2019年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

2019年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析

(满分150分,考试时间120分钟)

一、选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分

1．(2019浙江宁波,1题,4分)－2的绝对值为

A.－ B.2 C. D.－2

【答案】B

【解析】负数的绝对值是它的相反数,|－2|＝2,故选B.

【知识点】绝对值

2．(2019浙江宁波,2题,4分)下列计算正确的是

A.a2+a3＝a5 B.a3·a2＝a6 C.(a2)3＝a5 D.a6÷a2＝a4

【答案】D

【解析】A.不是同类项,不能计算,故A错误;B.a3·a2＝a5,故B错误;C.(a2)3＝a6,故C错误;D.a6÷a2＝a4,故D正确;故选D.

【知识点】同底数幂的乘除,幂的乘方,积的乘方,合并同类项

3．(2019浙江宁波,3题,4分)宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市,项目总投资为1 526 000 000.数1 526 000 000用科学记数法表示为

A.1.526×108 B.15.26×108 C.1.526×109 D.1.526×1010

【答案】C

【解析】1 526 000 000＝1.526×109,故选C.

【知识点】科学记数法

4．(2019浙江宁波,4题,4分)若分式有意义,则x的取值范围是

A.x>2 B.x≠2 C.x≠0 D.x≠－2

【答案】B

【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即x－2≠0,∴x≠2,故选B.

【知识点】分式

5．(2019浙江宁波,5题,4分)如图,下列关于物体的主视图画法正确的是

第5题图

【答案】C

【解析】如图所示是一个空心圆柱,其左视图轮廓应该是长方形,内部的两条线段看不到,应该用虚线表示,故选C.

【知识点】三视图的画法

6．(2019浙江宁波,6题,4分)不等式的解为

A.x<1 B.x<－1 C.x>1 D.x>－1

【答案】A

【解析】不等式两边同乘2,得3－x>2x,移项,合并,得3>3x,∴x<1,故选A.

【知识点】解不等式

7．(2019浙江宁波,7题,4分)能说明命题”关于x的方程x2－4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为

A.m＝－1 B.m＝0 C.m＝4 D.m＝5

【答案】D

【解析】方程的根的判别式＝(－4)2－4m＝16－4m,当<0时,方程无实数根,∴应使16－4m<0,即m>4,可得原方程无实数根,四个选项中,只有m＝5符合条件,故选D.

【知识点】一元二次方程根的判别式,解不等式,反例

8．(2019浙江宁波,8题,4分)去年某果园随机从甲,乙,丙,丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵,每棵产量的平均数(单位:千克)及方差S2(单位:千克2)如下表所示:

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植,应选的品种是

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【答案】B

【解析】方差体现的是一组数据的稳定情况,方差越小,越稳定,故选乙和丁,二者的平均产量乙大于丁,故应选乙进行种植,故选B.

【知识点】方差,平均数

9．(2019浙江宁波,9题,4分)已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1＝25°,则∠2的度数为

A.60° B.65° C.70° D.75°

第9题图

【答案】C

【解析】∵∠B＝45°,∠1＝25°,∴∠3＝∠1+∠B＝70°,∵m∥n,∴∠2＝∠3＝70°,故选C.

第9题答图

【知识点】三角形的外角,平行线的性质

10．(2019浙江宁波,10题,4分)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为

A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

第10题图

【答案】B

【解析】＝,右侧圆的周长为,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,

∴＝,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.

【知识点】弧长,圆锥展开图

11．(2019浙江宁波,11题,4分)小慧去花店购买鲜花,若买5支玫瑰和3支百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3支玫瑰和5支百合,则她所带的钱还缺4元,若只买8支玫瑰,则她所带的钱还剩下

A.31元 B.30元 C.25元 D.19元

【答案】A

【解析】设一支玫瑰x元,一支百合y元,小慧带了z元,根据题意得:5x+3y＝z－10,3x+5y＝z+4,∴x+y＝,

∴3x+3y＝,∴2x＝,∴8x＝z－31,即小慧买8支玫瑰后,还剩31元,故选A.

【知识点】二元一次方程组,消元法

12．(2019浙江宁波,12题,4分)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出

A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积

C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和

第12题图

【答案】C

【思路分析】由勾股定理可知,两个小正方形面积和等于大正方形面积,表示出阴影部分面积,即可得到结论.

【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),

由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C.

第12题答图

【知识点】勾股定理,阴影面积

二、填空题：本大题共6小题,满分24分,只填写最后结果,每小题填对得4分.

13．(2019浙江宁波,13题,4分)请写出一个小于4的无理数:________.

【答案】

【解析】常见无理数有,开方开不尽的数,故本题可填,,…,,,…,等.

【知识点】无理数

14．(2019浙江宁波,14题,4分)分解因式:x2+xy＝________.

【答案】x(x+y)

【解析】利用提公因式法分解因式,可得x2+xy＝x(x+y).

【知识点】提公因式法分解因式

15．(2019浙江宁波,15题,4分)袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球,则摸出的球是红球的概率为________.

【答案】【解析】袋中共有8个球,任意摸一次,有8中等可能的结果,其中,摸到红球的结果有5中,

∴摸出的球是红球的概率＝

【知识点】概率

16．(2019浙江宁波,16题,4分)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米.

第16题图

【答案】566【解析】在Rt△AOH中,OH＝AOcos45°＝,在Rt△BOH中,BO＝.

第16题答图

【知识点】三角函数

17．(2019浙江宁波,17题,4分)如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12 ,点D在边BC上,CD＝5,BD＝13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的P与△ABC的一边相切时,AP的长为________.

第17题图

【答案】或

【解析】半径为6的P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:

①当P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处取到,为5,故这种情况不存在;

②当P与AC相切时,点P到BC的距离为6,如图PE＝6,PE⊥AC,

∴PE为△ACD的中位线,点P为AD中点,∴AP＝;

③当P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF＝6,PF⊥AB,过点D作DG⊥AB于点G,∴△APF∽△ADG∽△ABC,∴,其中,PF＝6,AC＝12,AB＝＝,∴AP＝;

综上所述,AP的长为或.

【知识点】切线性质,中位线,相似三角形,勾股定理

18．(2019浙江宁波,18题,4分)如图,过原点的直线与反比例函数(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,连接AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连接DE,若AC＝3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.

第18题图

【答案】6

【思路分析】连接OE,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,得到等腰三角形,结合平分线得到平行,将△ADE的面积转化为△ADO的面积,再利用反比例函数的性质,将△ADO的面积转化为梯形AMND的面积,再根据相似三角形和反比例函数的性质,可依次得到△AMC和△AOM的面积,则k值可求.

【解题过程】连接OE,在Rt△ABE中,点O是AB的中点,

∴OE＝＝OA,∴∠OAE＝∠OEA,

∵AE为∠BAC的平分线,∴∠OAE＝∠DAE,∴∠OEA＝∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE＝S△ADO,

过点A作AM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,易得S梯AMND＝S△ADO,

∵△CAM∽△CDN,CD:CA＝1:3,∴S△CAM＝9,

延长CA交y轴于点P,易得△CAM∽△CPO,可知DC＝AP,

∴CM:MO＝CA:AP＝3:1,∴S△CAM:S△AMO＝3:1,∴S△AMO＝3,

∵反比例函数图象在一,三象限,∴k＝6.

第18题答图

【知识点】直角三角形斜边中线等于斜边一半,等边对等角,平行线判定,反比例函数k的几何意义,三角形面积转化,相似三角形的性质

三、解答题：本大题共8小题,满分78分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19．(2019浙江宁波,19题,6分)先化简,再求值:(x－2)(x+2)－x(x－1),其中,x＝3.

【思路分析】先进行化简,然后将a的值代入化简结果,进行计算.

【解题过程】原式＝x2－4－x2+x＝x－4,当x＝3时,原式＝x－4＝3－4＝－1

【知识点】整式化简求值,平方差公式

20．(2019浙江宁波,20题,8分)图1,图2都是有边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中由5个小等边三角形已图上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,按下列要求选取一个图上阴影:

(1)使得6个阴影小等边三角形中组成一个轴对称图形;

(2)使得6个阴影小等边三角形中组成一个中心对称图形;

(请将两个小题一次作答在图1,图2中,均只需画出符合条件的一种情形)

第20题图

【思路分析】(1)找到原图形的对称轴,在对称轴上增加三角形即可;(2)将原图形补成平行四边形,即为中心对称图形.

【解题过程】(1)画出下列其中一种即可

(2)画出下列其中一种即可

【知识点】轴对称图形,中心对称图形.

21．(2019浙江宁波,21题,8分)今年5月15日,亚洲文明对话大会在北京开幕.为了增进学生对亚洲文化的了解,某学校开展了相关知识的宣传教育活动.为了解这次宣传活动的效果,学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试(测试满分100分,得分均为整数),并根据这100人的测试成绩,制作了如下统计图表.

100名学生知识测试成绩的频数表

100名学生知识测试成绩的频数直方图

第21题图

由表中给出的信息回答下列问题：

(1)m＝________,并补全频数直方图;

(2)小明在这次测试成绩中成绩为85分,你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由;

(3)如果80分以上(包括80分)为优秀,请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.

【思路分析】(1)总人数减去其他成绩范围的人数即为70≤a<80分数段的人数m;(2)根据中位数的定义,为第50和51名成绩的平均数,但这两个成绩并不确定,故不一定;(3)根据样本百分数估计总体.

【解题过程】(1)m＝20,频数直方图如图所示:

第21题答图(1)

(2)不一定是,理由如下:将100名学生知识测试成绩从小到大排列,第50名与第51名的成绩都在分数段80≤a<90中,但他们的平均数不一定是85分,∴85分不一定是这100名学生知识测试成绩的中位数;

(3)(人),答:全校1200名学生中,成绩优秀的约有660人.

【知识点】频数,频数直方图,中位数,样本估计总体

22．(2019浙江宁波,22题,10分)如图,已知二次函数y＝x2+ax+3的图形经过点P(－2,3).

(1)求a的值和图象的顶点坐标;

(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上:

①当m＝2时,求n的值;

②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.

【思路分析】(1)将点P坐标代入解析式,可得a的值,进而求得顶点坐标;(2)①将m＝2代入解析式即可求得n的值;②点Q到y轴的距离小于2,即－2求出函数值的范围,即可得n的取值范围.

【解题过程】(1)把P(－2,3)代入y＝x2+ax+3,得3＝(－2)2+a(－2)+3,解之,得a＝2,

∴y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2,∴顶点坐标为(－1,2);

(2)①把x＝2代入y＝x2+2x+3,得y＝11,∴当m＝2,时,n＝11;

②当点Q到y轴的距离小于2时,即－2函数可以取得最小值为2,当x＝－2时,y＝3,当x＝2时,y＝11,

∴n的取值范围为2≤n<11.

【知识点】二次函数解析式,求函数值,二次函数的最值

23．(2019浙江宁波,23题,10分)如图,矩形EFGH的顶点E,C分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.

(1)求证:BG＝DE;

(2)若E为AD中点,FH＝2,求菱形ABCD的周长.

第23题图

【思路分析】(1)由菱形和矩形的性质,得到对应边,对应角相等,从而证明全等,得到结论;(2)连接EG,由矩形性质得到EG＝FH,证明四边形AEGB和四边形EGCD都是平行四边形,得到菱形边长,则周长可得.

【解题过程】(1)在矩形EFGH中,EH＝FG,EH∥FG,∠GFH＝∠EHF.∠BFG＝180°－∠GFH,∠DHE＝180°－

∠EHF,∠BFG＝∠DHE,在菱形ABCD中,AD∥BC,∠GBF＝∠EDH,△BGF≌△DEH(AAS),BG＝DE;

(2) 如图,连接EG,在菱形ABCD中,AD∥BC,AD＝BC,∵E为AD中点,AE＝ED,BG＝DE,∴AE＝BG,

∴四边形ABGE是平行四边形,∴AB＝EG,在矩形EFGH中,EG＝FH＝2,AB＝2,∴菱形周长为8.

【知识点】矩形性质,菱形性质,全等三角形,平行四边形的判定

24．(2019浙江宁波,24题,10分)某风景区内的公路如图1所示,景区内有免费的班车,从入口除法,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计),第一班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车,小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处除法,沿该公路步行25分钟后到达塔林,离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示.

(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式;

(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间;

(3)小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)

第24题图

【思路分析】(1)利用待定系数法,将两点坐标代入解析式,即可求解析式;(2)将1500代入解析式,即可求出所需时间;(3)根据题意列出不等式,求得小聪坐的车,然后分别算出坐车和步行到草甸的时间,即可求出二者相差的时间.

【解题过程】(1)由题意可设,函数表达式为y＝kx+b(b≠0),把(20,0),(38,2700)代入,可得,解得,∴第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式为y＝150x－3000(20≤x≤38);

(2)把y＝1500代入y＝150x－3000,解得x＝30,30－20＝10(分),∴第一班车到塔林所需时间为10分钟;

(3)设小聪坐上第n班车,30－25+10(n－1)≥40,解得n≥4.5,∴小聪最早坐上第5班车,等班车时间为5分钟,坐班车所需时间:1200÷150＝8(分),步行所需时间:1200÷(1500÷25)＝20(分),20－(8+5)＝7(分),∴小聪坐班车到草甸比他游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式,一元一次方程,不等式的应用

25．(2019浙江宁波,25题,12分)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.

(1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;

(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;

(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,求邻余线AB的长.

第25题图

【思路分析】(1)由等腰三角形三线合一可得AD⊥BD,∴∠FAB与∠EBA互余,进而得到邻余四边形;(2)采用类似(1)问的方法,将∠A和∠B放在同一个直角三角形中,即可得到图形;(3)直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得ME＝MD,∠MDE＝∠MED,证得△DBQ∽△ECN,进而由图形中线段的等量关系,结合相似比例式,可得邻余线AB的长度.

【解题过程】(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,

∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°,∴∠FAB与∠EBA互余.

∴四边形ABEF是邻余四边形;

(2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)

第25题答图

(3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,

∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.

∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.

∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△ECN,

∴,∵QB＝3,∴NC＝5,

∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10.

【知识点】等腰三角形三线合一,直角三角形两锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等边对等角,相似三角形

26．(2019浙江宁波,26题,14分)如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.

(1)求证:BD＝BE;

(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长;

(3)设＝x,tan∠DAE＝y.

①求y关于x的函数表达式;

②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.

第26题图

【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED＝∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG,BG长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH的代数式,进而求得y关于x的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y的值.

【解题过程】(1)∵△ABC为等边三角形,

∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.

(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,

∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,

在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,

∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,

∴在Rt△AEG中,AE＝;

第26题答图(1)

(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,

在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,

Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;

第26题答图(2)

②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,

∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,

∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,

∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,

∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面积＝,

△AEC的面积＝,

∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,

∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.

第26题答图(3)

【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cbbf004bb5360b4c2e3f5727a5e9856a561226ce.html