2019届高三数学上学期期中联考试题 理

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）

1.已知集合d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png是整数集,则d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

2.若复数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png为纯虚数,其中则d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的值为

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

3．在△ABC中，若4b72fa6a8513094d3ffa6b00db57ffb3.png，则131516d560f6197c667fa60b3d7576aa.png＝

A 78aa3b8f265995f9d47ba3a99ae56c8d.png B．9c20cb9648f6127a648f79bc920a354f.png

C．db2c55ca23352c301366ad400a9480be.png D．9bed49bcaa3c45909ae02ee4a24b757a.png

4.已知命题d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png则有关命题d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的真假及d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的论述正确的是

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png假命题,d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png真命题,d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png假命题,d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png真命题,d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

5.函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的最小正周期为

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

6．向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png,7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png均为非零向量，bad825d6aed822782a534ce7161014d7.png，则89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png,7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png的夹角为

A．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png B．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png C．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png D．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

7. 为了得到函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的图像，可以将函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的图像（ ）

A. 向左平移d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png个单位 B. 向右平移d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png个单位

C. 向右平移d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png个单位 D. 向左平移d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png个单位

8. 函数word/media/image44_1.png的图象可能是

(A) (B) (C) (D)

9. 已知定义在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上的函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png满足：①对于任意的d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，都有d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png；②函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png是偶函数；③当d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png时，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，设d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，则d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的大小关系是 （ ）

A．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png B．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png C．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png D．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

10．已知函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，且d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，则函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png图象的一条对称轴的方程为( )

A．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png B． d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png C．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png D． d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

11.若定义在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上的函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png满足d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png则不等式d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的解集为

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

12. 已知函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，若d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png恒成立，则实数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的取值范围是
（A）d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png （B）d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png （C）d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png （D）d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.

13. 设d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png为锐角，若d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，则d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的值为

14．已知向量d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，且d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上的投影为d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，则向量d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png与d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png夹角为_________．

15．若定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）＝d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png,则d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png＝_____

16、已知定义在R上的函数word/media/image101_1.png满足：word/media/image102_1.png，

word/media/image103_1.png，则方程word/media/image104_1.png在区间word/media/image105_1.png上的所有实根之和为

三、本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知三个集合：word/media/image106_1.png，word/media/image107_1.png，

word/media/image108_1.png.

（1）求word/media/image109_1.png；

（2）已知word/media/image110_1.png，求实数word/media/image111_1.png的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知向量word/media/image112_1.png，word/media/image113_1.png word/media/image114_1.png，设函数word/media/image115_1.png．

（1）求函数word/media/image116_1.png的单调增区间；

（2）已知word/media/image117_1.png的三个内角分别为word/media/image118_1.png若word/media/image119_1.png，word/media/image120_1.png，边word/media/image121_1.png，

求边word/media/image122_1.png．

19.(本题满分12分)

已知函数549b52d88f673b03d4d4dd5cdd6fbb9e.png.

（1）求函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的图象在点d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png处的切线d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的方程；

（2）讨论函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的单调性.

20.（本小题满分12分）

如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝393d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png km，∠AOB＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．

（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．

21. （本小题满分12分）

已知函数word/media/image129_1.png.

（1）求曲线word/media/image130_1.png在点word/media/image131_1.png处的切线方程；

（2）是否存在正整数word/media/image132_1.png，使函数word/media/image133_1.png在word/media/image134_1.png上单调递增，若存在，求出正整数

word/media/image132_1.png的所有值，若不存在，说明理由.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为85b15cebf5a6e5f6f40a8c28f0589b83.png(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为c6ae05ceaa05b3aa9a388cd8fc217b85.png(t为参数)．

(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；

(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png.

（1）当d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png时，求不等式d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的解集；

（2）求证：d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png.

理科数学参考答案

1—12 CAADB ABCDC AB

13. ba5cacbaadbfed8096ec2db57214e4c7.png. 14．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png 15.d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png 16.-7

17．（本小题满分12分）

解：（1）word/media/image144_1.png, . …………………………………2分

word/media/image145_1.png,. ……………………………………….4分

word/media/image146_1.png. …………………………………………………..………..6分

（2）word/media/image147_1.png,

word/media/image148_1.png ……………………………………………..…….…..7分

word/media/image149_1.png

word/media/image150_1.png ……………………………………………..…..8分

即word/media/image151_1.png解得word/media/image152_1.png ……………………..……..11分

所以实数word/media/image111_1.png的取值范围是word/media/image153_1.png ………………………………………..….12分

18. （本小题满分12分）

解：word/media/image154_1.png word/media/image155_1.pngword/media/image156_1.png．

word/media/image157_1.png …………………………4分
∵word/media/image158_1.pngword/media/image159_1.pngR，由 word/media/image160_1.png 得

word/media/image161_1.png……… 6分

∴函数word/media/image116_1.png的单调增区间为．word/media/image162_1.png ………………7分

（2）∵word/media/image163_1.png，即word/media/image164_1.png，∵角word/media/image165_1.png为锐角，得word/media/image166_1.png， ……9分

又word/media/image120_1.png，∴word/media/image167_1.png，∴word/media/image168_1.png

∵word/media/image121_1.png，由正弦定理得word/media/image169_1.png ……… 12分

19. (本题满分12分)

（1）9f19a63ff8ae7e8beb2a0d7f3ccd5305.png ……………1分

8cdea569e63b0d0656ed79172667dc10.png …………………………2分

369c6c6b44592223dd433f8e9bff0451.png …………………………3分

切线方程：0ac13f40fed6cbbe9cfcb2a3111d8dd4.png 即831d5b482a46219eb0d2faac1e214f35.png……………4分

（2）d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png,6c68abddbb494d40844c68b1badb8e29.png……………………5分

令d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，

word/media/image179.gif当d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png时，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，所以d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上单调递增。………6分

word/media/image184.gif当d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png时，令d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，

所以d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上单调递增，在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上单调递减。……………9分

word/media/image192.gif当d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png时，令d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，

所以d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上单调递减，在d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png上单调递增。………………12分

20. (本题满分12分)

解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝393d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．

在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，

所以OM＝93420df375b0cdc9f4d058d0f28cf8fb.png，所以cos∠AOM＝702ef391f8bb3d5967fadf91baf8364b.png＝d9ea467160ff4f0242c2ac1955b93697.png93420df375b0cdc9f4d058d0f28cf8fb.png，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝d9ea467160ff4f0242c2ac1955b93697.png93420df375b0cdc9f4d058d0f28cf8fb.png．

在△OMN中，由557473b6405e8dac96d6c230dd41a4a9.png＝1ca60f50cc627678283a5d820cfea5aa.png，得MN＝2d3c38dc88581b8d4ec4536c8a1a151b.png93420df375b0cdc9f4d058d0f28cf8fb.pngd9ea467160ff4f0242c2ac1955b93697.png93420df375b0cdc9f4d058d0f28cf8fb.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝59277bfaba258555f7c1c2ee38383247.png． ………6分

（2）：设∠AOM＝θ，0＜θ＜7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png

在△OAM中，由6288f0cc19625f5cea1e0ab85419751a.png＝5f29693583fddfaa19a531d96702cd4e.png，得OM＝6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png．

在△OAN中，由08a9bb4ddb6d0e03d4ebd78b5a8b86b7.png＝7b7cf904ef4035f2bdb80852d31f2fb5.png，得ON＝6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png5522d5e7ec715af7dda4102fd0415431.png＝6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png．

所以S△OMN＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngOM·ON·sin∠MON＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png·6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png·6f451c8be23f418d7f0d2f8b645b20db.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png·df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

＝5b92fbc04c8be1d4d0619077c0ccd8dd.png7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png＝28c52cdd2427f707331556de8bb3da33.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png＝946c791f8d8b353dd7c42256a9471044.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png

＝946c791f8d8b353dd7c42256a9471044.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png＝b46ea622f97e376e0e1196fd55fc1724.png7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png，0＜θ＜7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png．

当2θ＋7e64500b7eb14f2abb038336939271b1.png＝5522d5e7ec715af7dda4102fd0415431.png，即θ＝2929ea5b0891b637ab959788a75ad228.png时，S△OMN的最小值为9df4a5f402479e4940fd7999778aa3d1.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png．

所以应设计∠AOM＝2929ea5b0891b637ab959788a75ad228.png，可使△OMN的面积最小，最小面积是9df4a5f402479e4940fd7999778aa3d1.png93d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png km2．----------12分

21.解：

（1）：由已知word/media/image199_1.png得word/media/image200_1.png, ---------1分

word/media/image201_1.png得word/media/image202_1.png. --------2分

word/media/image203_1.png在word/media/image204_1.png处的切线方程为word/media/image205_1.png即word/media/image206_1.png ---5分

（2）法一：令word/media/image207_1.png,依题意word/media/image208_1.png在word/media/image209_1.png上恒成立, word/media/image210_1.png. ------7分

1 当word/media/image211_1.png时,word/media/image212_1.png ,word/media/image213_1.png在word/media/image214_1.png上单调递增, word/media/image215_1.png

2 故word/media/image216_1.png符合题意 --------9分

3 当word/media/image217_1.png时，由word/media/image218_1.png得word/media/image219_1.png. word/media/image220_1.png取值变化情况如下表，

依题意word/media/image227_1.png即word/media/image228_1.png. -------------------------10分

令word/media/image229_1.png，则word/media/image230_1.png,word/media/image231_1.png在word/media/image232_1.png上单调递减，

由word/media/image233_1.png,word/media/image234_1.png知word/media/image235_1.png时,word/media/image236_1.png，故此时只有word/media/image237_1.png符合题意.

综上，所求正整数word/media/image238_1.png的值有1,2,3. ----------12分

法二：

由word/media/image239_1.png在word/media/image240_1.png上恒成立，得word/media/image241_1.png在word/media/image242_1.png上恒成立。---6分

令word/media/image243_1.pngword/media/image244_1.png，则word/media/image245_1.png， ---------7分

令word/media/image246_1.png，得word/media/image247_1.png在word/media/image248_1.png上恒成立， ----8分

又word/media/image249_1.png，[

从而word/media/image250_1.png，使word/media/image251_1.png，即word/media/image252_1.png。 ---------10分

进而知word/media/image253_1.png取值变化情况如下表，

word/media/image259_1.pngword/media/image260_1.pngword/media/image261_1.png故符合题意的正整数K为1,2,3. -------------12分

22解　(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝cos2α＋2sinαcosα＋sin2α，

所以曲线M可化为y＝x2－1，aa777495bd5cda3ceec2906644d486a5.png，

由ρsinc61c1e8442e7a73317433d8b0c3cabbd.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngt得193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngρsinθ＋193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngρcosθ＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngt，

所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.

(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点6bac7945dbe12bc5b826168e2cbbca8b.png,时满足要求，此时t＝4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立bbfe92bcd36e651208b935836546e762.png，得x2＋x－1－t＝0，

由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png.

综上可求得t的取值范围是－9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png≤t≤4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png

23．解：（1）当a=2时，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png原不等式等价于

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

解得d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png故不等式d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png的解集是d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

（2）证明：d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

当且仅当d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png时等号成立。

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