高中不等式恒成立问题解题策略
重庆市江津中学校 402260 杨万机
恒成立问题是高中数学的常见问题，也是历年来高考中的一个热点问题，经久不衰。不等式恒成立问题常常在知识网络交汇处设置，它可以与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等整合在一起，里面又涉及到不等式的证明问题和取值范围问题，学生往往由于方法不到位而出现错解或复杂的解法。下面我根据不等式恒成立问题不同的特征采取不同的解题策略，为学生开辟一条成功的道路。
一、 函数最值法
有些不等式恒成立问题可以转换成求函数的最值问题：①若f（X）>A在区间D上恒成立，则在区间D上成立。②若f（X）
成立。
（1）利用判别式
例1.已知不等式对
恒成立，求a的取值范围。
分析：对
恒成立，则函数
在R上最小值大于0，故函数的图像与x轴无交点，
（2）分类讨论
变式1. 已知不等式对
恒成立，求a的取值范围。
分析：此题与例1相比较只是把R换成了区间，但解法却差之甚远。不能用判别式来求解了，可用用分类讨论的方法得出
在区间
上的单调性，从而求出其最小值。
解：令
综上可得
二、 分离参数法
在解决不等式恒成立问题时，如果变量与参数能够分离，则可利用分离参数来确定不等式恒成立时参数的取值范围。分离参数后不等式则可转化为G（a）>f(x)( G（a）<f(x))在区间D上恒成立，求f(x)在区间D上最大（最小）值问题。此种方法的关键在于①变量与参数能够分离②函数f(x)的最值容易求出。
变式2. 已知不等式对
恒成立，求a的取值范围。
分析：变式2可采用变式1的方法求解，但变式2的特点在于变量x的取值均为正，能够把变量x与参数a分离开来，故用分离参数法求解更为快捷、简单。
解：由题可得
三、 主参换位法
在给出的含有两个变量的不等式中，大家习惯把变量x看作是主元（未知数），而把另一个a看作是参数，在有些问题中这样的解题过程非常繁琐，不妨把主元与参数换位一下，可以达到意想不到的效果。
例2.已知的所有m都成立，求实数x的取值范围。
分析：本题是已知参数m的取值范围，求自变量x的取值范围，可以转换主元x与参数m的位置，构造以m为自变量，x为参数的一次函数g(m),此题则转换为对任意的g(m)<0恒成立问题求解。
解：由不等式可得
令①当
时
②当时，则
综上可得
四、数形结合法
有的不等式恒成立问题，若把不等式进行合理变形后，能非常容易画出不等式两边的图象，则可通过画图象来进行求解。
例3.
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系求解
的取值范围。
解：设，
,
则
的图象为图中所示的抛物线，
的图象为
图中所示的对数函数的图象，要使对一切,
恒成立，则
的图象一定要在
的图象所的下方∴
且必须也只需
∴
解得
故
的范围是
。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c64d509981eb6294dd88d0d233d4b14e85243ef8.html
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