大学物理答案第6章

第六章　气体动理论

6－1　一容积为10L的真空系统已被抽成1.0×10-5 mmHg的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2 mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子?

解：由式，有

因而器壁原来吸附的气体分子数为

6－2　一容器内储有氧气，其压强为1.01⨯105 Pa，温度为27℃，求：（l）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列）

分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为，由数密度的含意可知即可求出。

解：（l）单位体积分子数

  （2）氧气的密度

  （3）氧气分子的平均平动动能

  （4）氧气分子的平均距离

6－3　本题图中I、II两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。

分析：由可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率也就不同。因，故氢气比氧气的要大，由此可判定图中曲线II所标应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线I、II所处的温度相同，故曲线I中氧气的最概然速率也可按上式求得。

解：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为

利用可得氧气分子最概然速率为

（2）由得气体温度

6－4　有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如本题图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N和v0求a值；（3）求在速率v0/2到3v0/2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能.

分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数的物理意义。题中纵坐标，即处于速率附近单位速率区间内的分子数。同时要掌握的归一化条件，即。在此基础上，根据分布函数并运用数学方法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。

解：（l）由于分子所允许的速率在0到2v0的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积

 即曲线下面积表示系统分子总数N。

（2）从图中可知，在0到v0区间内，；而在v0到2v0区间内，。则利用归一化条件有

得

（3）速率在v0/2到3v0/2间隔内的分子数为

 (4)分子速率平方的平均值按定义为

故分子的平均平动动能为

6－5　当氢气的温度为300℃时，求速率在区间3000m/s到3010m/s之间的分子数ΔN1与速率在区间vp到vp+10m/s之间的分子数ΔN2之比。

解：氢气在温度T=273+300=573开时的最可几速率vp为

麦克斯韦速度分布公式可改写为

则速度在3000米/秒~3010米/秒间的分子数

速度在vp ~ vp10米/秒间的分子数

故

6－6　有N个粒子，其速率分布函数为

(v0>v>0)

(v>v0)

(1) 作速率分布曲线；（2）求常数C；（3）求粒子的平均速率。

解： （2）由归一化式

得 　　　　　　　　　　　

（3）

6－7 根据麦克斯韦速率分布律证明：处于平均速率附近一固定小速率区间内的分子数与成反比。

解：由 则速率分布函数可化为

速率在 区间内分子数N为

可见：　　　　　　　　　

6－8　一密封房间的体积为5×3×3m3，室温为20℃，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少？如果气体温度升高1.0K，而体积不变,则气体的内能变化多少？气体分子方均根速率增加多少？（已知空气的密度=1.29Kg/m3，摩尔质量M =29×103Kg / mol，且空气分子可认为是刚性双原子分子。）

解：根据

∴

6－9　在容积为2.0⨯10-3 m3的容器中，有内能为6.75⨯102 J的刚性双原子分子理想气体。（1）求气体的压强；（2）设分子总数为5.4⨯1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。

解：（1）由和可得气体压强

（2）分子数密度n=N/V为，则该气体的温度

         气体分子的平均平动动能为

6－10　质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为，其中R为地球半径。（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取R= 6.40⨯106 m）

分析：气体分子热运动的平均速率。对于摩尔质量M不同的气体分子，为使等于逃逸速率v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M较小的就容易达到逃逸速率。

解：（1）由题意逃逸速率，而分子热运动的平均速率。当时，有

由于氢气的摩尔质量

，

氧气的摩尔质量

则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为

（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。

6－11　讨论气体分子的平动动能的分布函数，归一化条件，及求任意函数的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几动能。

解：在动能空间中取一小区间，小区间内分子数dN占总分子数N之比为

其中为分子动能分布函数，它满足归一化条件：

任意函数的平均值公式：

令

可求出

令　　可得最可几动能

6－12　已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为。假定一边长为1米的立方箱子，在标准情况下盛有个氧分子，计算1秒钟内氧分子与箱子碰撞的次数。

解：氧分子在标准状态下算术平均速率

米/秒

每边长为1米的立方箱的总面积

S=611=6米2

则

次/秒

6－13　在标准状态下氦气（He）的内摩擦系数=1.89×105帕秒，摩尔质量M为0.004千克，平均速率为1.20×103米/秒。试求：（1）在标准状态氦原子的平均自由程。（2）氦原子的半径。

解：（1）由公式，则

因为气体密度

千克/米3

米

（2）

由氦原子直径

米

氦原子半径为

米

6－14　（1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。（2）若温度不变，气压降到1.33×10 4帕，平均碰撞次数又为多少？（设分子有效直径为10 10米）

解：（1）在标准状态下，氮气分子的算术平均速度

米/秒

由公式p =nRT得

由平均自由程得

平均碰撞次数

（2）气压降低之后的平均碰撞次数为

6－15　若在标准压强下，氢气分子的平均自由程为6×10 8米，问在何种压强下，其平均自由程为1厘米？（设两种状态的温度一样）

解：按p = nKT 和，有

，

则

即

6－16　如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程如何变化？

分析：　在温度不变的条件下，分子的平均碰撞频率，而分子的平均自由程，由此可得压强变化时，平均碰撞频率和平均自由程的变化。

解：由分析知，当压强由p0降至p0/2时，平均碰撞频率为

又因，故当压强减半时，平均自由程为

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