1.3.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝在区间[4，5]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
解析：作出图象可知y＝在区间[4，5]上是减函数，(图略)所以其最小值为
＝
.
答案：B
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(
)
A．8，4 B．8，6
C．6，4 D．以上都不对
解析：f(x)在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f(2)＝8，最小值为f(－1)＝4.
答案：A
3．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋
≥
，所以
≤
，得f(x)的最大值为
.
答案：C
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析：a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2，所以，a＝±2.
答案：C
5．已知f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，t]上有最大值3，最小值2，则t的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
解析：因为f(0)＝3，f(1)＝2，函数f(x)图象的对称轴为x＝1，结合图象可得1≤t≤2.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝x2－4x＋2，x∈[－4，4]的最小值是________，最大值是________．
解析：f(x)＝(x－2)2－2，作出其在[－4，4]上的图象知f(x)min＝f(2)＝－2；f(x)max＝f(－4)＝34.
答案：－2 34
7．函数y＝的值域是________．
解析：观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x＝0时，y的最大值为2，即0<y≤2，故函数y的值域为(0，2]．
答案：(0，2]
8．函数g(x)＝2x－的值域为________．
解析：令＝t，则x＝t2－1(t≥0)，所以g(x)＝f(t)＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2＝2
－
，因为t≥0，所以当t＝
时，f(t)取得最小值－
，所以g(x)的值域为
.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，
又f＝
，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间上的最大值是5，最小值是1.
(2)因为g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
所以≤2或
≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，∞)．
10．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4，4]上的最大值．
解：f(x)＝x2－2ax＋a＋1，
当0<a<4时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a，4]上是增函数．
又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)．所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
当a≥4时，f(x)在[－4，4]上是减函数，所以，f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
综上，在[－4，4]上函数的最大值为9a＋17.
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)( )
A．有最大值3，最小值－1
B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值
D．无最大值，也无最小值
解析：画图得到F(x)的图象：射线AC、抛物线AB及射线BD三段，联立方程组
得xA＝2－，代入得F(x)的最大值为7－2
，由图可得F(x)无最小值，从而选C.
答案：C
2．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝__________．
解析：y＝－(x－3)2＋18，因为a<b<3，所以函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不合题意，舍去)－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
答案：－2 0
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠b)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
解：(1)因为方程f(x)＝2x有两等根，
即方程ax2＋(b－2)x＝0有两等根，
所以Δ＝(b－2)2＝0，得b＝2，
因为f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
所以x＝1是函数图象的对称轴，
所以－＝1，所以a＝－1，
所以f(x)＝－x2＋2x.
(2)因为函数f(x)＝－x2＋2x的图象对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
所以当t≤1时，f(x)在[0，t]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(t)＝－t2＋2t，
当t>1时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[0，t]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝1.
综上知f(x)的最大值为f(x)max＝
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d0a3b3be1fb91a37f111f18583d049649a660ee2.html
文档为doc格式