2=PE1=PD，

∴∠PE2E1=∠PE1E2，

∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，

∵∠OE2P=∠ODP，

∴∠OE1P+∠ODP=180°，

∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，

故答案为∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°.

点睛：本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的猜想能力、分析能力和解决问题的能力，题目具有一定的代表性.

16．SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等

【解析】

【分析】

由三边相等得△COM≌△CON，再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．

【详解】

由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，

∴△COM≌△CON，

∴∠AOC＝∠BOC，

即OC即是∠AOB的平分线．

故答案为：SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．

17．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可；

（2）根据积的乘方进行运算即可．

【详解】

解：（1）

=

=；

（2）

=．

【点睛】

本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题关键．

18．（1）图见解析（2）图见解析

【解析】

【分析】

（1）首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC；

（2）作AB的垂直平分线，与OB的交点就是C点．

【详解】

（1）如图所示：

△ABC就是所求的三角形．

（2）如图，C点为所求．

【点睛】

此题主要考查了复杂作图，关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

19．详见解析

【解析】

【分析】

在△ABC中，AD是中线，得BD=CD，根据∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，

得△BED≌△CFD，故BE=CF．

【详解】

证明：∵在△ABC中，AD是中线，

∴BD=CD，

∵CF⊥AD，BE⊥AD，

∴∠CFD＝∠BED＝90°，在△BED与△CFD中，

∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，

∴△BED≌△CFD，

∴BE=CF．

【点睛】

全等三角形的判定和性质.

20．证明见解析．

【解析】

由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解.

试题解析：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-36°)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB，

∴AD=BD=BC.

21．证明见解析

【解析】

【分析】

若要证明∠A=∠E，只需证明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠BDE，因此利用SAS问题得解.

【详解】

∵DE//BC

∴∠ABC=∠BDE

在△ABC与△EDB中

，

∴△ABC≌△EDB（SAS)

∴∠A=∠E

22．（1）图见解析（2）图见解析A2（4，0），B2（5，0），C2（5，4）．

【解析】

【分析】

（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置即可．

【详解】

解：（1）如图所示：，即为所求；

（2）如图所示：，即为所求；

顶点坐标 A2（4，0），B2（5，0），C2（5，4）．

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．

23．（1）见解析；（2）AM⊥DM，证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可；

（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案．

【详解】

（1）证明：过M作ME⊥AD于E，

∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，

∴MC=ME，

∵M为BC的中点，

∴BM=MC=ME，

∵∠B=90°，ME⊥AD，

∴AM平分∠DAB；

（2）AM⊥DM，

证明如下：

∵∠B=∠C=90°，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB//DC，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，

∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，

∴∠MAD+∠MDA=90°，

∴∠AMD=90°，

∴AM⊥DM．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．

24．（）①．②，．（）见解析

【解析】

【分析】

（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC;

（2）证明∠ABC=∠ADC，由已知条件不难证明△ABC≌△ADC，即可证明∠ABC=∠ADC．

【详解】

解：（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；

②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC．

（2）证明：∠ABC=∠ADC，

证：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠ABC=∠ADC．

【点睛】

本题考查四边形综合．关键结合全等三角形的判定与性质解题.

25．（1）证明见解析；（2）CD=2CE；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ； 当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ； 当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN.

【解析】

试题分析：（1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；

（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；

（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．

试题解析：（1 ）证明：连接ND ，

∵AO 平分∠BAC ， ∴∠1= ∠2 ，

∵直线l ⊥AO 于H ， ∴∠4= ∠5=90 °， ∴∠6= ∠7 ， ∴AN=AC ，

∴NH=CH ， ∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ，∴∠AND= ∠ACB ，

∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ， ∴∠B= ∠3 ， ∴BN=DN ， ∴BN=DC ；

（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE.

证明：过点C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ，

由（1 ）可得BN'=CD ，AN'=AC ，AN=AE ，∴∠4= ∠3 ，NN'=CE ，

过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，∴∠2= ∠3 ，∴CG=CE ，

∵M 是BC 中点， ，∴BM=CM ，

∴在△BNM 和△CGM 中，△BNM ≌△CGM ， ∴BN=CG ，∴BN=CE ，

∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ；

（3 ）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：

当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；

当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；

当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN.

26．（1）见详解；（2）60°；（3）不变，

【解析】

【分析】

（1）由题意易得△OPB≌△APC，然后根据三角形全等的性质可求证；

（2）由（1）可直接进行求解；

（3）由题意易得∠EAO=60°，则有∠AEO=30°，进而根据直角三角形的性质可求解．

【详解】

（1）证明：∵为等边三角形，

∴AP=OP，∠APO=60°，

∵△PBC是等边三角形，

∴PB=PC，∠BPC=60°，

∵∠APB是公共角，

∴∠OPB=∠APC，

∴△OPB≌△APC（SAS），

∴OB=AC；

（2）解：由（1）可得△OPB≌△APC，

∴∠BOP=∠CAP，

∵∠BOP=60°，

∴∠CAP=60°，

故答案为60°；

（3）解：不变，AE=8，理由如下：

由（2）得：∠CAP=60°，

∵∠OAP=60°，

∴∠EAO=60°，

∴∠AEO=30°，

∵，

∴OA=4，

∴AE=2OA=8．

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d7cfcb79260c844769eae009581b6bd97e19bc04.html