北京三十一中2019-2020学年八年级上期中数学试卷含答案解析

北京三十一中2019-2020学年八年级上期中数学试卷含答案解析

一、精心选一选（共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是( )

A．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2﹣1=xy（x﹣y）﹣1

C．a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2 D．ax+ay+a=a（x+y）

2．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．乙与丙

3．若函数y=的函数值为0，则自变量x的值为( )

A．2 B．﹣1 C．±1 D．1

4．如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是( )

A．∠B=∠E，BC=EF B．∠A=∠D，BC=EF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．BC=EF，AC=DF

5．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是( )

A．DE=DF B．AE=AF C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF

6．下列各式中，正确的是( )

A．= B．=

C．= D．=﹣

7．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是( )

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

8．如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )

A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．是原来的 D．不变

9．下列说法错误的说法有几个( )

①全等三角的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形的面积相等；

④全等三角形的周长相等；

⑤有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑥全等三角形的对应边上的中线相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．5个

10．如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小是( )°．（用含x的式子表示）

A．x B．180°﹣2x C．180°﹣x D．2x

二.细心填一填（每空2分，共20分）

11．因式分解：a2﹣b2=__________．

12．当x__________时，式子有意义．

13．一种细菌的半径为0.0004m，用科学记数法表示为__________m．

14．把分式约分得__________．

15．（）﹣2﹣（﹣1）0=__________．

16．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB=ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为__________；若添加条件AC=EC，则可以用__________公理（或定理）判定全等．

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，那么△EBD的周长为__________．

18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标__________．

三、解答题（共1小题，满分16分）

19．（16分）因式分解：

（1）x2y﹣4xy+4y．

（2）16﹣b4．

（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8．

（4）a2﹣2a+1﹣b2．

四.用心算一算（共3个小题，每小题4分，共12分）

20．计算：．

21．÷．

22．先化简，再求值：，其中m=9．

五.作图题（本题2分）

23．（1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如左图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明作图的依据是__________．

（2）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，则作射线OP即为所求．由作法得△OCP≌△ODP的根据是__________．

六．解答题（共20分，每题5分）

24．列方程解应用题：

学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机．已知一台A型计算机的售价比一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要22.4万元，购买B型计算机需要24万元．那么一台A型计算机的售价和一台B型计算机的售价分别是多少元？

25．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．

求证：AE=CF．

26．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．

（1）求证：AD=AG；

（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．

27．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD=DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：

（1）∠DAB+∠C=180°

（2）BH=（AB+BC）

28．阅读材料1：

对于两个正实数a，b，由于（﹣）2≥0，所以（）2﹣2+（）2≥0，即a﹣2+b≥0，所以得到a，并且当a=b时，a+b=2．

阅读材料2：

若x＞0，则==x，因为x＞0，，所以由阅读材料1可得，x=2，即的最小值是2，只有x=时，即x=1时取得最小值．

根据以上阅读材料，请回答以下问题：

（1）比较大小：x2+1__________2x（其中x≥1）；x__________﹣2（其中x＜﹣1）

（2）已知代数式变形为x，求常数n的值；

（3）当x=__________ 时，有最小值，最小值为__________．（直接写出答案）

-学年三十一中八年级（上）期中数学试卷

一、精心选一选（共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是( )

A．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2﹣1=xy（x﹣y）﹣1

C．a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2 D．ax+ay+a=a（x+y）

【考点】因式分解的意义．

【专题】推理填空题．

【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，左边是一个多项式，右边是整式的积的形式，进行判断即可．

【解答】解：根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，

A、右边不是积的形式，故本选项错误；

B、右边最后不是积的形式，故本选项错误；

C、右边是（a﹣2b）（a﹣2b），故本选项正确；

D、结果是a（x+y+1），故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了对因式分解的意义的理解，关键是能根据因式分解的意义进行判断（从等式的左边到等式的右边是否是因式分解）．

2．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．乙与丙

【考点】全等三角形的判定．

【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．

【解答】解：如图：

在△ABC和△MNK中，

，

∴△ABC≌△MNK（AAS）；

在△ABC和△HIG中，

，

∴△ABC≌△HIG（SAS）．

∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙或丙．

故选D．

【点评】此题考查了全等三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意数形结合思想的应用．

3．若函数y=的函数值为0，则自变量x的值为( )

A．2 B．﹣1 C．±1 D．1

【考点】函数值．

【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．

【解答】解：∵函数y=的函数值为0，

∴自变量x的值为：x=2．

故选：A．

【点评】此题主要考查了函数值，正确把握函数值的意义是解题关键．

4．如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一组条件是( )

A．∠B=∠E，BC=EF B．∠A=∠D，BC=EF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．BC=EF，AC=DF

【考点】全等三角形的判定．

【分析】将所给的选项逐一判断、分析，即可解决问题．

【解答】解：不能添加的一组条件是B；理由如下：

在△ABC与△DEF中，

∵∠A=∠D，BC=EF，AB=DE，

即在两个三角形中满足：有两边和其中一边所对的对应角相等，

∴这两个三角形不一定全等，

故选B．

【点评】该题主要考查了全等三角形的判定定理及其应用问题；牢固掌握全等三角形判定定理的本质内容是解题的关键．

5．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是( )

A．DE=DF B．AE=AF C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF

【考点】角平分线的性质．

【分析】作出图形，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，∠ADE=∠ADF．

【解答】解：如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，

只有AB=AC时，BD=CD．

综上所述，结论错误的是BD=CD．

故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

6．下列各式中，正确的是( )

A．= B．=

C．= D．=﹣

【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式的基本性质作答：分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变判断即可．

【解答】解：A、，错误；

B、，正确；

C、，错误；

D、，错误．

故选B．

【点评】本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．

7．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是( )

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

【考点】全等三角形的判定．

【分析】结合题意，根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△POM≌△PON．

【解答】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°

∴△OPM≌△OPN

所用的判定定理是HL．

故选D．

【点评】本题考查了判定直角三角形全等的HL定理，是一道操作题，要会转化为数学问题来解决．

8．如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )

A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．是原来的 D．不变

【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式的性质，可得答案．

【解答】解：分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值不变，

故选：D．

【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．

9．下列说法错误的说法有几个( )

①全等三角的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形的面积相等；

④全等三角形的周长相等；

⑤有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑥全等三角形的对应边上的中线相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．5个

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等；平移、翻折、旋转前后的图形全等进行分析即可．

【解答】解：①全等三角的对应边相等，说法正确；

②全等三角形的对应角相等，说法正确；

③全等三角形的面积相等，说法正确；

④全等三角形的周长相等，说法正确；

⑤有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等，说法错误；

⑥全等三角形的对应边上的中线相等，说法正确．

故选：A．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握能完全重合的两个个三角形是全等三角形，因此全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，周长相等，面积相等，对应边相等，对应角相等．

10．如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小是( )°．（用含x的式子表示）

A．x B．180°﹣2x C．180°﹣x D．2x

【考点】全等三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=x，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2x，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°﹣∠B′﹣x，则∠C′+2x=180°﹣∠B′﹣x，所以∠C′+∠B′=180°﹣3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=x+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°﹣2x．

【解答】解：延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=x，

∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2x，

∵C′D∥B′E，

∴∠AEB=∠C′MC，

∵∠AEB′=180°﹣∠B′﹣∠B′AE=180°﹣∠B′﹣x，

∴∠C′+2x=180°﹣∠B′﹣x，

∴∠C′+∠B′=180°﹣3x，

∵∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠DAC+∠B′=x+∠ACD+∠B′=x+∠C′+∠B′

=x+180°﹣3x=180°﹣2x．

故选B．

【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．

二.细心填一填（每空2分，共20分）

11．因式分解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

【考点】因式分解-运用公式法．

【专题】因式分解．

【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．

【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故答案为：（a+b）（a﹣b）．

【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．

12．当x≠3时，式子有意义．

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，

解得：x≠3，

故答案为：≠3．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

13．一种细菌的半径为0.0004m，用科学记数法表示为4×10﹣4m．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0004=4×10﹣4，

故答案为：4×10﹣4．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

14．把分式约分得．

【考点】约分．

【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．

【解答】解：原式==，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了约分，关键是正确确定分子分母的公因式．

15．（）﹣2﹣（﹣1）0=8．

【考点】负整数指数幂；零指数幂．

【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．

【解答】解：原式=9﹣1=8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1是解题关键．

16．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB=ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为BC=DC；若添加条件AC=EC，则可以用HL公理（或定理）判定全等．

【考点】全等三角形的判定；直角三角形全等的判定．

【分析】根据已知条件知∠B=∠D=90°．若以“SAS”为依据判定△ABC≌△EDC，结合已知条件缺少对应边BC=DC；若添加条件AC=EC，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明△ABC≌△EDC．

【解答】解：∵AB⊥BD，AB∥ED，

∴ED⊥BD，

∴∠B=∠D=90°；

①又∵AB=ED，

∴在△ABC和△EDC中，

当BC=DC时，

△ABC≌△EDC（SAS）；

②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；

故答案分别是：BC=DC、HL．

【点评】本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，那么△EBD的周长为6cm．

【考点】角平分线的性质．

【分析】首先根据角平分线的性质可得CE=DE，再利用HL定理证明Rt△ADE≌Rt△ACE，进而可得AD长，从而可得DB长，然后再计算出DE+EB长即可得到△EBD的周长．

【解答】解：∵AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，∠ACB=90°，

∴CE=DE，

在Rt△ADE和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ACE（HL），

∴AC=AD=3cm，

∵AB=5cm，

∴DB=2cm，

∵BC=4cm，

∴DE+EB=4cm，

∴△EBD的周长为6cm，

故答案为：6cm．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

18．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．

【考点】全等三角形的性质；坐标与图形性质．

【专题】计算题．

【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．

【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，

点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），

故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．

【点评】本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

三、解答题（共1小题，满分16分）

19．（16分）因式分解：

（1）x2y﹣4xy+4y．

（2）16﹣b4．

（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8．

（4）a2﹣2a+1﹣b2．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法．

【专题】计算题；因式分解．

【分析】（1）原式提取y，再利用完全平方公式分解即可；

（2）原式利用平方差公式分解即可；

（3）原式整理后，利用十字相乘法分解即可；

（4）原式结合后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．

【解答】解：（1）原式=y（x2﹣4x+4）=y（x﹣2）2；

（2）原式=（4+b2）（4﹣b2）=（4+b2）（2+b）（2﹣b）；

（3）原式=x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）；

（4）原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

四.用心算一算（共3个小题，每小题4分，共12分）

20．计算：．

【考点】分式的乘除法．

【分析】根据分数乘除法的运算法则和运算顺序计算即可，在计算时注意约分

【解答】解：原式=，

=，

=

【点评】本题考查了分式的乘除法运算，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．

21．÷．

【考点】分式的乘除法．

【专题】计算题．

【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=•=．

【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．先化简，再求值：，其中m=9．

【考点】分式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，除数分母利用完全平方公式分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=•=，

当m=9时，原式==．

【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

五.作图题（本题2分）

23．（1）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如左图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明作图的依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

（2）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，则作射线OP即为所求．由作法得△OCP≌△ODP的根据是三边分别相等的两个三角形全等．

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；角平分线的性质．

【分析】（1）过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；

（2）根据作图可得PC=PD，CO=DO，再加上公共边OP=OP可利用SSS判定△OPC≌△OPD．

【解答】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴CE=CF，

∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故答案为：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；

（2）∵在△OPC和△OPD中，

∴△OPC≌△OPD（SSS），

故答案为：三边分别相等的两个三角形全等．

【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．

六．解答题（共20分，每题5分）

24．列方程解应用题：

学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机．已知一台A型计算机的售价比一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要22.4万元，购买B型计算机需要24万元．那么一台A型计算机的售价和一台B型计算机的售价分别是多少元？

【考点】分式方程的应用．

【分析】首先设一台A型计算机的售价是x 元，则一台B型计算机的售价是（x+400）元．根据题意等量关系：22.4万元购买的A型计算机的数量=24万元购买的B型计算机的数量，根据等量关系列出方程，再解即可．

【解答】解：设一台A型计算机的售价是x 元，则一台B型计算机的售价是（x+400）元．根据题意列方程，得

=

解这个方程，得x=5600，

经检验，x=5600是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．

当x=5600时，x+400=6000，

答：一台A型计算机的售价是5600元，一台B型计算机的售价是6000元．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，再列出方程．注意解方程后不要忘记检验．

25．已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD=CB，∠B=∠D，AD∥BC．

求证：AE=CF．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推知△ADF≌△CBE；然后由全等三角形的对应边相等知，AF=CE，所以AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．

【解答】证明：∵AD∥BC（已知），

∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）；

在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE （ASA），

∴AF=CE（全等三角形的对应边相等），

∴AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．做题时要根据已知条件的具体位置来选择方法．

26．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．

（1）求证：AD=AG；

（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BHF与三角形CHE相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG，

（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG与AD垂直．

【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE，

∴∠ABD=∠ACG，

在△ABD和△GCA中

，

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）；

（2）位置关系是AD⊥GA，

理由为：∵△ABD≌△GCA，

∴∠ADB=∠GAC，

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，

∴∠AED=∠GAD=90°，

∴AD⊥GA．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

27．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD=DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：

（1）∠DAB+∠C=180°

（2）BH=（AB+BC）

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，由角平分线的性质得出DH=DE，由HL证得Rt△ADE≌Rt△CDH，得出对应角相等，即可得出结论；

（2）由HL证得Rt△BDE≌Rt△BDH，得出BE=BH，再由Rt△ADE≌Rt△CDH，得出AE=CH，即可得出结论．

【解答】证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示：

∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，

∴DH=DE，

在Rt△ADE和Rt△CDH中，，

∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），

∴∠C=∠DAE，

∵∠DAB+∠DAE=180°，

∴∠DAB+∠C=180°；

（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，，

∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），

∴BE=BH，

∵Rt△ADE≌Rt△CDH，

∴AE=CH，

∴AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH，

∴BH=（AB+BC）．

【点评】本题考查了角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．

28．阅读材料1：

对于两个正实数a，b，由于（﹣）2≥0，所以（）2﹣2+（）2≥0，即a﹣2+b≥0，所以得到a，并且当a=b时，a+b=2．

阅读材料2：

若x＞0，则==x，因为x＞0，，所以由阅读材料1可得，x=2，即的最小值是2，只有x=时，即x=1时取得最小值．

根据以上阅读材料，请回答以下问题：

（1）比较大小：x2+1≥2x（其中x≥1）；x＜﹣2（其中x＜﹣1）

（2）已知代数式变形为x，求常数n的值；

（3）当x=0 时，有最小值，最小值为3．（直接写出答案）

【考点】分式的混合运算；二次根式的化简求值．

【专题】阅读型．

【分析】（1）x2+1﹣2x=（x﹣1）2≥0，所以x2+1≥2x；当x＜﹣1时，由阅读材料1可得，，所以；

（2）把代数式变形为，解答即可；

（3）当x=0 时，有最小值，最小值为3．

【解答】解：（1）x2+1﹣2x=（x﹣1）2≥0，所以x2+1≥2x；当x＜﹣1时，由阅读材料1可得，，所以；

（2）

=

=

=

=x，

所以n=2；

（3）当x=0 时，有最小值，最小值为3．

故答案为：（1）≥＜；（2）n=2；（3）0，3．

【点评】本题主要考查了分式的混合运算．读懂材料并加以运用是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cf2c9e8059fb770bf78a6529647d27284a733757.html