内蒙古包头市2018-2019学年高考数学一模试卷（理科） Word版含解析

内蒙古包头市2018-2019学年高考数学一模试卷（理科）（解析版）

　最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}

2．设复数z满足=i，则z的虚部为（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1

3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）

A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（　　）

A．﹣ B． C．2 D．﹣2

5．设函数f（x）=，若f（a）＞1，则a的取值范围是（　　）

A． B． D．

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B．32 C． D．

7．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（　　）

A． B．5 C．13 D．25

8．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（　　）

A． B． C． D．

9．已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD⊥平面α，M为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（　　）

A．3π B．9π C． D．

10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）

A． B． C． D．

11．如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB=x，将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（　　）

A． B． C． D．π

12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在[0，2]上为增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．0 D．﹣4

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设，是夹角为60°的两个单位向量，若=+λ与=2﹣3垂直，则λ=　　　　　　．

14．若，则目标函数z=x+2y的取值范围是　　　　　　．

15．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a=　　　　　　．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1，则a10=　　　　　　．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的面积的最大值．

18．随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中m，n，fm和fn的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．

19．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．

（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；

（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．

（1）求C的方程；

（2）在C上是否存在点P，使S△PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．

（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC，CD．若tan∠CED=，⊙O的半径为3．

（1）证明：BC2=BDBE

（2）求OA的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2018包头一模）已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：（t是参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．=|x﹣1|﹣2|x+a|，a＞0

（1）若a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积小于6，求a的取值范围．

2018-2019学年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，

解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），

∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={0，1，2}，

故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．设复数z满足=i，则z的虚部为（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1

【分析】设z=a+bi，a，b∈R，根据复数的运算法则，得到，解得即可．

【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，

∵=i，

∴1﹣z=i+zi，

∴1﹣a﹣bi=i+ai﹣b，

∴，

∴a=0，b=﹣1，

故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算和复数的概念，属于基础题．

3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）

A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：C．

【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（　　）

A．﹣ B． C．2 D．﹣2

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S4=a2+a3+9a1，a5=32，

∴a4=8a1即， =32，

则a1=2=q．

故选：C．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．设函数f（x）=，若f（a）＞1，则a的取值范围是（　　）

A． B． D．

【分析】根据分段函数的表达式，分别对a进行分类讨论即可得到结论．

【解答】解：若a＞1，由f（a）＞1得l0g2a＞1，即a＞2，此时a＞2，

若a≤1，则由f（a）＞11得2﹣a＞1，则﹣a＞0，即a＜0，此时a＜0

综上a＞2或a＜0，

即a的取值范围是，

故选：D

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，对x进行分类讨论是解决本题的关键．

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B．32 C． D．

【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直．

【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直．

∴该几何体的体积V=42×4=．

故选：D．

【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（　　）

A． B．5 C．13 D．25

【分析】设圆心为C（a，b），由圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，列出方程组，求出C点坐标，由此能求出点C与坐标原点的距离．

【解答】解：设圆心为C（a，b），

则，

解得a=﹣3，b=﹣2，

∴点C与坐标原点的距离为d==．

故选：A．

【点评】本题考查点C与坐标原点的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和两点间距离公式的合理运用．

8．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（　　）

A． B． C． D．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的N，x，y，n的值，当n=4时不满足条件3≥n，退出循环，输出N的值为．

【解答】解：模拟执行程序，可得

x=1，y=2，k=3，n=1

满足条件3≥n，N=，x=2，y=，n=2

满足条件3≥n，N=，x=，y=，n=3

满足条件3≥n，N=，x=，y=，n=4

不满足条件3≥n，退出循环，输出N的值为．

故答案为：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．

9．已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD⊥平面α，M为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（　　）

A．3π B．9π C． D．

【分析】设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．

【解答】解：设球的半径为R，∵CM=MD，∴平面α与球心的距离为R，

∵α截球O所得截面的面积为π，

∴d=R时，r=1，

故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=

∴球的表面积S=4πR2=π．

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．

10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的最大值．

【解答】解：∵P在双曲线的右支上，

∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，

∵|PF1|=4|PF2|，

∴4|PF2|﹣|PF2|=2a，即|PF2|=a，

根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|=a≥c﹣a，∴ a≥c，即e≤，

此双曲线的离心率e的最大值为，

故选：C

【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义转化为|PF2|≥c﹣a是解决本题的关键．

11．如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB=x，将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（　　）

A． B． C． D．π

【分析】由三角形面积公式可得S△OPC=sinx，由余弦定理可得PC2=12+22﹣212cosx=5﹣4cosx，从而求得S△PCD=（5﹣4cosx），再利用三角恒等变换求最大值时的x的值．

【解答】解：S△OPC=OPOCsinx=sinx，

PC2=12+22﹣212cosx=5﹣4cosx，

S△PCD=PC2sin=（5﹣4cosx），

故f（x）=sinx+（5﹣4cosx），

f（x）=sinx﹣cosx+

=2sin（x﹣）+，

故当x﹣=，即x=时，有最大值；

故选A．

【点评】本题考查了三角形面积公式的应用及解三角形的应用，同时考查了三角恒等变换的应用，属于中档题．

12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在[0，2]上为增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．0 D．﹣4

【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，

由这些画出示意图，由图可解决问题．

【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，

综合条件得函数的示意图，由图看出，

四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），

另两个交点的横坐标之和为2×2，

所以x1+x2+x3+x4=﹣8．

故选B．

【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．设，是夹角为60°的两个单位向量，若=+λ与=2﹣3垂直，则λ=　　．

【分析】根据条件便可以得到，，而根据与垂直，从而有，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．

【解答】解：根据题意，；

∵；

∴=；

解得．

故答案为：．

【点评】考查单位向量的概念，向量的数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．

14．若，则目标函数z=x+2y的取值范围是　[2，6]　．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值与最小值即可．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示

因为直线z=x+2y过可行域内B（2，2）的时候z最大，最大值为6；

过点C（2，0）的时候z最小，最小值为2．

所以线性目标函数z=x+2y的取值范围是[2，6]．

故答案为：[2，6]．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

15．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a=　﹣　．

【分析】根据（1+x）5展开式的各项特征，得出（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数是a+，由此列出方程求a的值．

【解答】解：（1+x）5=1+x+x2+x3+…，

∴（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为

a+=5，

即10a+10=5，

解得a=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的系数问题，是基础题目．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1，则a10=　19　．

【分析】利用递推关系可得：an+1﹣an﹣1=4，再利用等差数列的通项公式即可得出．

【解答】解：∵anan+1=4Sn﹣1，

∴a2=3，当n≥2时，an﹣1an=4Sn﹣1﹣1，

化为anan+1﹣an﹣1an=4an，又an≠0，

∴an+1﹣an﹣1=4，

∴数列{a2k}（k∈N*）为等差数列，公差为4，

∴a10=3+4×（5﹣1）=19，

故答案为：19．

【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的面积的最大值．

【分析】（1）由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=．

（2）利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得面积的最大值．

【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，

∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，

∴cosA===，

∴A=．

（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，

∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，

此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，

故△ABC的面积的最大值为：．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．

18．随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中m，n，fm和fn的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．

【分析】（1）利用频数定义能求出m，n，利用频率计算公式能求出fm，fn．

（2）由频率分布直方图，能画出频率分布列图．

（3）根据题意ξ～B（3，0.2），由此能求出至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．

【解答】解：（1）∵20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：

30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．

∴（40，50]区间内的频数m=6，（45，50]区间内的频数n=3，

∴fm==0.3，fn==0.15．

（2）由频率分布直方图，画出频率分布列如下图：

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35]的频率为0.2，

设所取的3人中，日加工零件数落在区间（30，35]的人数为ξ，则ξ～B（3，0.2），

P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.2）3=0.488．

∴至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为0.488．

【点评】本题考查频率分布直方图、频率分布表的性质及应用，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．

19．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．

（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；

（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．

【分析】（1）取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN，截面MADN是平行四边形．

（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面MADN所成角的正弦值．

【解答】解：（1）∵M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N，

∴N是SC中点，即取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN．

理由如下：

∵M是SB中点，N是SC中点，∴MN∥BC，且MN=BC，

∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，

SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，

∴AD∥BC，且AD=，

∴MNAD，∴M、A、D、N四点共线，

∴截面MADN是平行四边形．

（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，

C（2，2，0），D（1，0，0），B（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），A（0，0，0），

=（﹣1，﹣2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），

设平面MADN的法向量=（x，y，z），

则，取y=1，得=（0，1，﹣1），

设直线CD与平面MADN所成角为θ，

则sinθ===．

∴直线CD与平面MADN所成角的正弦值为．

【点评】本题考查截面图形的作法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．

（1）求C的方程；

（2）在C上是否存在点P，使S△PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由已知直线方程求得c值，再由“点差法”结合已知得到a2=2b2，结合隐含条件求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；

（2）求出过F1与直线x+y﹣=0平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使S△PAB=S的点P的坐标，在验证直线x+y﹣=0的右上侧椭圆上不存在满足条件的P得答案．

【解答】解：（1）由直线x+y﹣=0过F2，取y=0，得x=，即c=．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

两式作差可得：，

化为，则，

联立，解得a2=6，b2=3．

∴椭圆C的方程为：；

（2）如图，由（1）可得，F1（），过F1且与直线x+y﹣=0平行的直线方程为y=﹣1×（x+），

即y=﹣x﹣，

联立，解得或．

∴椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S；

再设与直线x+y﹣=0平行的直线方程为x+y=m，

联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，

由△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2=0，解得m=±3，

当m=3时，直线x+y=3与直线x+y﹣=0的距离为，

而直线x+y+与直线x+y﹣=0的距离为，，

∴直线x+y﹣=0的右上侧，椭圆上不存在点P，满足S△PAB=S．

综上，椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质，训练了“点差法”在解中点弦问题中的应用，考查了两平行线间距离公式的应用，是中档题．

21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．

（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

【分析】（1）当a=﹣2时故函数 在（1，+∞）上是增函数．

（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．

若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数； 当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．

（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．

【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，

（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．　

若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；

当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故[f（x）]min==．

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．

综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）

的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，

相应的x值为e．

（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而（x∈[1，e]）

令（x∈[1，e]），又，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质及研究单调性与函数的最值，还考查求参数的范围，解决此类问题的关键是分离参数后转化为恒成立问题，即求新函数的最值问题，是近年高考考查的热点．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC，CD．若tan∠CED=，⊙O的半径为3．

（1）证明：BC2=BDBE

（2）求OA的长．

【分析】（1）由等腰三角形的三线合一，连接OC，可得∠ACO=90°，由圆的切割线定理即可得到；

（2）先由三角形相似的判定定理可知△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，再由切割线定理列出方程，求出OA的长．

【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，

由OA=OB，CA=CB，

即有OC⊥AB．

则AB是⊙O的切线，

又BE是圆O的割线，

由切割线定理可得，

BC2=BDBE；

（2）由DE为直径，可得∠ECD=90°，

由tan∠CED=，

可得=．

由∠B=∠B，∠BCD=∠BEC，

可得△BCD∽△BEC，

则==，

设BD=x，BC=2x．又BC2=BDBE，

∴（2x）2=x（x+6），

解得x1=0，x2=2，

∵BD=x＞0，∴BD=2，

∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

【点评】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及弦切角定理、切割线定理的综合运用，考查学生推理和计算能力，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2018包头一模）已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：（t是参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

【分析】（1）曲线C：ρ=2cosθ，化为普通方程，然后转化为参数方程，消去参数可得直线l的普通方程．

（2）（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d．则|PA|=，其中φ为锐角，且tan α=．利用正弦函数的单调性即可得出最值．

【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ，可得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x，

即：（x﹣1）2+y2=1，

曲线C的参数方程，，θ为参数．

直线l：（t是参数）．

消去参数t，可得：3x+4y﹣12=0．

（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ﹣9|．

则|PA|==|sin（θ+φ）﹣|，其中φ为锐角，且tan φ=．

当sin（θ+φ）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin（θ+φ）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

24．=|x﹣1|﹣2|x+a|，a＞0

（1）若a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积小于6，求a的取值范围．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；（2）分别求出三角形顶点的坐标，表示出三角形的面积，得到关于a的不等式，解出即可．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）＞1，化为：|x﹣1|﹣2|x+1|﹣1＞0，①，

当x≤﹣1时，①式化为：x+2＞0，解得：﹣2＜x≤﹣1，

当﹣1＜x＜1时，①式化为：﹣x﹣4＞0，无解，

∴f（x）＞1的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}；

（2）由题设可得：f（x）=，

∴函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：

A（﹣2a﹣1，0），B（﹣a，a+1），C（，0），

∴S△ABC=××（1+a）=（1+a）2，

由题设可得：（1+a）2＜6，解得：0＜a＜2，

故a是范围是（0，2）．

【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d71be4b8541810a6f524ccbff121dd36a32dc439.html