2020-2021天津市方舟实验学校九年级数学下期中试题（带答案）

2020-2021天津市方舟实验学校九年级数学下期中试题(带答案)

一、选择题

1．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（   ）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④

3．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ）

A．

B．

C．

D．

4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，则AC的长为 （　　）

A．1 B．2 C． D．2

5．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（　　）

A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤

6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 AC 的长为（ ）

A．4 B．4 C．6 D．4

7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）

A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺

8．若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

9．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）

A． B． C． D．

10．如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )

A．3 B．3或 C．3或 D．

11．下列变形中：

①由方程=2去分母，得x﹣12=10；

②由方程x=两边同除以，得x=1；

③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；

④由方程2﹣两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．

错误变形的个数是（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

12．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）

A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元

二、填空题

13．如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.

14．如图，，，，则______.

15．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．

16．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是______________.

17．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.

18．如图，直立在点B处的标杆AB＝2.5m，站立在点F处的观测者从点E看到标杆顶A，树顶C在同一直线上(点F，B，D也在同一直线上)．已知BD＝10m,FB＝3m,人的高度EF＝1.7 m,则树高DC是________．(精确到0.1 m)

19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数y=(k>0)在第一象限内过点A，且与BC交于点F．当F为BC的中点，且S△AOF=时，OA的长为__________．

20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．

三、解答题

21．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

22．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．

23．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）

24．如图，平面直角坐标系xOy中，A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，1），D（0，2）．已知线段AB绕着点P逆时针旋转得到线段CD，其中C是点A的对应点．

（1）用尺规作图的方法确定旋转中心P，并直接写出点P的坐标；（要求保留作图痕迹，不写作法）

（2）若以P为圆心的圆与直线CD相切，求⊙P的半径

25．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．

【详解】

正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故A不符合题意;锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；故选C．

【点睛】

本题主要考查了相似图形判定，解决本题的关键是要注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

设小长方形的长为2a，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．

【详解】

由题意可知：小长方形的长是宽的2倍，

设小长方形的宽为a，则长为2a，

∴图①中的三角形三边长分别为2a、；

图②中的三角形三边长分别为2a,；

图③中的三角形三边长分别为2a.；

图④中的三角形三边长分别为、，

∴①和②图中三角形不相似；

∵

∴②和③图中三角形不相似；

∵

∴①和③图中三角形不相似；

∵

∴①和④图中三角形相似．

故选D

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识．

3．C

解析：C

【解析】

【分析】

对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a、b和2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x．

【详解】

解：由题意，

∴，

∵线段x没法先作出，

根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．

故选C．

4．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据正切的定义得到BC=AC，根据勾股定理列式计算即可．

【详解】

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，

∴=2，

∴BC=AC，

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（）2=AC2+（AC）2，

解得，AC=2，

故选B．

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．

5．A

解析：A

【解析】

①，且，

∴，成立．

②且，

∴，成立．

③，但比一定与相等，故与不一定相似．

④且，

∴，成立．

⑤由，得无法确定出，

故不能证明：与相似．

故答案为．

点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

由已知条件可得,可得出,可求出AC的长．

【详解】

解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以，根据“相似三角形对应边成比例”，得，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=,

故选B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．

7．B

解析：B

【解析】

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．

【详解】设竹竿的长度为x尺，

∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

∴，

解得x=45（尺），

故选B．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．

8．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据题意可知反比例函数的图象上的点关于y轴的对称的点在函数上，由此可知反比例函数的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.

【详解】

∵反比例函数上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上，

∴反比例函数与一次函数y=-x+m有两个不同的交点，

联立得，消去y得：，

整理得：，

∵有两个不同的交点

∴有两个不相等的实数根，

∴△=m2-8＞0，

∴或，

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.

9．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

过B点作BD⊥AC，如图，

由勾股定理得，AB=，AD=，

cosA===，

故选D．

10．B

解析：B

【解析】

,，AQ=，

,，AQ=3.

故选B.

点睛：相似常见图形

（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A型”与“X型”图）

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”，如下图：

11．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．

【详解】

①方程=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．

②方程x=，两边同除以，得x=；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故②错误．

③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．

④方程2﹣两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．

故②③④变形错误．

故选B．

【点睛】

在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．

12．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．

【详解】

3m×2m=6m2，

∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，

则面积扩大为原来的9倍，

∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，

∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，

故选C．

【点睛】

本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

二、填空题

13．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为

解析：3米

【解析】

【分析】

利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．

【详解】

解：∵坡度为1：2，，且株距为6米，

∴株距：坡面距离=2：

∴坡面距离=株距×（米）．

【点睛】

本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．

14．【解析】【分析】角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD再根据相似三角形的性质可解【详解】解：∵∠B=∠B∠CAB=∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD=AB：BC∴BC：BD=（AD

解析：

【解析】

【分析】

角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质可解．

【详解】

解：∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，

∴△ABC∽△CBD，

∴BC：BD=AB：BC，

∴BC：BD=（AD+BD）：BC，

即BC：4=（2+4）：BC，

∴BC=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.

15．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC∽△A′B′C′相似比是

解析：12

【解析】

【分析】

根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．

【详解】

解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，

∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，

∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，

∴△A′B′C′的面积是12，

故答案为12．

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

16．5或（答对一个得1分）【解析】根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况有两种情况：①B′FC∽△ABC时B′FAB=CF/BC又因为AB=AC=8BC=10BF=BF所以解得BF=；②△B′CF∽△

解析：5或（答对一个得1分）

【解析】

根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：

① B′FC∽△ABC时，B′F AB ="CF/BC" ，

又因为AB=AC=8，BC=10，B'F=BF，

所以，

解得BF=；

②△B′CF∽△BCA时，B′F/BA ="CF/CA" ，

又因为AB=AC=8，BC=10，B'F=CF，BF=B′F，

又BF+FC=10，即2BF=10，

解得BF=5．

故BF的长度是5或．

17．14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告

解析：14

【解析】

试题解析：根据主视图和左视图可得：

搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；

故答案为：14．

点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．

18．2m【解析】【详解】解：过点E作EM⊥CD交AB与点N∴故答案为52m【点睛】本题是考查相似三角形的判定和性质关键是做出辅助线构造相似三角形利用相似三角形的性质得出结论即可这类题型可以作垂直也可以作

解析：2m

【解析】

【详解】

解：过点E作EM⊥CD,交AB与点N.∴ ,

故答案为5.2m．

【点睛】

本题是考查相似三角形的判定和性质．关键是做出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论即可.这类题型可以作垂直也可以作平行线，构造相似三角形．

19．8【解析】分析：过点A作AH⊥OB于点H过点F作FM⊥OB于点M设OA=x在由已知易得：AH=OH=由此可得S△AOH=由点F是平行四边形AOBC的BC边上的中点可得BF=BM=FM=由此可得S△B

解析：8

【解析】

分析：

过点A作AH⊥OB于点H，过点F作FM⊥OB于点M，设OA=x，在由已知易得：AH=，OH=，由此可得S△AOH= 由点F是平行四边形AOBC的BC边上的中点，可得BF=，BM=，FM=，由此可得S△BMF=，由S△OAF=可得S△OBF=，由此可得S△OMF=，由点A、F都在反比例函数的图象上可得S△AOH=S△BMF，由此即可列出关于x的方程，解方程即可求得OA的值.

详解：

如下图，点A作AH⊥OB于点H，过点F作FM⊥OB于点M，设OA=x，

∵四边形AOBC是平行四边形，∠AOB=60°，点F是BC的中点，S△OAF=，

∴AH=，OH=，BF=，∠FBM=60°，S△OBF=，

∴S△AOH=，BM=，FM=，

∴S△BMF=，

∴S△OMF=，

∵由点A、F都在反比例函数的图象上，

∴S△AOH=S△BMF，

∴=，

化简得：，解得：（不合题意，舍去），

∴OA=8.

故答案为：.

点睛：本题是一道考查“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”的综合题，熟记“反比例函数的图象和性质及平行四边形的性质”是解答本题的关键.

20．8或【解析】【分析】根据题意可分两种情况①当CP和CB是对应边时△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时△CPQ∽△CAB根据相似三角形的性质分别求出时间t即可【详解】①CP和CB是对应边时△CP

解析：8或

【解析】

【分析】

根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.

【详解】

①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，

所以＝，

即＝，

解得t＝4.8；

②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，

所以＝，

即＝，

解得t＝.

综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.

三、解答题

21．观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．

【解析】

【分析】

过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．

【详解】

过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，

在Rt△DEB中，tan∠DBE=，

∵∠DBC=65°，

∴DE=xtan65°．

又∵∠DAC=45°，

∴AE=DE．

∴132+x=xtan65°，

∴解得x≈115.8，

∴DE≈248（米）．

∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．

22．路灯杆AB的高度是6m．

【解析】

【分析】

在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．

【详解】

解：∵CD∥EF∥AB，

∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，

∴，

又∵CD＝EF，

∴，

∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，

∴，

∴BD＝9，BF＝9+3＝12，

∴，

解得AB＝6．

答：路灯杆AB的高度是6m．

【点睛】

考查了相似三角形的应用和中心投影．只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．

23．斜坡的长是米．

【解析】

【分析】

根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长．

【详解】

∵，，坡度为，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，斜坡的坡度为，

∴，

即，

解得，，

∴米，

答：斜坡的长是米．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．

24．（1）如图点P即为所求．见解析；（2）以P为圆心的圆与直线CD相切，⊙P的半径为．

【解析】

【分析】

（1）作相对AC，BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P即为所求．

（2）作PE⊥CD于E，求出点E的坐标，利用相似三角形的性质求出PE即可．

【详解】

（1）如图点P即为所求．

（2）作PE⊥CD于E，设AC交PD于K．

∵∠CDO＝∠PDE，∠CKD＝∠PED＝90°，

∴△COD∽△PED，

∴＝，

∴＝，

∴PE＝，

∵以P为圆心的圆与直线CD相切，

∴⊙P的半径为．

【点睛】

本题考查作图，相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

25．电视塔高为米，点的铅直高度为（米）．

【解析】

【分析】

过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出OC=100,根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x， AB＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解.

【详解】

过点P作PF⊥OC，垂足为F．

在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝100（米），

过点P作PB⊥OA，垂足为B．

由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．

∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．

在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°，

∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，

∴x＝ ，即PB＝米．

【点睛】

本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c681f4dff321dd36a32d7375a417866fb94ac054.html