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高一年级数学选修课精英班讲义---集合(答案)

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高一年级数学选修课精英班讲义(集合
1．设M＝{a|a＝x－y，x，y∈Z}，求证：
（1）2k－1∈M（k∈Z）；（2）4k－2M（k∈Z）；（3）p∈M，q∈M，则pq∈M．
证：（1）因k，k－1∈Z，且2k－1＝k－(k－1，故2k－1∈M（k∈Z）（2）假设4k－2∈M（k∈Z），则存在x，y∈z，使4k－2＝x2－y2，即(x－y(x＋y＝2(k－1,①由于x－y，x＋y具有相同的奇偶性，所以①式左边仅有两种可能：奇数或4的倍数．而①式右边是2的倍数但不是4的倍数，以上说明，①式不能成立，4k－2M.
222222
（3）设p＝x12y12，q＝x2（x2y2，(x1，x2，y1，y2∈Z，则pq＝（x1y1）y2）
2
2
2
2
222222222＝x12x2y1y2x1y2x2y1＝(x1x2－y1y2－(x1y2－x2y1,其中x1x2－y1y2∈Z，x1x2－x2y1∈Z.
所以pq∈M．
22
2．如果M＝{x|x＝a＋1，a∈N＋}，P＝{y|y＝b－4b＋5，b∈N+}．证明:MØP．
证：任取x0∈M，有x0＝a021＝(a0＋22－4(a0＋2＋5(a0∈N＋，因a0＋2∈N＋，故x0∈P，MP．当b＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，所以1∈P；又a∈N＋时，a2＋1>1．所以1∈M．（P中至少有一个元素不属于M）
综上所述，MP．（M是P的真子集）
≠
3．设集合M＝{u|y＝12m＋8n＋4l，m，n，l∈Z}，N＝{v|v＝20p＋16q＋12r，p，q，r∈Z}.求证：M＝N．证：任取u0∈M，则存在m，n，l∈Z，使u0＝12m＋8n＋4l＝20n＋16l＋12(m－n－l,显见，u0∈N，从而MN。
任取v0∈N，存在p，q，r∈Z，使v0＝20p＋16q＋12r＝12r＋8·(2q＋4·(5p,知v0∈M，故NM。综上所述，有M＝N。
4．集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}。若A∪B＝A，A∩C＝C，求a，m。
解：依题设，A＝{1，2}，∵A∪B＝A，即BA，故集合B至多有元素1，2，方程x2－ax＋(a－1＝0的二根1，a－1，从而
①a－1＝2，即a＝3，此时B＝{1，2}；
②a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1}，1∈B故B不可能为空集，所以a＝2，3.A∩C＝C，即CA，显然当C含有元素1，2时，m＝3，此时A＝C，另一种情形是C＝Ø，此时，方程x2－mx＋2＝0无实根判别式Δ＝m2－8<0，即22<m<22，所以m的值为3或22<m<22。
5．已知SN＋，92∈S，S中其他元素都是平方数，A(S表示S中所有元素的算术平均数，如S＝{a1，a2，…，
an}，则A(S＝
1n
(a1＋a2＋…＋an，若A(S＝85，A(s\{92}＝84，求S中最大元素。（S\{92}表示S中除
92之外的其他元素构成的集合）
解：设集合S的元素数为n＋1，则n·84＋92＝(n＋1·85,∴n＝7.
设S\{92}＝{a1，a2，…，a7}，由S中元素的互异性，从而此平方数各不相同，故可设定不等关系为0<a1<a2<…<a6<a7，依题意,a1＋a2＋…＋a6＋a7＝84×7＝588，且a1＋a2＋…＋a6≥12＋22＋…＋62＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91＝
16
×6×7×13＝91，公式12＋22＋…＋n2＝
16
n(n＋1(2n＋1,a7≤588－91＝497，
进而知完全平方数a7≤222。而232＝529，484－497＝13＝72－62，且62调整为72恰好增加13。为了使a7最大，取a7＝222，试探a1，a2…a6有没有对应数。
注意到12＋22＋32＋42＋52＋72＋222＝588，故a7＝222＝484，即为所求。
6．设a，b是两个实数，集合A，B，C分别是A＝{(x，y|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y|x＝m，y

1

＝3m＋15，m∈Z}，C＝{(x，y|x＋y≤144}。是否存在a，b使得（i）A∩B≠Ø；（ii）(a，b∈C同时成立。
解：A，B可改写为：A＝{(x，y|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y|y＝3x＋15，x∈Z},A∩B≠Ø的意思是存在实数a，b和整数x使得y＝ax＋b＝3x2＋15，x∈Z成立，（a，b）∈C表示a2＋b2≤144，这样，问a2b2144①
22
题转化为：是否存在实数a，b，使得axb3x153x－ax＋15－b＝0②
xZ③
22
由②得3x－ax＋15－b＝0,②因为x∈Z，所以②其判别式Δ＝(－a－12(15－b≥0,
2
222
即是a2≥180－12b，因此a2＋b2≥(180－12b＋b2＝(b－62＋144≥144④再考虑到①及④有144≤a2＋b2≤144,所以a2＋b2＝144，此时由b＝6，＝63，Δ＝(－a2－12(15－b＝108－108＝0,即方程②有等根，根为x2－
b2a
（公式），即x＝
a6
3与x为整数矛盾。有x＝
a6
＝3，这与③
矛盾。从而表明，不存在实数a，b，使得(i、(ii同时成立。
7．已知集合A＝{(x，y|ax＋y＝1}，B＝{(x，y|x＋ay＝1}，C＝{(x，y|x2＋y2＝1}，问:
（1）当a取何值时，（A∪B）∩C为含有两个元素的集合？
（2）当a取何值时，（A∪B）∩C为含有三个元素的集合？
axy1,解：（A∪B）∩C＝{A∩C}∪（B∩C），A∩C与B∩C分别为方程组2
2
xy1,
(I
xay122
xy1
(II
22x10y(1ax2222
由（I）,(1ax1x(a1x2ax
22y11y1x
2a
x221a
的解集.,2
y1a221a
1a1a
22
由（I）解得（x，y）＝（0，1），(
2a1a
2
,
1a1a
22
，(；由（II）解得（x，y）＝（1，0）,
2a1a
2
.
2a
0,21a
（1）使（A∪B）∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：2
1a1;
21a2a
1,21a
21a0;21a
a0（III）
a1（Ⅳ）由（III）得a＝0；由（Ⅳ）得a＝0或1时，（A∪B）∩C恰有两个元素。
（2）（A∪B）∩C恰有三个元素，当且仅当
2a1a
2

1a1a
22
A
,
B
A
CB
∴a2＋2a-1＝0，解得a＝－12。C



2

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c7d5ce6cf5335a8103d22001.html

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