教与学过程设计
第一课时 已知三角函数值求角（一）
（一）问题引入
问题：已知条件p：，q：
，则p是q的什么条件？
显然，p是q的充分条件（即p→q）；这就是已知一个角求它的三角函数值的问题，这类问题到目前为止已经得到了比较圆满的解决。比如你给我一个求任意角的三角函数问题，我总可以利用五套诱导公式将其转化求锐角的三角函数值问题，如果这个角是特殊角，我们直接可以计算；若是半特殊的角（150，750），我们可以利用两角和与差的三角函数来解决；若是非特殊角，我们还有一个杀手锏：查表或用计算器。
好，同学们有没有去考虑一下这种问题的反问题：已知三角函数值求角。
（二）新课
一、已知正弦函数值求角实例及反正弦概念
1． 解答问题
让我们回到这个还未解决的问题上来。p是q的充分条件，那它是不是也是q的必要条件呢？换句话说，q能推出p吗？（不能）为什么？（不一定就是）谁能一个字不说就让大家明白？（图象）是什么原因导致一个三角函数值对应这无数个角？（正弦函数的周期性）
上述问题的结论应该是：p是q充分非必要条件。（这个结果不太舒服）
2． 问题的引申
1）能不能将上述问题中的条件p改一下，使p成为q的充要条件？
答：或
2）能不能将上述问题中的条件q改一下，使p成为q的充要条件？
说明：这时要给角x限定一个区间，那么取什么样的区间比较好呢？这里所谓的好，是不是要满足这几个条件：1、在这个区间内满足的x只有一个
；2、在这个区间内正弦函数y=sinx值域中的每一个值都能取到；3、最好这个区间比较对称，长度适中。
答：将q改为（满足上述3个条件。从单调性来看：在这个区间内正弦函数单调递增，因
，所以在这个区间上，满足条件的只有一个
）
3）若将区间改成[0，2π]呢？（例1）
答：（由图象分析）满足条件的角有且只有两个，即{}（
）
3． 问题的结论
结论：已知一个三角函数值求角，根据角的范围的不同，答案也不尽相同；换句话说，已知一个三角函数值求角，角的个数要根据角的取值范围来确定。
4． 问题的深化
变式1（变x的取值范围）：[0，2π]→；（答案：
）
变式2（变自变量的形式）：x→x+；（用整体的概念——答案：
）
5． 反正弦概念的引入
变式3（变三角函数值）→a（-1≤a≤1）
说明：
1）此时a是一个不确定的数，不能想前面那样用某一个特殊角来表示；我们在实际应用过程中，碰到更多的是这些非特殊角，为解决这个矛盾，我们引入一个新的概念。符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x= arcsina。当正弦值a≠±1，0时，它对应的角有无数多个，这样x就确定不下来。为了使符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x有且只有一个，我们选择闭区间[]作为基本的范围，换句话说，arcsina∈[
]；
（思考：书上为什么选择这个区间作为基本的范围，换句话说，这个区间具备什么优点？）
2）将用反正弦表示出来（强调角x的范围）；
3）将用反正弦表示出来；
2 （1）已知，且
，求x；
（2）已知，且x∈[0，2π]，求x的取值集合。
解：（1）∵，∴
，∴
；
（2）∵，又
，∴
；同理可得第四象限角为
。
说明：
1．如要用反正弦表示应如何表示；
2．小结：给出一个三角函数值求角，假定角的范围[0，2π]，若这个值是正数，我们先求出对应的锐角x，那四个象限的角分别表示为：x，π-x，π+x，2π-x；若这个值是负数，先求出其绝对值所对应的锐角x，而后再根据角的范围用x，π-x，π+x，2π-x分别表示四个象限的角。（指着例1、例2讲述）
二、已知余弦函数值求角实例及反余弦概念
1．例3 （1）已知cosx=-0.7660，且x∈[0,π]，求x；
（2）已知cosx=-0.7660，且x∈[0,2π]，求x的取值集合。
说明：
1）显然再闭区间[0,π]上满足条件的x有且只有一个，且它是钝角。钝角查表是查不到的，我们设法将起转化为锐角。由cos（π-x）=-cosx=0.7660，得：π-x=，x=
；
2）满足条件的角为第二或第三象限角；由知，满足条件的角为{
，
}；
3）此题的两个小题再次向我们说明了：角的个数要根据角的取值范围来确定；
4）若手头没有数学常用表和计算器，该如何表示x？
2．反余弦概念的引入
1） 与反正弦类似，为了解决非特殊角余弦值的求角问题，引入反余弦概念。
2） 反余弦如何表示？（与反正弦比较得：arccosa）
3） 同样为了使符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x有且只有一个，我们选择区间[0，π]作为基本范围，在这个区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反余弦，记为arccosa，即x= arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx；
4） 将，
用反余弦表示。
（三）学生练习
1.已知，求x；
2．已知，求x。
（四）小结
今天与同学们一起研究了“已知一个三角函数值求角”的问题，这种问题的关键是要抓住角的范围，而后确定角。已知三角函数值求角的解题步骤：
1． 确定角x所在的象限；（可能不止一个）
2． 若函数值为正数，则先求出对应的锐角；若函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角；
3． 若函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出（0，2π）内对应的角——若它是第二象限角，那么可表示成π-x；若它是第三象限角，那么可表示成π+x；若它是第四象限角，那么可表示成2π-x
（五）作业
1．P77习题4.11 第1（1）（2）、2（1）（2）、3（1）（2）（3）、4（3）（4）题
2．每课一练（一）
第二课时 已知三角函数值求角（二）
（一）复习
1．例 已知，试分别求下列范围中的角
（1）为三角形的内角；
（2）为第一象限角；
（3）为第二象限角；
（4）∈R；
（5）将改为
，且x∈[0，2π]
说明：
（板书）已知三角函数值求角的解题步骤：
1）确定角x所在的象限；（可能不止一个）
2）若函数值为正数，则先求出对应的锐角；若函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角；
3）若函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出（0，2π）内对应的角——若它是第二象限角，那么可表示成π-x；若它是第三象限角，那么可表示成π+x；若它是第四象限角，那么可表示成2π-x。
2．练习：1）已知，x∈[0，2π]，求x；
2）在x∈[0，2π]，sinx,cosx分别等于0，1，-1时的特殊角；
3．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d2221a42b307e87101f6960e.html
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