（参考）2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂学案

（参考）2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂学案

互动课堂

重难突破

　　一、圆内接四边形的性质定理

圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补;定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.

二、圆内接四边形的判定定理

1.定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.

2.符号语言表述:在四边形ABCD中,如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆.

3.证明思路:要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点,譬如过A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.

图2-2-1

　　由于点D不在圆上时,可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内,若作出对角线BD,延长BD和圆交于D′,连结AD′、CD′,则ABCD′为圆内接四边形(如图221),则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角,所以有∠AD′B<∠ADB,∠BD′C<∠BDC,于是有∠AD′C<∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°,所以∠ABC＋∠AD′C<180°,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上,即四边形ABCD内接于圆.

三、判定四点共圆的方法

(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.

(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.

(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).

四、刨根问底

问题 圆内接四边形判定定理的证明,推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较,反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？

探究:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法.

反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n -1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.

归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾.

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种),如在上述定理证明中,假设点D不在圆上,则有点D在圆外和点D在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点D在圆上.

用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.

对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.

活学巧用

【例1】圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=.

思路解析:由圆内接四边形性质可知:∠A+∠C=180°,根据∠A∶∠C=2∶4,可求出∠A和∠C,从而求出∠B和∠D.

方法一:∵四边形ABCD内接于圆,

∴∠A+∠C =180° .

又∠A∶∠C =2∶4,

∴∠A =60°,∠C =120°.

又∠A∶∠B =2∶3,

∴∠B =90°.∴∠D =180°-∠B =90°.

方法二:∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,又∠A+∠C =∠B +∠D,

∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D =2∶3∶4∶3.

∴∠B =∠D.又∠B +∠D =180°,∴∠D =90°.

答案:90°

【例2】如图2-2-2,已知ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证:C、D、E、F四点共圆.

图2-2-2

思路解析:连结EF.由∠B +∠AEF=180°,∠B＋∠C =180°,可得∠AEF =∠C.

证明:连结EF.∵ABCD为平行四边形,

∴∠B＋∠C =180°.

∵A、B、F、E内接于圆,∴∠B+∠AEF =180°.

∴∠AEF =∠C.

∴C、D、E、F四点共圆.

【例3】 两圆相交于A、B,过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB =∠DAB.求证:CD=EF.

图2-2-3

思路解析:要证CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF即可.从图2-2-3可以看出∠C =∠E,∠D =∠F,因此,尚需找一条对应边相等即可.比如,能否推出BC=BE呢？要证BC=BE,只需∠CEB=∠ECB.有无可能呢？可以发现∠ECB =∠1,又已知∠1=∠2,所以,只需证∠2 =∠CEB即可.这时我们发现ABEC是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等.至此,思路完全沟通.

证明:连结EC、DF,∵ABEC为圆内接四边形,∴∠2=∠CEB.又∵∠1=∠ECB,且∠1=∠2,∴∠CEB =∠ECB.

∴BC =BE.在△CBD与△EBF中,∠C=∠E,∠D=∠F,BC =BE,∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.

【例4】在锐角△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高线,DG⊥CE于G,EF⊥BD于F.

求证:FG∥BC.

图2-2-4

思路解析:证FG∥BC,只需证∠DFG =∠DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系,探求证明的思路.

证明:如图2-2-4,连结DE,由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC,所以B、C、D、E四点共圆.由同弧上的圆周角,有∠DBC=∠DEG.

同理,Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE,所以D、E、F、G四点共圆.

于是,∠DEG =∠DFG.

因此,∠DBC =∠DFG.于是FG∥BC.

【例5】如图2-2-5,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,AB =AD,∠BCD=120°.

图2-2-5

(1)当⊙O的半径为8 cm时,求△ABD的内切圆面积;

(2)求证:AC =BC + CD.

思路解析:(1)要求内切圆面积,则先求内切圆半径和圆心,因此先研究△ABD的性质.

(2)证明线段的和的问题,先在AC上截取CE =BC,然后再证AE =CD.

(1)解:过O点作OH⊥BD,垂足为H,连结BO.

∵四边形ABCD为⊙O内接四边形,

∴∠BAD +∠BCD =180°.

∴∠BAD =60°.

∵AB=AD,∴△ABD为正三角形.

∴OH为△ABD的内切圆半径.

在Rt△OBH中,OB =8 cm,∠OBH=30°,

∴OH =4 cm.∴△ABD的内切圆面积为16πcm2.

(2)证明:在AC上截取CE =BC,连结BE.

∵∠BCA =∠BDA =60°,∴△BCE为等边三角形.

∴BE =BC.

又∠BEA =∠BCD,∠BAE =∠BDC,

∴△ABE≌△DBC.∴AE=CD.

∴AC =AE +CE =CD +BC.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d75ce57f0875f46527d3240c844769eae109a30c.html